Chuyên đề Tổ hợp, xác suất - Chương 3: Tổ hợp, xác suất

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 1 CHƯƠNG 3: TỔ HỢP- SÁC XUẤT A. TỔ HỢP I. QUY TẮC ĐẾM 1. Qui tắc cộng: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện. 2. Qui tắc nhân: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện. BÀI TẬP Bài 1: ở Việt Nam, mọi học sinh đã tốt nghiệp THPT đều có quyền dự thi vào một trường đại học( có 35 trường ) hoặc một trường cao đẳng ( có 25 trường) hoặc một trường trung học chuyên nghiệp ( có21 trường ). Hỏi mỗi học sinh tốt nghiệp THPT có bao nhiêu cách chọn trường thi ? Giải - có 35 cách chọn trường đại học - Có 25 cách chọn trường cao đẳng - Có 21 cách chọn trường trung học chuyên nghiệp Khi đã chọn thi trường đại học thì không chọn trường thi là cao đẳng và chuyên nghiệp, tương tự với cao đẳng và trung học chuyên nghiệp, do đó có tất cả: 35 + 25 + 21 = 81 cách chọn trường thi Bài 2: Để lập hồ sơ thi tuyển vào đại học, mỗi thí sinh cần thực hiện 2 việc: - Chọn trường thi có tất cả 33 trường - Chọn khối thi, mỗi trường có 4 khối thi là A, B, C, D. Hỏi có bao nhiêu cách lập hồ sơ ? Giải Ta thấy có 33 cách lập trường thi và ứng với mỗi cách chọn trường đó, có 4 cách chọn khối để thi. Do đó, có tất cả: 33. 4 =132 cách lập hồ sơ Bài 3: Bạn An có 5 bông hoa hồng khác nhau, 4 bông hoa cúc khác nhau, 3 bông hoa lan khác nhau, bạn cần chọn ra 4 bông để cắm vào một lọ hoa, hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn hoa để cắm sao cho hoa trong lọ phải có đủ cả loại. giải: Bài toán xảy ra 3 trường hợp. +Trường hợp 1: Chọn 2 bông hồng, 1 bông cúc, 1 bông lan. - Chọn 1 bông hồng thứ nhất có 5 cách - Chọn 1 bông hồng thứ hai có 4 cách - Chọn 1 bông cúc có 4 cách - Chọn 1 bông lan có 3 cách Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.4.3=240 cách (1) +Trường hợp 2: Chọn 1bông hồng, 2 bông cúc, 1 bông lan. - Chọn 1 bông hồng có 5 cách - Chọn 1 bông cúc thứ nhất có 4 cách - Chọn 1 bông cúc thứ hai có 3 cách GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 2 - Chọn 1 bông lan có 3 cách Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.3.3 = 180 cách (2) +Trường hợp 3: Chọn 1 bông hồng, 1 bông cúc, 2 bông lan. - Chọn 1 bông hồng có 5 cách - Chọn 1 bông cúc có 4 cách - Chọn 1 bông lan thứ nhất có 3 cách - Chọn 1 bông lan thứ hai có 2 cách Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.3.2=120 cách (3) Từ (1), (2), (3), theo quy tắc cộng ta có: 240+180+120=540 cách Bài 4: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5. Lập được bao nhiêu số tự nhiên trong mỗi trường hợp sau: 1. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số. 2. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau. Lời giải: 1. Gọi số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là abcd Chọn chữ số d có 3 cách chọn, Chọn chữ số a có 5 cách chọn, Chọn chữ số b có 5 cách chọn, Chọn chữ số c có 5 cách chọn Theo quy tắc nhân có: 3.5.5.5=375 (số). 2. Gọi số tự nhiên thỏa ycbt là abcd - Nếu d=0: Chọn chữ số d có 1 cách chọn Chọn chữ số a có 5 cách chọn Chọn chữ số b có 4 cách chọn Chọn chữ số c có 3 cách chọn Theo quy tắc nhân có: 1.5.4.3=60 (số) (∗) - Nếu d≠ 0, có 2 cách chọn chữ số d Chọn chữ số a có 4 cách chọn Chọn chữ số b có 4 cách chọn Chọn chữ số c có 3 cách chọn Theo quy tắc nhân có: 2.4.4.3 = 96 (số) (∗∗) Từ (∗) và (∗∗) theo Quy tắc cộng ta có 60+96=156 (số) Bài 5: Cho các chữ số 0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 , 7 ,9 . Lập một số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số trên . Hỏi: a. Có bao nhiêu số chẵn b. Có bao nhiêu số có mặt chữ số 1 Lời giải: a. Gọi số đã cho có dạng : a1a2a3a4 ( a4 là chữ số chẵn) - Tìm số các số dạng trên kể cả a1=0 : - a4 có 3 cách chọn , các vị trí còn lại có A37=210 cách chọn nên số các số nầy là :630 số - Tìm số các số dạng trên mà a1 = 0 : - a4 có 2 cách chọn , các vị trí còn lại có A26=30 cách chọn nên số các số nầy là: 60 số Vậy số các số chẵn cần tìm là :630 –60 = 570 số b. Gọi số đã cho có dạng : a1a2a3a4 - Tìm số các số dạng trên kể cả a1 = 0 : Chọn vị trí cho chữ số 1 : có 4 cách , các vị trí còn lại có A37=210 cách chọn nên số các số nầy là :840 số - Tìm số các số dạng trên mà a1 = 0 : GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 3 a1 có 3 cách chọn , các vị trí còn lại có A26=30 cách chọn nên số các số nầy là :90 số Vậy số các số cần tìm là :840 – 90 = 750 số (quy tắc cộng) Bài 6: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau nếu a. Ghế sắp thành hàng ngang b. Ghế sắp quanh một bàn tròn. Lời giải: a. