Chuyên đề Thể tích của khối lăng trụ

Chuyên đề : I. Mở đầu : Trong chương trình phổ thông , Hình học không gian là một mơn học rất khó đối với học sinh , do cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích của khối đa diện cụ thể ở đây là thể tích khối chóp, khối lăng trụ, do đĩ trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT-Tuyển sinh ĐH-CĐ ,bài tốn HHKG là phần chung cho cả hai ban .Nhưng đa số học sinh thường bỏ hoặc làm sai bài tốn này . Để giải được bài tốn này học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thuyết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành giải bài toán. Chính vì thế tơi quyết định chọn chuyên đề “Thể tích khối đa diện “, nhưng do thời gian thực hiện chuyên đề cĩ hạn , nên ở đây tơi chỉ trình bày phần “Thể tích của khối lăng trụ “ để quý Thầy Cơ và các em học sinh tham khảo , đồng thời đĩng gĩp ý kiến để chuyên đề này hồn chỉnh hơn. Xin chân thành cám ơn ! II. Kiến Thức Cơ Bản Hình vuơng cạnh a cĩ diện tích S=a2 Hình chữ nhật cĩ cạnh a,b cĩ diện tích S=a.b Tam giác vuơng cĩ hai cạnh gĩc vuơng a,b cĩ diện tích S=12ab . Tam giác thường biết cạnh đáy và chiều cao S=12a.hA=12b.hB=12c.hC Hình thoi biết hai đường chéo a,b Sthoi=12a.b Hình bình hành biết cạnh a và đường cao hA Shbh=a.hA. Một số cơng thức khác tính diện tích tam giác SABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB =pp-ap-bp-c=abc4R=pr Định lý Cosin a2=b2+c2-2bccosA; b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2abcosC. Định lý sin asinA=bsinB=csinC=2R Hệ thức lượng trong tam giác vuơng BC2=AB2+AC2; AH.BC=AB.AC BA2=BH.BC ; CA2=CH.CB; 1AH2=1AB2+1AC2 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước VHộp=abc Thể tích khối chĩp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao. VChĩp=13Sđáy.Cao=13Bh Thể tích khối lăng trụ bằng tích số diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đĩ. Vlăngtrụ=Sđáy.Cao=Bh TỶ SỐ THỂ TÍCH. ĐỊNH LÝ 1 Cho tam giác ABC và đường thẳng d cắt AB,AC lần lượt tại B’,C’ khi đĩ SABCSAB'C'=AB.ACAB'AC' ĐỊNH LÝ 2 Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A’B’C’ khi đĩ VSACBVSA'B'C'=SA.SB.SCSA'.SB'.SC' III. Nội Dung : Dạng 1: Khối lăng trụ đứng cĩ chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuơng cân tại A cĩ cạnh BC = a và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ. Gv: Dự đốn chướng ngại văn hĩa và nhận thức của học sinh để ơn tập: + Học sinh khơng vẽ được lăng trụ đứng tam giác . + Học sinh khơng xác định được cạnh tam giác vuơng cân + Học sinh khơng biết dùng định lí Pythagor để tính chiềo cao lăng trụ. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình + Dựng tam giác vuơng đáy ABC hay A'B'C' . + Dựng các cạnh bên lăng trụ đứng. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ. + Phân tích từ V = B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? +Tìm diện tích đáy ABC thì phải dùng cơng thức nào ? tìm cạnh nào ? tại sao ? +Tìm chiều cao AA' của lăng trụ phải dùng tam giác nào bởi định lí gì ? Giải Ta cĩ vuơng cân tại A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là lăng trụ đứng Vậy V = B.h = SABC .AA' = Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' cĩ cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này. Gv: Dự đốn chướng ngại văn hĩa và nhận thức của học sinh để ơn tập: + Học sinh khơng vẽ được lăng trụ tứ giác đều . + Học sinh khơng xác định được tam giác BDD' vuơng tại D + Học sinh khơng biết dùng định lí Pythagor để tính đường chéo đáy + Học sinh khơng tính được cạnh của hình vuơng ABCD. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình + Dựng tứ giác đều ABCD hay A'B'C'D' . + Dựng các cạnh bên của lăng trụ đứng. + Học sinh dựng một đường chéo BD' của lăng trụ . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ. + Phân tích V= B.h để cĩ h =4a và tìm B trong hình là diên tích đối tượng nào ? +Tìm diện tích đáy ABCD thì phải tìm cạnh nào ? tại sao ? +Tìm BD thì dùng tam giác nào? tại sao ? Suy ra cạnh hình vuơng ABCD ? Giải ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ABCD là hình vuơng Suy ra B = SABCD = Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hĩa và nhận thứ ccủa học sinh: + Học sinh khơng vẽ được lăng trụ tam giác đều. + Học sinh khơng xác định được đường cao và diện tích của tam giác đều . + Học sinh khơng biết xác định I chân đường cao để vận dụng định lý 3 đường vuơng gĩc . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình + Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của lăng trụ đứng. + Dựng tam giác A'BC và các đường cao A'I , AI . Tại sao ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ. + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diên tích B = SABC bằng cơng thức nào ? + Từ diện tích suy ra cạnh nào ? tại sao ? + Tìm h = AA' dùng tam giác nào và định lí gì ? Giải Gọi I là trung điểm BC . Ta cĩ ABC đều nên . Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng cĩ đáy là hình thoi cạnh a và cĩ gĩc nhọn bằng 600 . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp . Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hĩa và nhận thức của học sinh: + Học sinh khơng vẽ được hình hộp đứng cĩ đáy là hình thoi. + Học sinh khơng xác định được tam giác ABD đều . + Học sinh khơng tính được diện tích hình thoi + Học sinh khơng tính được AC để suy ra BD' + Học sinh khơng biết dùng định lý Pythagor vào tam giác BDD' để tính DD' Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' và dựng các cạnh bên của hình hộp. + Dựng chéo lớn AC của ABCD ? và chéo nhỏ của hình hộp? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào ? + Tìm h = DD' trong tam giác vuơng nào ? và định lí gì ? Giải Ta cĩ tam giác ABD đều nên : BD = a và SABCD = 2SABD = Theo đề bài BD' = AC = Vậy V = SABCD.DD' = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng cĩ đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. ĐS: ; S = 3a2 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' cĩ đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng . Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác cĩ đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ. Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác cĩ độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ . Đs: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B cĩ đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 24a3 Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều cĩ tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 64 cm3 Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác cĩ các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2888 Bài 8: Cho khối lập phương cĩ tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 . Tính thể tích khối lập phương Đs: V = 8 m3 2)Dạng 2: Lăng trụ đứng cĩ gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một gĩc 600 . Tính thể tích lăng trụ. Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hĩa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh khơng dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho. + Học sinh khơng biết cạnh bên lăng trụ đứng vuơng gĩc đáy để suy ra tam giác vuơng + Học sinh khơng xác định được gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng . + Học sinh khơng biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuơng để tìm độ dài một cạnh của tam giác . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và dựng các cạnh bên của hình lăng trụ . + Dựng A'B ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Tìm hình chiếu của A'B trên đáy ABC. Suy ra gĩc [A'B,(ABC)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng cơng thức nào ? + Tìm h = AA' trong tam giác vuơng nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Giải Ta cĩ : là hình chiếu của A'B trên (ABC) . Vậy SABC = Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A với AC = a ,= 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một gĩc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ. Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hĩa và nhận thức của học sinh: + Học sinh khơng dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho. + Học sinh khơng biết điều kiện để đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng. + Học sinh khơng xác định được gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng . + Học sinh khơng biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuơng để tìm độ dài một cạnh của tam giác . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và dựng các cạnh bên của hình lăng trụ đứng . + Dựng BC' ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Tìm hình chiếu của BC' trên (AA'C'C). Suy ra gĩc [BC',(AA'C'C)] = ? + Tìm AC' trong tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác gì ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng cơng thức nào ? + Tìm h = AA' trong tam giác vuơng nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Giải . Ta cĩ: nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C). Vậy gĩc[BC';(AA"C"C)] = = 30o V =B.h = SABC.AA' là nửa tam giác đều nên Vậy V = Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một gĩc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hĩa và nhận thứ ccủa học sinh: + Học sinh khơng dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho. + Học sinh khơng biết cạnh bên vuơng gĩc đáy để suy ra tam giác vuơng + Học sinh khơng xác định được gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng . + Học sinh khơng biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuơng để tìm độ dài một cạnh của tam giác . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hình vuơng ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ . + Dựng BD' và BD ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Tìm hình chiếu của BD' trên đáy ABCD. Suy ra gĩc [BD',(ABCD)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của hình vuơng ABCD bằng cơng thức nào ? + Tìm h = DD' trong tam giác vuơng nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Giải Ta cĩ ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta cĩ: và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD . Vậy gĩc [BD';(ABCD)] = Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' = Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a và = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một gĩc 30o . Tính thể tích của hình hộp. Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hĩa và nhận thức của học sinh: + Học sinh khơng dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho. + Học sinh khơng biết cạnh bên vuơng gĩc đáy để suy ra tam giác vuơng + Học sinh khơng xác định được gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng . + Học sinh khơng biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuơng để tìm độ dài một cạnh của tam giác. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ đứng. + Dựng AB' ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Tìm hình chiếu của AB' trên (ABCD). Suy ra gĩc [AB',(ABCD)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Dựng BD. Suy ra tam giác ABD cĩ hình tính gì ? Suy ra diện tích B của ABCD bằng cách nào? +Tính h = BB' trong tam giác nào ? Dùng hệ thức lượng giác nào ? Giải đều cạnh a vuơng tạiB Vậy Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cĩ đáy ABC vuơng cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một gĩc 30o . Tính thể tích lăng trụ ĐS: Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cĩ đáy ABC vuơng tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một gĩc 30o . Tính thể tích lăng trụ. ĐS: Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') một gĩc 30o . Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS: ; Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cĩ đáy ABC vuơng tại A biết AC = a và biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một gĩc 30o . Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. ĐS: , S = Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' cĩ khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một gĩc 300 .Tính thể tích lăng trụ ĐS: Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' cĩ đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD) một gĩc 30o và hợp với (ABB'A') một gĩc 45o . Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs: 3)Dạng 3: Lăng trụ đứng cĩ gĩc giữa 2 mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một gĩc 600 . Tính thể tích lăng trụ. Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hĩa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh khơng dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho. + Học sinh khơng biết cạnh bên lăng trụ đứng vuơng gĩc đáy để suy ra tam giác vuơng + Học sinh khơng xác định được gĩc giữa 2 mặt phẳng . + Học sinh khơng biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuơng để tìm độ dài các cạnh tam giác. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ . + Dựng mặt (A'BC) ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Nhận xét AB và A'B cĩ vuơng gĩc với BC khơng ? tại sao? + Suy ra gĩc[(A'BC);(ABC)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng cơng thức nào ? + Tìm h = AA' trong tam giác vuơng nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Giải Ta cĩ Vậy SABC = Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một gĩc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hĩa và nhận thức của học sinh: + Học sinh khơng xác định được gĩc giữa 2 mặt phẳng . + Học sinh khơng biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuơng. + Học sinh khơng biết cách tạo ra phương trình đại số để tìm độ dài một cạnh . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ . + Dựng mặt (A'BC) ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Nhận xét cĩ hình tính gì ? Suy ra I là trung điểm của BC cho ta vị trí AI và A'I thế nào với BC? Suy ra gĩc[(A'BC);(ABC)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Đặt BC = 2x . Suy ra A'I bởi tam giác nào ? + Từ diện tích tam giá A"BC suy ra x bởi cơng thức nào? + Tìm h = AA' trong tam giác vuơng nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Giải: đều mà AA' nên A'I(đl 3). Vậy gĩc [(A'BC);)ABC)] = = 30o Giả sử BI = x .Ta cĩ A’A = AI.tan 300 = Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8 Do đĩ VABC.A’B’C’ = 8 Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' cĩ cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một gĩc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hĩa và nhận thức của học sinh: + Học sinh khơng xác định được gĩc giữa 2 mặt phẳng . + Học sinh khơng áp dụng được các hệ thức lượng giác trong tam giác vuơng . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hình vuơng ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của lăng trụ đứng . + Dựng mặt (BDC') ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Xác định gĩc[BDC');(ABCD)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của ABCD bằng cơng thức nào ? + Tìm h = CC' trong tam giác vuơng nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Giải Gọi O là tâm của ABCD . Ta cĩ ABCD là hình vuơng nên CC'(ABCD) nên OC'BD (đl 3). Vậy gĩc[(BDC');(ABCD)] = = 60o Ta cĩ V = B.h = SABCD.CC' ABCD là hình vuơng nên SABCD = a2 vuơng nên CC' = OC.tan60o = Vậy V = Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' cĩ AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một gĩc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một gĩc 30o . Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hĩa và nhận thức của học sinh: + Học sinh khơng xác định được gĩc giữa 2 mặt phẳng và gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng . + Học sinh khơng áp dụng được các hệ thức lượng giác trong tam giác vuơng . Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng hình chữ nhật ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình hộp . + Dựng mặt (A'BC) và đường chéo A'C ? Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Nhận xét AB và A'B cĩ vuơng gĩc với BC khơng ? tại sao? + Suy ra gĩc[(A'BC);(ABCD)] = ? + Tìm hình chiếu của A'C trên (ABCD) ? Suy ra gĩc[A'C,(ABCD)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của ABCD bằng cơng thức nào ? + Tìm AB và AC bởi tam giác vuơng nào? Dùng hệ thức lượng giác nào ? + Tìm h = AA' trong tam giác vuơng nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Giải Ta cĩ AA' AC là hc của A'C trên (ABCD) . Vậy gĩc [A'C,(ABCD)] = BC AB BC A'B (đl 3) . Vậy gĩc[(A'BC),(ABCD)] = AC = AA'.cot30o = AB = AA'.cot60o = Vậy V = AB.BC.AA' = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' cĩ AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một gĩc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một gĩc 600 . ]Tính thể tích hộp chữ nhật. Đs : Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình vuơng và cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một gĩc 30o .Tính thể tích khối lăng trụ. Đs: V = 3a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một gĩc 45o. Tính thể tích lăng trụ. Đs: Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một gĩc 45o. Tính thể tích lăng trụ. Đs: Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B và BB' = AB = h biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một gĩc 60o. Tính thể tích lăng trụ. Đs: Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cĩ đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một gĩc 60o . A'B hợp với đáy ABC một gĩc 45o. Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ. Đs: 1) ; 2) V = ; V = Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' cĩ cạnh bên AA' = 2a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một gĩc 45o . BD' hợp với đáy ABCD một gĩc 600 . Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a . Đs: 1) V = 16a3 . 2) V = 12a3 .3) V = Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một gĩc 60o . 2)Tam giác BDC' là tam giác đều. 3)AC' hợp với đáy ABCD một gĩc 450 Đs: 1) ; 2) V = ; V = 4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là và hợp với đáy ABC một gĩc 60o . Tính thể tích lăng trụ. Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hĩa và nhận thức của học sinh: + Học sinh khơng dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho. + Học sinh khơng xác định được gĩc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy . + Học sinh khơng biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuơng để tìm chiều cao lăng trụ. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ xiên . + Dựng đường cao CC'. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Xác định gĩc giữa cạnh bên với đáy : Hình chiếu của CC' trên (ABC) là gì? + Suy ra gĩc[CC';(ABC)] = ? + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng cơng thức nào ? + Tìm h = CC' trong tam giác vuơng nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Giải Ta cĩ là hình chiếu của CC' trên (ABC) Vậy SABC .Vậy V = SABC.C'H = Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một gĩc 60 1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 2) Tính thể tích lăng trụ . Gv: Dự đốn các chướng ngại văn hĩa và nhận thứccủa học sinh: + Học sinh khơng dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho. + Học sinh khơng xác định được gĩc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy . + Học sinh khơng biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuơng để tìm độ dài chiều cao lăng trụ. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình : + Dựng tam giác đều ABC và tâm O của nĩ . + Dựng đường cao OA'. Từ đĩ dựng các cạnh bên của lăng trụ. Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ: + Xác định gĩc giữa cạnh bên AA' với đáy ABC : Hình chiếu của AA' trên (ABC) là gì? Suy ra gĩc[AA'';(ABC)] = ? +Chứng minh BC AA' bằng cách Chứng minh BC mặt phẳng nào ? Tứ đĩ cĩ thể BCCC' khơng ? tại sao? Vậy BB'C'C là hình gì? + Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng cơng thức nào ? + Tìm h = AA'' trong tam giác vuơng nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ? Giải : 1) Ta cĩ là hc của AA' trên (ABC) Vậy Ta cĩ BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ) tại trung điểm H của BC nên (đl 3 ) mà AA'//BB' nên .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật. 2) đều nên Vậy V = SABC.A'O = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'cĩ các cạnh đáy là 13;14;15 và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABCD một gĩc 45o . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một gĩc 30o.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =336 Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'cĩ AB =a;AD =b;AA' = c và và biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC một gĩc 60o.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều A,B,C biết AA' = .Tính thể tích lăng trụ. Đs: Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' cĩ hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bêb BB'C'C hợp vớio đáy ABC một gĩc 60o . Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. Đs: Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC một gĩc 60o và C' cĩ hình chiếu trên ABC trùng với O . Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B. Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'. Đs: 1) 2) Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuơng gĩc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a. Tìm gĩc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ. Tính thể tích lăng trụ. Đs: 1) 30o 2) Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một gĩc 90o Đs: Bài 9 : Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a và gĩc A = 60o chân đường vuơng gĩc hạ từ B' xuơng ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a. 1)Tìm gĩc hợp bởi cạnh bên và đáy. 2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp. Đs: 1) 60o 2) IV.Kết luận : Trên đây tơi đã trình bày cách giải cũng như những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải bài tốn thể tích khối đa diện , cụ thể là khối lăng trụ , nhưng do thời gian cĩ hạn và chuyên đề cũng khá dài , nên bài tập tương tự ở đây tơi khơng nêu ra , tơi sẽ gửi lại cho quý thầy cơ sau , kính mong quý thầy cơ nhiệt tình đĩng gĩp để chuyên đề được hồn chỉnh hơn. Xin cám ơn ! Hết GV thực hiện Trần Phú Vinh