Chuyên đề Số Phức

SỐ PHỨC A. Lý thuyết: 1). Định nghĩa: Số phức có dạng: ( trong đó: a là phần thực, b là phần ảo) + Phần thực: + Phần ảo: 2). Các phép toán: Cho ( Với ). Khí đó ta có: 3). Số phức liên hợp: Cho ; với . Khi đó: được gọi là số phức liên hợp với . *). Tính chất: 4). Mô đun của số phức: Cho . Khi đó mô đun của là *). Tính chất: B. Các dạng bài tập của số phức: Vấn đề 1: Các phép tính về số phức. Phương pháp giải: Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức. Chú ý cho HS: Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức Ví dụ 1: Cho số phức z = Tính các số phức sau: ; z2; ()3; 1 + z + z2 Giải: Vì z = Þ = Ta có z2 = == Þ ()2 = ()3 =()2 . = Ta có: 1 + z + z2 = Nhận xét: Trong bài toán này, để tính ta có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong số thực. Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: Giải: Ta có : Suy ra số phức liên hợp của z là: Ví dụ 3: Tìm mô đun của số phức Giải: Ta có : Vậy, mô đun của z bằng: Ví dụ 4: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i Û (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i Û Giải hệ này ta được: Bài tập rèn luyện Bài 1.CĐ11. Cho số phức z thỏa . Tìm phần thực và phần ảo của . Bài 2. Tìm x, y thỏa . Bài 3. Tìm x, y thỏa . Bài 4. Tìm x, y thỏa . Bài 5.CĐ10. Cho số phức z thỏa . Tìm phần thực và phần ảo của z. Bài 6. Tìm 2 số thực x, y thỏa mãn ĐS: x= 172/61, y = -3/61 Bài 7. Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa . ĐS: x = 3 ; y = 1 Bài 8. Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa . ĐS: x = 1 ; y = 2 Vấn đề 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thoả mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau: Giả sử z = x+yi (x, y Î R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Ta có: OM = = Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M. Lưu ý: Với số thực dương R, tập hợp các số phức với = R biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn tâm O, bán kính R. Các số phức z, < R là các điểm nằm trong đường tròn (O;R) Các số phức z, >R là các điểm nằm ngoài đường tròn (O;R) Ví dụ 1 : Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M(z) thoả mãn một trong các điều kiện sau đây: 1. =2 2. 3. 4. 5. 1≤ Giải: 1) Xét hệ thức: =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y Î R) Þ z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i. Khi đó (1) Û Û (x-1)2 + (y + 1)2 = 4.Þ Tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2. 2) Xét hệ thức (2) (2) Û (*) Gọi A là điểm biểu diễn số -2, còn B là điểm biểu diễn số phức i (A(-2;0); B(0;1)) Đẳng thức (*) chứng tỏ M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp tất cả các điểm M(z) chính là đường trung trực của AB. Chú ý: Ta có thể giải cách khác như sau: Giả sử z = x + yi, khi đó: (2) Û |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| Û (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 Û 4x + 2y + 3 = 0. vậy tập hợp các điểm M(z) là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0. nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0 chính là phương trình đường trung trực của đoạn AB. 3) Xét: (3) Giả sử z = x + yi, khi đó: (3) Û |2+x+yi| > |x+yi-2| Û (x+2)2 +y2 > (x-2)2 +y2 Û x > 0. Þ Tập hợp các điểm M(z) là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung, tức là các điểm (x;y) mà x > 0. Nhận xét: Ta có thể giải cách khác như sau: (3) Û |z-(-2)| >|z-2| Gọi A, B tương ứng là các điểm biểu diễn số thực -2 và 2, tức là A(-2;0), B(2;0). Vậy (3) Û M(z)A > M(z)B. Mà A, B đối xứng nhau qua Oy. Từ đó suy ra tập hợp các điểm