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành 7 vị trí. Xếp 4 bạn vào 7 vị trí có A47 cách. Vậy có 6!.A47 cách b. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6 vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có A46 cách. Vậy có 5!. A46 cách sắp xếp. BÀI TẬP TỰ GIẢI Baøi 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 12 đường. Baøi 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi có bao nhiêu trận đấu? ĐS: có 25.24 = 600 trận Baøi 3: a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa? b) Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau? ĐS: a) 18. b) 15. Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau? ĐS: 36. Baøi 5: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a) 35. b) 29. Baøi 6: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên? Baøi 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau. Baøi 8: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: a) gồm 6 chữ số. b) gồm 6 chữ số khác nhau. c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2. ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Baøi 9: a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số? GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 4 b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số? c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? d) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? e) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5? ĐS: a) 3125. b) 168. c) 20 d) 900. e) 180000. Baøi 10: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: a) Gồm 2 chữ số? b) Gồm 2 chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm 2 chữ số? d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại? f) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ĐS: a) 25. b) 20. c) 15 d) 8. e) 120. f) 24. Baøi 11: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số: a) Khác nhau? b) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300? c) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? d) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn? e) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ? ĐS: a) 100. b) 60. c) 36 d) 52. e) 48. Baøi 12: a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400? b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 , 500). ĐS: a) 35. b) 24. II. HOÁN VỊ 1. Giai thừa: n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1 n! = (n–1)!n ! ! n p = (p+1).(p+2)…n (với n>p) ! ( )! n n p = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) 2. Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n! 3. Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử. Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử là: Pn(n1, n2, …, nk) = 1 2 ! ! !... !k n n n n 4. Hoán vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử. Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qn = (n – 1)! BÀI TẬP GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 5 Dạng 1. Bài toán đếm, sắp xếp, phân phối Bài 1: . Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi trong một bàn học sinh. Giải Số cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi bằng số hoán vị của 4 phần tử Vậy P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 cách sắp xếp. Bài 2: Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển sách Sinh vào một kệ sách theo từng môn. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp? Giải Có 4 loại sách, do đó có 4! Cách sắp xếp theo môn. ở mỗi loại sách có: 3! Cách sắp xếp sách toán. 4! Cách sắp xếp sách lý 2! Cách sắp xếp sách hoá 5! Cách sắp xếp sách sinh Vậy có tất cả: 4!. 3!. 4!. 2!. 