Chuyên đề Số nguyên tố - Số chính phương và ứng dụng

-----oOo----- LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ & SỐ CHÍNH PHƯƠNG : Số nguyên tố đã được nghiên cứu từ nhiều thế kỷ - trước Công nguyên - nhưng cho đến nay nhiều bài toán về số nguyên tố vẫn chưa được giải quyết một cách trọn vẹn . Một trong những bài toán nổi tiếng nhất là bài toán GoldBach-Euler đề ra năm 1742 : Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết dưới dạng tổng của hai số nguyên tố Suốt hơn 200 năm qua bài toán đó vẫn còn là một thách thức đối với Toán học. Một số định nghĩa : p ỴN , p > 1 : p là số nguyên tố Û Ư(p) = { 1, p } Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là hợp số. Các bài toán minh họa: Bài 1: Chứng minh rằng không thể có hữu hạn số nguyên tố Giải Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố p1 , p2 , p3 , ... , pn trong đó pn là số nguyên tố lớn nhất. Xét số N = p1.p2.p3...pn + 1 .Khi đó N chia mỗi số nguyên tố pi ( i = 1,n ) đều dư 1.( 1 ) Mặt khác vì N > pn nên N là hợp số à N sẽ chia hết cho một số nguyên tố nào đó hay N chia hết cho một trong các số pi ( i = 1,n ). ( 2 ) Từ ( 1 ) & ( 2 ) à Mâu thuẩn ! Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn. Bài 2: Cho a, a + k, a + 2k là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng tỏ rằng k chia hết cho 6. ( a, k Ỵ N ) Giải Vì a và a + k là hai số nguyên tố lớn hơn 3 nên a và a + k là hai số lẻ à ( a + k ) – a chia hết cho 2 à k chia hết cho 2 ( 1 ) Khi chia 3 số : a, a + k, a + 2k cho 3 thì do chúng là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên ta chỉ được các số dư là 1 hoặc 2. Điều đó chứng tỏ : Trong 3 số a, a + k, a + 2k sẽ có hai số khi chia 3 có cùng dư Nếu đó là hai số a, a + k thì ( a + k ) – a = k chia hết cho 3 Nếu đó là hai số a, a + 2k thì ( a + 2k ) – a = 2k chia hết cho 3 à k chia hết cho 3 ( vì 2,3 là hai số nguyên tố cùng nhau ) Nếu đó là hai số a + k, a + 2k thì ( a + 2k ) – ( a + k ) = k chia hết cho 3 Vậy trong trường hợp nào ta cũng có k chia hết cho 3 ( 2 ) Từ ( 1 ) & ( 2 ) , ta có k chia hết cho 6 ( vì 2, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau ) Bài 3: Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên bất kỳ. Chứng tỏ rằng a và ab + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. Giải Giả sử dỴƯC( a, ab + 4 ) ( dỴN* ) à a chia hết cho d à ab chia hết cho d à ( ab + 4 ) – ab chia hết cho d hay 4 chia hết cho d à dỴƯ(4)={ 1, 2, 4 } Nhưng do a là số lẻ nên a không chia hết cho d=2 hoặc d=4. Vậy d=1, hay a và ab + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. F Ta tiếp tục tìm hiểu thêm một số tính chất cơ bản về SỐ CHÍNH PHƯƠNG. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT Một số tự nhiên A được gọi là một số chính phương khi nó là bình phương của một số tự nhiên. ( Định nghĩa trong khuôn khổ Lớp 6 ) Ví dụ: số 49 là một số chính phương vì 49 = 72 ( 49 là bình phương của số tự nhiên 7 ) Chữ số tận cùng của một số chính phương chỉ là một trong các chữ số : 0 , 1 , 4 , 5 , 6 , 9 ( Đây là một tính chất quan trọng, đề nghị bạn đọc chú ý.! ) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. Chứng