Chuyên đề Tháng 10 Phép chiếu vectơ

Chuyên đề tháng 10: Phép chiếu vectơ I. Định nghĩa: Cho đường thẳng và đường thẳng l không song song với , là vectơ bất kì. Qua A, B kẻ các đường thẳng song song với l, chúng cắt theo thứ tự tại A’, B’. Vectơ được gọi là hình chiếu của vectơ qua phép chiếu phươngl (phương chiếu) lên đường thẳng (đường thẳng chiếu). Hiển nghiên, nếu hai vectơ bằng nhau thì các hình chiếu của chúng qua cùng một phép chiếu vectơ cũng bằng nhau. II. Tính chất: Gọi f là phép chiếu vectơ phương l lên đường thẳng . Ta có : f(+ ) = f() + f(). f(k) = kf() . (k f() = Û Giá của song song với l. f() = Û Giá của song song với . Chứng minh Từ điểm A bất kì dựng = , từ B dựng = . Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm trên sao cho AA’, BB’, CC’ song song với l . 1) Ta có : f( + ) f() + f() Suy ra f( + ) = f() + f(). Giả sử = k , E’ là hình chiếu của E qua f. Theo định lí Talet ta có : f(k ) = f() = = = kf() = kf(). f() = ÛÛ Û AB // l hay giá của song song với l. f() = Û Û A’B’ // AB hay giá của song song với. Chú ý: 1) f() = . 2) Khi nói đến phép chiếu vectơ mà không nói rõ phương chiếu thì ta hiểu đó là phép chiếu vectơ có phương vuông góc với đường thăng chiếu. 3) Tâm tỉ cự của hệ điểm : Điểm G đgl tâm tỉ cự của hệ điểm A1, A2, ..., An với hệ số k1, k2, ..., kn nếu III. áp dụng : Bài 1. Cho ngũ giác đều ABCDE có tâm O. CMR : . (1) Giải Xét phép chiếu vectơ vuông góc lên đường thẳng CD. Hình chiếu của VT(1) là : . Suy ra, VT(1) là một vectơ có giá song song với đường thẳng OA (theo t/c 3, vì OACD). Tương tự, nếu xét phép chiếu vectơ vuông góc với DE thì ta suy ra VT(1) là một vectơ có giá song song với đường thẳng OB. VT(1) là một vectơ có giá song song OA, OB suy ra VT(1) là . Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. X, Y, Z, T theo thứ tự thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA. Gọi O1, O2, O3, O4 theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác BXY, CYZ, DZT, ATX. CMR : O1O2O3O4 là hình bình hành. Giải Gọi f, g là các phép chiếu vectơ vuông góc lên AB, AD. Ta sẽ chứng minh hai vectơ và có hình chiếu qua hai phép chiếu f, g là bằng nhau. Thật vậy * f() = f() Û (đúng) * g() = g() Û g(-) = Û g() = Û g() = g() Û (đúng) Vậy ta có = , tức O1O2O3O4 là hình bình hành. Bài 3. Cho tam giác ABC, O, H lần lượt là trực tâm của tam giác. CMR : . Giải Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên các cạnh đối diện; M là hình chiếu của O trên BC. Đặt + + - . Xét phép chiếu vectơ phương (AA’) lên đường thẳng BC. Qua phép chiếu này, các vectơ , ,, lần lượt biến thành , ,,. Khi đó biến thành ’= + +- = + = , suy ra có giá song song với đường thẳng AA’. (1) Tương tự, có giá song song với BB’. (2) Từ (1), (2) suy ra = , tức là . Bài 4. Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác. H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. CMR : M là trọng tâm tam giác HIK khi và chỉ khi + b2 + c2= . Giải Bài 5. Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P thuộc các đường thăng BC, CA, AB . CMR : AM, BN, CP đồng quy tại tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} ứng với các hệ số {, , } khi và chỉ khi Giải * Nếu AM, BN, CP đồng quy tại O và thì (đ/n tâm tỉ cự). Xét phép chiếu vectơ phương (AM) lên đường thẳng BC, ta có: Tương tự,