5! = 829440 cách sắp xếp. Bài 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn , trong đó có An, Bình vào 10 ghế kê thành hang ngang sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau. Giải. Ghép An và Bình thành một phần tử M có 2! cách. Xếp 9 phần tử(gồm 8 bạn còn lại và phần tử M) vào 9 vị trí có 9! Cách. Vậy theo quy tắc nhân có 2!.9! cách. Bài 4: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1? c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Bài 5. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu bởi chữ số 9? b) Không bắt đầu bởi chữ số 1? c) Bắt đầu bởi 19? d) Không bắt đầu bởi 135? ĐS: a) 24. b) 96. c) 6 d) 118 Bài 6. Một tổ có 10 học sinh. Có bao nhiêu cách: a. Xếp thành 1 hàng dọc. b. Ngồi quanh một bàn tròn 10 ghế. Giải a. Số cách xếp 10 học sinh thành 1 hàng dọc là 10!. b. Người thứ nhất có 1 cách chọn, không kể vị trí vì ngồi ở đâu cũng giống nhau. Khi người thứ nhất đã ngồi thì 9 vị trí còn lại cho 9 người ngồi, có 9! Vậy có 1.9! = 9! Bài 7. Cho 5 quả cầu màu trắng khác nhau và 4 quả cầu xanh khác nhau. Ta sắp xếp 9 quả cầu đó vào một hàng 9 chỗ cho trước. a. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau? b. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho hai quả cầu đứng cạnh nhau không cùng màu? c. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 quả cầu trắng đứng cạnh nhau. Giải a. Có 9! = 362880 cách b. Gọi các vị trí cần sắp xếp là 123456789. GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 6 Vì có 5 quả cầu màu trắng, 4 quả cầu màu xanh nên các vị trí số 1, 3, 5, 7, 9 là các quả cầu trắng, các vị trí 2, 4, 6, 8 là các quả cầu màu xanh Để sắp xếp 5 quả cầu trắng có 5! cách. Để sắp xếp 4 quả cầu xanh có 4! cách Vậy có 5!4! = 2880 cách c. Ta gọi 5 quả cầu trắng là vị trí a, như vậy với 9 vị trí như trên thì có 4 vị trí số và 1 vị trí a. Xếp 5 quả cầu trắng vào vị trí a có 5! cách. Xếp 4 quả cầu xanh vào các vị trí số là 4!. Có 5 các chọn vị trí a Vậy có 5.5!4! = 14400 cách. Bài 8. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9. Giải Gọi số có 3 chữ số và chia hết cho 9 là số abc, với a + b +c  9 Vậy {a, b, c} = {0, 4, 5}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4} Với tập {0, 4, 5} có 2.2.1 = 4 số Với các tập{1, 3, 5} và {2, 3, 4}, mỗi tập có 3! Số Vậy có 4 + 2.3! = 16 số. Dạng 2. tính toán Baøi 1: Rút gọn các biểu thức sau: A = 7!4! 8! 9! 10! 3!5! 2!7!      B = 2011! 2009. 2010! 2009! 2011 C = 5! ( 1)!. ( 1) ( 1)!3! m m m m    D = 2 7! ( 2)!. ( ) 4!( 1)! m m m m    E = 1 . ! n k k k   F = 2 1 ! n k k k   A = 6! 1 ( 1)! .( 1)!. . ( 2)( 3) ( 1)( 4) ( 5)!5! 12.( 4)!3! m m m m m m m m m           (với m  5) Baøi 2: Chứng minh rằng: a) –1 –1– ( –1)n n nP P n P b) 1 2 2 1( 1) ( 2) ... 2 1n n nP n P n P P P         c) 2 1 1 ! ( 1)! ( 2)! n n n n     d) 1 1 1 11 ... 3 1! 2! 3! !n       e) 1! 2nn  Baøi 3: Giải các bất phương trình sau: a) 1 5 ( 1)! .( 1)!. 5 2 1 ( 3)!4! 12( 3).( 4)!2! n n n n n n n n           b) 4 ! ( 1)! 50n n    c) 3 ! 10 ( 2)! nn n    ĐS: a)  ( 1) 5 6 n n   n = 4, n = 5, n = 6 b) n = 2, n = 3 Baøi 4: Giải các phương trình sau: a) 22 3. – . 8P x P x  b) 1 1 1 6 x x x P P P     c) ( 1)! 72 ( 1)! n n    GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 7 d) ! ! 3 ( 2)! ( 1)! n n n n     e) ! ( 3)! 20 n n n   f) 3 ! 10 ( 2)! nn n    ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 c) n = 8 d) n = 3 e) n = 6 f) n = 2 III. CHỈNH HỢP 1. Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1  k  n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: !( 1)( 2)...( 1) ( )! k n nA n n n n k n k         Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.  Khi k = n thì nnA = Pn = n! 2. Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: k knA n BÀI TẬP DẠNG 1: Bài toán đếm, sắp xếp, phân phối Bài 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau nếu a. Ghế sắp thành hàng ngang b. Ghế sắp quanh một bàn tròn. Giải a. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành 7 vị trí. Xếp 4 bạn vào 7 vị trí có 47A cách. Vậy có 6!. 4 7A cách b. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6 vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có 46A cách. Vậy có 5!. 