Chuyên đề Tìm hiểu xung quanh vài bài toán thi học sinh giỏi tỉnh quảng nam

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH – QUẢNG NAM TỔ TOÁN TIN – NĂM HỌC 2007 – 2008 acac & acac CHUYÊN ĐỀ : TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NAM Giáo viên thực hiện: Ngô Tỵ ĐẠI SỐ HOÁ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC Bài toán : " Cho tam giác ABC thoả 2A+ 3B = . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết chúng là ba số tự nhiên liên tiếp " ( Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Tỉnh Quảng nam - 1999 - 2000 ) Tìm hiểu lời giải bài toán : Ta thử xác lập hệ thức liên hệ giữa độ dài các cạnh từ các dữ kiện của bài toán .Ta có : Từ giả thiết : 2A+ 3B = với A,B,C là 3 góc tam giác ta suy ra : c2 - ac - b2 = 0 Bài toán được phát biểu lại : " a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c2 - b2 = ac . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết chúng là ba số tự nhiên liên tiếp “ Từ dữ kiện a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c2 - b2 = ac ta suy ra : c > a , c> b + Trường hợp : c > b > a . a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp Þ a = n , b = n +1 , c= n +2 ( n Î N*) , kết hợp với c2 - b2 = ac suy ra (n+2) 2 – (n+1)2 = n.(n+2) Þ 2n + 3 = n2 + 2n Þ 3 = n2 (!) + Trường hợp : c> a > b . a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp Þ b = n , a = n +1 , c= n +2 ( n Î N*) , kết hợp với c2 - b2 = ac suy ra (n+2) 2 – n2 = (n+1).(n+2) Þ 4n + 4 = n2 + 3n +2 Þ n2 -n -2 = 0 Þ n = 2 , n = -1 ( loại ) Vậy độ dài các cạnh của tam giác là b = 2 , a = 3 , c = 4 Bài toán đề nghị :" Cho tam giác ABC thoả 2A+3B = . a/ Chứng minh a + b c b/ Chứng minh 10 c 9a + 6b