M(z) là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung. 4) Xét hệ thức: Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn các điểm 4i và -4i tức là F1 (0;4) và F2 =(0;-4). Do đó: (4) Û MF1 + MF2 = 10 (M = M(z)) Ta có F1F2 = 8 Þ Tập hợp tất cả các điểm M nằm trên (E) có hai tiêu điểm là F1 và F2 và có độ dài trục lớn bằng 10. Phương trình của (E) là: 5) Xét hệ thức 1≤ Û 1≤ . Xét điểm A(-1;1) là điểm biểu diễn số phức -1 + i. Khi đó 1≤ MA ≤ 2. Vậy tập hợp các điểm M(z) là hình vành khăn có tâm tại A(-1;1) và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2 và 1 Bài tập rèn luyện: Bài 1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức z thỏa: a) b) c) d) e) f) Bài 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức z thỏa . Bài 3: B2010. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm iểu diễn của số phức z thỏa mãn: Bài 4: D2009: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm iểu diễn của số phức z thỏa mãn: . Bài 5.Cho số phức z thỏa . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong Oxy. Bài 6. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện Bài 7. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn: a) b) c) d) Bài 8: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : a) z2 là số thực âm b) . ĐS: a)Trục thực Ox từ gốc O. b) Elip c) HD: . Suy ra . Vậy tập hợp cần tìm là hai đường thẳng : y = x Bài 9: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = x + yi với x, y thuộc R và thỏa mãn : a) b) Bài 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện Bài 11: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: Bài 12:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện Vấn đề 3:GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỨC. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức. Cho số phức w = a + bi . Tìm căn bậc hai của số phức này. Phương pháp: +) Nếu w = 0 Þ w có một căn bậc hai là 0 +) Nếu w = a > 0 (a Î R) Þ w có hai căn bậc hai là và - +) Nếu w = a < 0 (a Î R) Þ w có hai căn bậc hai là và - +) Nếu w = a + bi (b ¹ 0) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w Û z2 = w Û (x+yi)2 = a + bi Û Để tìm căn bậc hai của w ta cần giải hệ này để tìm x, y. Mỗi cặp (x, y) nghiệm đúng phương trình đó cho ta một căn bậc hai của w. Chú ý: Có rất nhiều cách để giải hệ này, sau đây là hai cách thường dùng để giải. Sử dụng phương pháp thế: Rút x theo y từ phương trình (2) thế vào pt (1) rồi biến đổi thành phương trình trùng phương để giải. Nhận xét: Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau. Ví dụ : Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: 4 + 6i -1-2i Giải: 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = 4 + 6i Khi đó: z2 = w Û (x+yi)2 = 4 + 6iÛ (2) Û x4 – 4x2 – 45 = 0 Û x2 = 9 Û x = ± 3. x = 3 Þ y = x = -3 Þ y = - Vậy số phức w = 4 + 6i có hai căn bậc hai là: z1 = 3 +i và z2 = -3 -i 2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2i Khi đó: z2 = w Û (x+yi)2 = -1-2i Û (2) Û x4 + x2 – 6 = 0 Û x2 = 2 Û x = ± . x = Þ y = - x = - Þ y = Vậy số phức w = 4 + 6i có hai căn bậc hai là: z1 = -i và z2 = - +i Dạng 2: Giải phương trình bậc hai. Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = 0 (1) (A, B, C Î C, A ¹ 0) Phương pháp: Tính D = B2 – 4AC *) Nếu D ¹ 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = , z2 = (trong đó d là một căn bậc hai của D). *) Nếu D = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 = Ví dụ : Giải các phương trình bậc hai sau: z2 + 2z + 5 = 0 z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = 0 Giải: 1) Xét phương trình: z2 + 2z + 5 = 0 Ta có: D = -4 = 4i2 Þ phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i và z2 = -1 – 2i. 2) Ta có: D = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i. Bây giờ ta phải tìm các căn bậc hai của 2i. 