46A cách sắp xếp. Bài 2: ( ĐHQG HCM - 99) Với các số 1,2,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt thoả mãn điều kiện: a. Là 1 số chẵn. b. Là 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 278. c. Là 1 số chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng 278. Giải Cách 1: Đặt E = {1,2,5,7,8 }. Gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số là n  1 2 3a a a ( 1 0a  ) a. Do n chẵn nên a3 {2,8}  a3 có 2 cách chọn a1  E \ {a3}  a1 có 4 cách chọn a2  E \ {a1,a3}  a2 có 3 cách chọn Vậy: có 2.3.4 = 24 cách chọn hay có 24 số. Cách 2: a. Do n chẵn nên a3 {2,8}  a3 có 2 cách chọn GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 8 a1, a2 là 1 bộ phận biết thứ tự được chen từ E\{a3} do đó nó là một chỉnh hợp chập 2  24A cách chọn. Theo qui tắc nhân, số các số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt hình thành từ tâp E bằng 2. 24A = 24 (số). b. Do n nhỏ hơn 278 nên a1  {1;2}. Trường hợp 1: Nếu a1 = 1 thì a2  E\{a1} a2 có 4 cách chọn a3  E \ {a1,a2}  a3 có 3 cách chọn  có 1.4.3 = 12 cách chọn . Trường hợp 2: nếu a1 = 2 thì a2  E\{2,8}  a2 có 3 cách chọn a3  E \ {a1,a2}  a3 có 3 cách chọn  có 1.3.3 = 9 cách chọn . Vậy: có 12 + 9 = 21 cách chọn số có 3 chữ số phân biệt và nhỏ hơn 278. Tức là có 21 số thoả mãn ycbt c. Do n chẵn nên a3 {2,8} và số cần tìm nhỏ hơn 278 nên a1  2. Trường hợp 1: nếu a1 = 2  a1 có 1 cách chọn a3 {2,8}  a3 có 2 cách chọn a2  E \ {a1,a3}  a2 có 3 cách chọn  có 1.2.3 = 6 cách chọn . Trường hợp 2: nếu a1 = 2  a1 có 1 cách chọn a3 {2,8}\{a1}  a3 có 1 cách chọn a2  E \ {a1,a3}  a2 có 3 cách chọn  có 1.1.3 = 3 cách chọn . Vậy: có 6 + 3 = 9 cách chọn số tự nhiên chẵn gồm các chữ số khác nhau và nhỏ hơn hoặc bằng 278. Tức là có 9 số thoả mãn ycbt. Bài 3: Với tập E={1,2,3,4,5,6,7} có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và : a) Là số chẵn. b) Trong đó có chữ số 7. c) Trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1. Lời giải: a) Sử dụng kiến thức về hoán vị : * a5 được chọn từ tập F={2,4,6} ⇒ Có 3 cách chọn. * a1,a2,a3,a4 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{a5} do đó nó là một chỉnh hợp chập 4 của 6 ⇒ Có A46 cách chọn. Theo quy tắc nhân, số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt , hình thành từ tập E bằng : 3.A46=1080 số. b) Chọn 1 vị trí trong 5 vị trí của các chữ số để đặt chữ số 7 ⇒ có 5 cách chọn GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 9 Bốn vị trí còn lại nhận giá trị là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{7} do đó nó là một chỉnh hợp chập 4 của 6 ⇒ Có A46 cách chọn. Vây, số các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, trong đó có chữ số 7, bằng : ⇒ 5.A46=1800 số. c) Gán a2=1⇒ Có 1 cách chọn Chọn 1 vị trí trong 4 vị trí của các chữ số để đặt chữ số 7 ⇒ Có 4 cách chọn. Ba vị trí còn lại nhận giá trị là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{7,1} do đó nó là một chỉnh hợp chập 3 của 5 ⇒ có A35 cách chọn. Vậy, số các số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập E, trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1, bằng : 1.4.A35=240 số. Bài 4: với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu: a. Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau. b. Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau: Giải Gọi số có 4 chữ số là abcd a. Số cần lập là số lẻ nên: Có 3 cách chọn số d. Có 4 cách chọn số a. Có 24A cách chọn số bc Vậy có: 3. 4 . 24A = 144 số. b. Số cần lập là số chẵn: Trường hợp 1: d = 0  Số cách lập được số có 4 chữ số với d = 0 là 35A Trường hợp d  0 Có 2 cách chọn số d. Có 4 cách chọn số a Có 24A cách chọn bc  có 2.4. 24A = 96 số. Vậy có 35A + 96 = 156 số. Bài 5. Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà có mặt của chữ số 0 và chữ số 9. Giải Gọi số cần lập là A = a1a2a3a4a5a6 Trường hợp a1 = 9  9 a2a3a4a5a6 Có 5 vị trí chọn số 0 4 vị trí còn lại chọn 4 trong 8 số còn lại  có 48A  5. 48A Trường hợp a1  9, a2 = 9  a19a3a4a5a6 Số 0 có 4 vị trí 4 vị trí còn lại có 48A cách chọn. GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 10  4. 48A Vì số 9 ở vị trí a2 a3 a4 a5 a6 là như sau nên ta có 5.4. 48A số Vậy có . 5. 48A + 5.4. 4 8A = 42000 số. Bài 6. Từ các chữ số từ 1 đến 9, lập các số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau, có bao nhiêu số: a. Chia hết cho 5. b. Số 9 đứng ở chính giữa. Giải a. số các số chia hết cho 5 là: 88A = 40320 số. b. Chữ số 9 ở chính giữa thì có 1 cách chọn, 8 vị trí còn lại cho 8 số  số các số thoả mãn yêu cầu là 88A = 40320 số Bài 7. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau, có bao nhiêu số bé hơn 345 Giải Gọi số cần lập làabc , vì abc < 345 nên ta có các trường hợp: Trường hợp 1: a  3 a có thể là 1 hoặc 2  có 2 cách chọn a. bc chọn trong 5 số  có 25A  có 2. 25A = 40 số. Trường hợp a = 3, vì 3bc < 345 Nếu b = {1, 2,} thì b có 2 cách chọn Chữ số c có 4 cách chọn.  2.4 = 8 cách chọn. Nếu b = 4 thì có 2 cách chọn c  có 2 số.  có 2 + 8 = 10 số. Vậy có 10 + 40 = 50 số cần lập Bài tập tự giải Baøi 1: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? ĐS: Có 3 310 6.A A cách Baøi 2: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ? ĐS: 24A = 12 vectơ Baøi 3: Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) ĐS: 2nA = 132  n = 12 Baøi 4: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký. Hỏi có mấy cách chọn? ĐS: 6840. Baøi 5: Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao nhiêu cách chọn nếu: a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn). b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4. GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 11 ĐS: a) 55440. b) 120. Baøi 6: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau? b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau? c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau? ĐS: a) 6!. b) 360. c) 20160. Baøi 7: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau? ĐS: a) 499.A b) Có 9 5 số Baøi 8: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu: a) Số gồm 5 chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau? c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5? ĐS: a) 6. 46A b) 3 3 5 56. 3.5A A c) Số gồm 5 chữ số có dạng: abcde  Nếu a = 5 thì có 46A số  Nếu a  5 thì a có 5 cách chọn. Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e  có 4 cách chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại  có 35A cách chọn.  Có 4 36 54.5.A A = 1560 số DẠNG 2: bài toán tính toán Baøi 1: Rút gọn các biểu thức sau: A = 2 5 5 10 2 57 A A P P  B = 1 2 3 41 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4P A P A P A P A PP P P    C = 12 11 10 9 49 49 17 17 10 8 49 17 A A A A A A    D = 25 4 3 2 54 3 2 1 5 5 5 5 P P P P A A A A A        E = 10 49 10 11 49 49 39A 12!(5! 4!) 38A 13!4!A    F = 3 2 5 4 3 2 4 3 2 1 5 5 5 5 21( ) 20 P P P P P P A A A A         ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42 Baøi 2: Chứng minh rằng: a) 2 2 2 2 3 1 1 1 1... , , 2. n n vôùi n N n A A A n        b) 2 1 2.n n nn k n k n kA A k A       với n, k  N, k  2 c) 11 1. k k k n n nA A k A     Baøi 3: Giải các phương trình sau: a) 3 20nA n b) 3 25n nA A = 2(n + 15) c) 2 2 23 42 0.n nA A   d) 24 1 3 210 . n n n P A P     e) 2( 3 23n nA A ) = Pn+1 f) 2 22 6 12n n n nP A P A   g) 10 9 89 .x x xA A A  h) 2 2. 72 6( 2 )x x x xP A A P   i) 2 2 22 50x xA A  GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 12 k) 1 1 1 . 72. y x x y x A P P      l) 53 5720A .n n nP P  m) 6 5 4 n n nA A A  ĐS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6 d) n = 5 e) n = 4 f) n = 2; 3 g) x = 11. h) x = 3; 4. i) x = 5. k) x = 8, 7, .y y N  Baøi 4: Giải các bất phương trình: a) 4 4 15 ( 2)! ( 1)! nA n n     b) 4 2 2 1 143 0 4 n n n A P P      c) 3 15 15nA n  d) 3 2 12n nA A  e) 1 1 2 1 143 0 4 n n n A P P      ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2  n  36 IV. TỔ HỢP 1. Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1  k  n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử: ! ! !( )! k k n n A nC k k n k     Qui ước: 0nC = 1 Tính chất: 0 1 11 1 11; ; ;n k n k k k k k kn n n n n n n n n n kC C C C C C C C C k              2. Tổ h