minh: Thật vậy , giả sử N là một số chính phương và N = a2 Khi đó phân tích a ra thừa số nguyên tố và giả sử a = mxnypz... thì N = ( mxnypz...)2 = m2xn2yp2z... ; hay N chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. Từ tính chất này , ta suy ra: + Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4. + Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9. + Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 25. Tổng quát: Số chính phương N chia hết cho p ( p nguyên tố ) thì N cũng chia hết cho p2 Ngoài ra : Nếu n2 chia hết cho p2 thì n chia hết cho p Chứng minh: Thật vậy, nếu N không chia hết cho p2 = p.p = p1.p1 thì khi đó N sẽ không chứa thừa số nguyên tố p khi phân tích N ra thừa số nguyên tố. Điều đó chứng tỏ N không chia hết cho p:trái đề bài! Vậy N chia hết cho p thì N cũng chia hết cho p2 Cách chứng minh khác : Giả sử N = n2. Ta chứng minh n chia hết cho p Thật vậy, khi chia n cho p ta được : n = pk + m với 0 £ m < p Nếu m không chia hết cho p (*) thì ( m, p ) = 1 Khi đó n2 = (pk + m)2 = ( p2k2 + 2pkm + m2 ) chia hết cho p m chia hết cho p : Mâu thuẩn (*) à m2 chia hết cho p Mà ( m, p ) = 1 à m = 0 à n =pk à n2 chia hết cho p2 Ngoài ra khi làm các bài tập về SỐ CHÍNH PHƯƠNG các bạn cần ( đương nhiên ! ) nắm một số tính chất về “ hằng đẳng thức ” . ( Có thể chứng minh bằng kiến thức Lớp 6 ) ( a + b )2 = a2 + b2 + 2ab ( a - b )2 = a2 + b2 - 2ab a2 - b2 = ( a - b ).( a + b ) . . . Các bài toán minh họa: Bài 1: Chứng tỏ rằng tích của một số chính phương với số liền trước nó là một số chia hết cho 12. Gợi ý Gọi số chính phương đã cho là n2. Ta cần chứng minh n2. ( n2 -1 ) chia hết cho 12 Ta có n2. ( n2 - 1 ) = n2. ( n - 1).( n + 1 ) = n. n.( n - 1).( n + 1 ) n.( n - 1).( n + 1 ) chia hết cho 3 n chẵn à n2 chia hết cho 4 n lẻ à ( n - 1).( n + 1 ) chia hết cho 4 à n2. ( n2 -1 ) chia hết cho 3 và 4 à n2. ( n2 -1 ) chia hết cho 12 Bài 2: Chứng tỏ rằng một số chính phương hoặc chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1. Gợi ý Gọi n2 là một số chính phương bất kỳ (nỴN) Khi chia n cho 3, ta có các khả năng: Nếu n chia 3 dư 0 ( n chia hết cho 3 ) thì hiển nhiên n2 chia hết cho 3 Nếu n chia 3 dư 1 thì n có dạng n = 3k + 1 ( kỴN) à n2 = (3k + 1)2 = 3.3k2 + 2.3k + 1= 3 ( 3k2 + 2k ) + 1 à n2 chia 3 dư 1 Nếu n chia 3 dư 2 thì n có dạng n = 3q + 2 ( qỴN) à n2 = ( 3q + 2 )2 = 3.( 3q2 + 4 ) + 4 = 3.( 3q2 + 5 ) + 1 à n2 chia 3 dư 1 Vậy trong trường nào ta cũng có n2 hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1. Bài toán tương tựï : Mời các bạn “Tìm số dư trong phép chia một số chính phương cho 5” Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nhân nó với 135 ta được một số chính phương . Gợi ý Gọi số phải tìm là A. Theo đề bài , ta có : 135.A = n2 ( nỴN ) hay 33.5.A = n2 Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên A = 3.5.k2 ( kỴN ) k = 0 à A = 0 ( Loại ) k ³ 3 à A ³ 3.3.5 = 135 ( Loại vì A là số có hai chữ số ) k = 1 , 2 k = 1 à A = 15 k = 2 à A = 60 Vậy : Số cầm tìm là 15 hoặc 60. F Qua các ví dụ trên ta thấy rằng Bài tập về SỐ NGUYÊN TỐ & SỐ CHÍNH PHƯƠNG là một trong những loại Bài tập có thể nói là phong phú và đặc sắc. Chúng ta sẽ gặp lại chúng vào phần Bài tập mẫu. MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU : Tìm số nguyên tố p sao cho p + 94 và p + 1994 cũng là hai số nguyên tố . Gợi ý p = 2 thì p + 94 = 96 : hợp số à p = 2 : Loại p = 3 thì p + 94 = 97 và p + 1994 = 1997. Ta thấy 97 , 1997 là hai số nguyên tố p = 3 :nhận p > 3 à p không chia hết cho 3 à p chia 3 dư 1 hoặc 2 Nếu p chia 3 dư 1thì p = 3k + 1( kỴN ) . Khi đó : p + 1994 = 3k + 1995 = 3.( k + 665 ) chia hết cho 3 ( Loại vì không nguyên tố ) Nếu p chia 3 dư 2 thì p = 3q + 2 ( qỴN ) . Khi đó : p + 94 = 3q + 96 = 3.( q + 32 ) chia hết cho 3 ( Loại vì không nguyên tố ) Vậy p = 3 Tìm nỴN để p = ( n - 2 ).( n2 + n - 1 ) là số nguyên tố . Gợi ý Nhận xét rằng : Để p là số nguyên tố thì n - 2 = 1 hoặc n2 + n - 1 = 1 ( Vì nếu không có thừa số nào là 1 thì khi đó dễ thấy rằng p không là số nguyên tố ). Nếu n - 2 = 1 thì n = 3. Lúc đó p = (3 - 1).(32 + 3 - 1) = 11 : số nguyên tố Nếu n2 + n - 1 = 1 thì n2 + n = 2 à n( n + 1 ) = 2 à n = 1 Lúc đó p = (1 - 2) .1 = 1 - 2 ÏN ( Loại ) Vậy n = 3. Chứng tỏ rằng nếu ( a, 6 ) = 1 thì a2 - 1 chia hết cho 24 . Gợi ý Vì ( a, 6 ) = 1 ( a, 2 ) = 1 2 , 3 ỴƯ (6) ( a, 3 ) = 1 Ta có a2 - 1 = ( a - 1 )( a + 1 ) ( a, 2 ) = 1 à a là số lẻ à a - 1 ; a + 1 là hai số chẵn liên tiếp à ( a - 1 )( a + 1 ) chia hết cho 8 (1) Xét tích a.( a - 1 ).( a + 1 ) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp à a.( a - 1 )( a + 1 ) chia hết cho 3 Mà ( a, 3 ) = 1 à ( a - 1 )( a + 1 ) chia hết cho 3 (2) Từ (1) & (2) à a2 - 1 chia hết cho 24. Tìm số nguyên tố có 3 chữ số abc biết rằng cba là lập phương của một số tự nhiên . Gợi ý Vì cba là lập phương của một số tự nhiên nên ta có thể giả sử cba = n3 ( nỴN ). Nhận xét rằng : 43 = 64 < 53 = 125 £ cba = n3 £ 93 = 729 < 103 = 1000 à n Ỵ{ 5, 6, 7, 8, 9 } n = 6 Þ abc = 612 : Hợp số ( Loại ) n = 7 Þ abc = 343 : Hợp số ( Loại ) n = 8 Þ abc = 215 : Hợp số ( Loại ) n = 9 Þ abc = 927 : Hợp số ( Loại ) n = 5 Þ abc = 521 : Dễ dàng kiểm tra là số nguyên tố. Vậy số cần tìm là 521. Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố ( p > 3 ). Chứng tỏ 4p + 1 là hợp số. Gợi ý Xét 3 số tự nhiên liên tiếp : 4p , 4p + 1 , 4p + 2 à 4p.(4p + 1).(4p + 2) chia hết cho 3. ( 4, 3 ) = 1à p.(4p + 1).(4p + 2) chia hết cho 3 ( p, 3 ) = 1à (4p + 1).(4p + 2) chia hết cho 3 (*) Vì 4p + 2 = 2.( 2p + 1 ) và ( 2 , 3 ) = 1 ; ( 2p + 1 , 3 ) = 1 (*) à 4p + 1 chia hết cho 3 và hiển nhiên 4p + 1 > 3 ( do p > 3 ) nên 4p + 1 là hợp số. Cho a, b, c là ba số tự nhiên thỏa mãn hệ thức : a2 + b2 = c2 . Chứng tỏ rằng a và b không thể đồng thời là hai số lẻ. Gợi ý Giả sử a và b đồng thời là hai số lẻ. Khi đó ta xem : a = 2k + 1 , b = 2m + 1 ( k, mỴN ). à c2 = a2 + b2 = (2k + 1)2 + (2m + 1)2 = 4( k2 + k + m2 + m ) + 2 : không chia hết cho 4 (*) Mặt khác từ (*), ta có c2 chia hết cho 2 à c2 chia hết cho 4 (**) (*) & (**) : Mâu thuẩn ! Chứng tỏ rằng nếu x, y là hai số tự nhiên thỏa x2 + y2 chia hết cho 3 thì x, y chia hết cho 3 Gợi ý Vì x2 + y2 chia hết cho 3 nên x2 , y2 hoặc cùng chia hết cho 3 hoặc cùng không chia hết cho 3. Nếu x2 , y2 cùng chia hết cho 3 thì x , y chia