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = 2i Þ Vậy số phức 2i có hai căn bậc hai là: 1+i và -1 –i Þ Phương trình có hai nghiệm là: z1 = z2 = Nhận xét: Ngoài phương pháp tìm căn bậc hai như ở trên, đối với nhiều bài ta có thể phân tích D thành bình phương của một số phức. Chẳng hạn: 2i = i2 + 2i + 1 = (i+ 1)2 từ đó dễ dàng suy ra hai căn bậc hai của 2i là 1 + i và -1 – i. Dạng 3: Phương trình quy về bậc hai Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể quy được về bậc hai. Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai. Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải. 3.1. Phương pháp phân tích thành nhân tử. Ví dụ 1: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1) Giải: a) Đặt z = yi với y Î R Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = 0 Û -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = 0 = 0 + 0i đồng nhất hoá hai vế ta được: giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2 Vậy phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i. b) Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i Þ vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b Î R) đồng nhất hoá hai vế ta giải được a = 2 và b = 5. Þ (1) Û (z – 2i)(z2 = 2z + 5) = 0 Û Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm. Ví dụ 2: Giải các phương trình: z3 – 27 = 0 z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x,y Î Z Giải: z3 – 27 = 0 Û (z – 1) (z2 + 3z + 9) = 0 Û Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. 2) Ta có: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: Từ hệ trên, rõ ràng x ¹ 0 và y ¹ 0. Đặt y = tx , hệ Þ 18(3x2y – y3) = 26(x3 – 3xy2 ) Þ 18(3t-t3 ) = 26(1-3t2) Û 18t3 – 78t2 – 54t+26 = 0 Û ( 3t- 1)(3t2 – 12t – 13) = 0. Vì x, y Î Z Þ t Î Q Þ t = 1/3 Þ x = 3 và y = 1 Þ z = 3 + i. 3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ 1: Giải phương trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = 0 Giải: Đặt t = z2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng: t2 + 4t – 12 = 0 Û Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = 0 Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang: t2 +2zt – 3z2 = 0 Û (t – z)(t+3z) = 0 Û + Với t = z Û z2 + 3z +6 –z = 0 Û z2 + 2z + 6 = 0 Û + Với t = -3z Û z2 + 3z +6 +3z = 0 Û z2 + 6z + 6 = 0 Û Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Bài tập rèn luyện Bài 1: Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình: . Tính giá trị của biểu thức . Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập phức: b) ; c) Hướng dẫn: a) b) c) Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập phức: b) Hướng dẫn: a) b) Bài 4: Cho a, b, c Î R, a ¹ 0, là hai nghiệm phương trình . Hãy tính và theo các hệ số a, b, c. Hướng dẫn: = , = Bài 5: Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, làm nghiệm. Hướng dẫn: Phương trình ẩn x nhận z, làm nghiệm nên có (x – z)(x –) = 0 Û . Với z + = 2a, z= . Vậy phương trình đó là Bài 6: Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì Hướng dẫn: là một căn bậc hai của w Þ VD: tức là một căn bậc hai của thì Bài 7: Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: b) c) Hướng dẫn: a) b) c) Phương trình có hai nghiệm phức là . Bài 8: a) Giải phương trình sau: b) Tìm số phức B để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Hướng dẫn: có 3 nghiệm là . Ta có nên Bài 9: Tìm nghiệm của phương trình trong các trường