hết cho 3 Thật vậy nếu x (hay y) chia 3 dư 1 hoặc 2 thì x2 ( hay y2 ) chia 3 dư 1. (Bạn tự chứng minh phần này ) : Vô lý ! Nếu x2 , y2 không cùng chia hết cho 3 thì do chúng là số chính phương nên x2 , y2 chia 3 dư 1. Nhưng khi đó x2 + y2 không chia hết cho 3. ( Trái đề bài ! ) Vậy x2 + y2 chia hết cho 3 thì x, y chia hết cho 3 Chứng tỏ rằng : Nếu a + b và a2 + b2 chia hết cho 11 thì a.b chia hết cho 11 a + b chia hết cho 6 Û a3 + b3 chia hết cho 6 Gợi ý (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab à 2ab = (a + b)2 - (a2 + b2 ) (*) a + b chia hết cho 11 à (a + b)2 chia hết cho 11 và do a2 + b2 chia hết cho 11 ( đề cho ) . Từ (*), ta có 2ab chia hết cho 11 à ab chia hết cho 11 ( vì 2, 11 là 2 số nguyên tố cùng nhau ) Hg. dẫn : Xét hiệu (a3 + b3 ) - (a + b) = ( a3 - a ) - ( b3 - b ) = a(a - 1)(a + 1) - b(b -1 )(b + 1) Chứng tỏ rằng : Nếu A = và B = thì A - B là một số chính phương Gợi ý Ta có A = + ; B = 2 x A - B = x 1050 - = x ( 1050 - 1 ) = x = ( 3 x )2 Vì 3 x ỴN à A - B là số chính phương Chứng tỏ rằng n3 - 13n chia hết cho 6 ( Với mọi nỴN ) Gợi ý Ta có n3 - 13n = n3 - n - 12n = n.( n2 - 1 ) - 12n 12n = 2.6n chia hết cho 6. Ta chứng minh n.( n2 - 1 ) chia hết cho 6 Thật vậy n.( n2 - 1 ) = n.( n - 1 ).( n + 1 ) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, trong đó : Có đúng một số chia hết cho 3 Có ít nhất một số chẵn Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 Hay n.( n - 1 ).( n + 1 ) chia hết cho 6 Vậy n3 - 13n chia hết cho 6 Sau khi các Bạn nghiên cứu thật kỹ ( một cách nghiêm túc !) các Ví dụ và các bài tập mẫu , đề nghị các Bạn cố gắng hoàn tất các bài tập Đề nghị, tuy rằng chúng không khó nhưng phần nào giúp các Bạn nắm vững thêm về Sự đa dạng của các con số ! BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ :  Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn hệ thức : xy + 1 = z ( Đề thi LQĐ Quận 5 -Lớp 6 -Năm 1995 ) Đs: x = 2 ; y = 2 ; z = 5 ‚ Tìm số có 4 chữ số trong hệ đếm thập phân abcd , biết số đó thỏa mãn hai điều kiện sau đây : bc .4 có tận cùng là cd abcd - bc . 4 là một số chính phương ƒ a) Tìm abcd là số chính phương cho biết abcd là bội của 9 và d là số nguyên tố b) Tìm số tự nhiên aỴN sao cho a2 + 10a + 1964 là một số chính phương „ Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu nhân nó với 45 thì ta được một số chính phương. Đs: 20 hoặc 45 hoặc 80 … Tìm số nguyên tố a, biết rằng a vừa là tổng của hai số nguyên tố vừa là hiệu của hai số nguyên tố. Đs: a = 5 † Tìm số tự nhiên n có hai chữ số , biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là hai số chính phương. Đs: n = 40. ‡ Cho a, b, c là ba số tự nhiên thỏa mãn hệ thức : a2 + b2 = c2 (*) Chứng tỏ rằng nếu b lẻ thì a chia hết cho 4 Đs: b lẻ à a chẵn à c lẻ. Xem a = 2k; b = 2m + 1; c = 2n + 1. Thay vào (*), chứng minh 2ỴƯ(k) . ˆ Tìm các số nguyên tố p sao cho tổng các ước số của p4 là một số chính phương. ( Đề thi HSG Toàn quốc Khối lớp 9 - Năm học 1993. 1994 ) Đs: p = 3 ‰ Cho A =; B = . Chứng tỏ A + B + 1 là một số chính phương. Đs: A + B + 1 = Š Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau. Đs: 7744 -----HẾT------