hợp sau: k = 1; b) k = ; c) k = 2i. Hướng dẫn: có 2 nghiệm k = 1 thì b) k = thì c) Bài 10: Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: ; b) ; c) ; d) Hướng dẫn: . Bài 11: Cho phương trình: z4 -2z3 – z2 – 2z + 1 = 0 (1) Bằng cách đặt y = z + hãy đưa phương trình về dạng: y2 – 2y – 3 = 0. b, Từ đó giải (1) Bài 12: Giải phương trình: z4 – z3 + + z + 1 = 0 (1) MỘT SỐ BÀI TẬP SỐ PHỨC QUA CÁC KY THI 1). Giải phương trình: trên C. (TN THPT 2006) ĐS: 2). Giải phương trình: trên tập số phức. (TN THPT 2007) ĐS: 3). Giải phương trình: trên C. (TN THPT 2007) ĐS: 4). Tìm giá trị của biểu thức: . ĐS: 5). Giải phương trình: trên C. (TN THPT 2008) ĐS: 6). Giải phương trình: trên C. (TN THPT 2009) ĐS: 7). Giải phương trình: trên C. (TN THPT 2009_NC) ĐS: 8). Giải phương trình: trên tập số phức. (TN BTTH 2010) ĐS: 9). Cho hai số phức: . Xác định phần thực, phần ảo của số phức (TN THPT 2010) ĐS: Số phức có phần thực bằng và phần ảo bằng 8. 10). Cho hai số phức: . Xác định phần thực, phần ảo của số phức (TN THPT 2010_NC) ĐS: Số phức có phần thực bằng 26 và phần ảo bằng 7. 11) .Tìm phần thực, phần ảo và mô đun của số phức: (TN BTTH 2012). ĐS: 12). Cho số phức: . Xác định phần thực và phần ảo của số phức . (TN BTTH 2009). ĐS: Số phức có phần thực bằng 8 và phần ảo bằng –14 . 13). Cho số phức: . Tìm số phức liên hợp và tính mô đun của số phức z. (TN BTTH 2011). ĐS: và 14). Giải phương trình: trên tập số phức. (TN THPT 2011_CB) ĐS: 15). Giải phương trình: trên tập số phức. (TN THPT 2011_NC) ĐS: 16). Tìm các số phức: và , biết . (TN THPT 2012_CB) ĐS: và 17). Tìm các căn bậc hai của số phức: . (TN THPT 2012_NC) ĐS: Các căn bậc hai của z là: 18). Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tính giá trị của biểu thức: (ĐH KA-2009) ĐS: 19). Tìm số phức thỏa mãn và (ĐH KB-2009) ĐS: hoặc 20). Trong mp (Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: (ĐH KD-2009) ĐS: Đường tròn tâm , bán kính 21). Cho số phức z thỏa mãn: . Xác định phần thực, phần ảo của số phức z. (CĐ Khối A,B,D-2009). ĐS: 22). Giải phương trình: trên . (CĐ Khối A,B,D-2009). ĐS: 23). Tìm phần ảo của số phức z, biết: . (ĐH KA-2010). ĐS: Phần ảo: 24). Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm mô đun của (ĐH KA-2010). ĐS: 25). Trong mp (Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: (ĐH KB-2010). ĐS: Đường tròn 26). Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: và là số thuần ảo. (ĐH KD-2010). ĐS: 27). Cho số phức z thỏa mãn: . Xác định phần thực , phần ảo của z. (CĐ Khối A,B,D-2010). ĐS: Phần thực bằng –2 , phần ảo bằng 5. 28). Giải phương trình: , trên . (CĐ Khối A,B,D-2010). ĐS: 29). Tìm tất cả các số phức z, biết: . (ĐH KA-2011). ĐS: 30). Tính mô đun của số phức z, biết: . (ĐH KA-2011). ĐS: 31). Tìm số phức z, biết: . (ĐH KB-2011). ĐS: 32). Tìm phần thực, phần ảo của số phức . (ĐH KB-2011). ĐS: Phần thực bằng 2, phần ảo bằng 2. 33). Tìm số phức z, biết: . (ĐH KD-2011). ĐS: 34). Cho số phức z thỏa man: . Tính mô đun của z. (CĐ Khối A,B,D-2010). ĐS: 35). Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm phần thực, phần ảo của .(CĐ Khối A,B,D-2011). ĐS: 36). Cho số phức z thỏa mãn: . Tính mô đun (ĐH KA-2012). ĐS: 37). Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm mô đun số phức . (ĐH KD-2012). ĐS: 38). Giải phương trình: , trên tập số phức. (ĐH KD-2012). ĐS: 39). Cho số phức z thỏa mãn . Tìm tọa độ biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy.(CĐ Khối A,B,D-2012). ĐS: Điểm tọa độ biểu diễn của z là 40). Gọi là hai nghiệm phức của phương trình: . Tính . (CĐ Khối A,B,D-2012). ĐS: