Chuyên đề Toán 6 - Tính chất chia hết của một tổng , một hiệu , một tích

Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ 1 Tính chất chia hết của một tổng , một hiệu , một tích. A. Lý thuyết. I. Kiến thức cơ bản. 1. Tính chất 1: a
m; b
m; c
m => (a + b + c)
m (a; b ; c ∈ N; m 0≠ ) (a – b – c)
m 2. Tính chất 2 : a
m; b
m; c
m =>(a + b + c)
m (a; b ; c ∈ N; m 0≠ ) 3. Tính chất 3 : a
m => a . k
m 4. Tính chất 4 : a
m ; b
m => a . b
m . n II. Kiến thức mở rộng . 1. Nếu a
b = > an
bn . 2. Nếu a
m ; b
m => (a . k1 + b . k2)
m 3. Nếu a
m ; b
m ; (a + b + c)
m => c
m 4. Nếu a
m ; b
m ; (a + b + c)
m => c
m 5. Nếu a
m ; m
c => a
c . B . Bài tập. Bài 1. Không tính tổng hoặc hiệu sau, hãy xét xem tổng (hiệu) sau có chia hết cho 7 không? a) 49 + 28 + 14 + 35 b) 350 – 14 + 77 c) 63 + 56 + 70 d) 490 + 84 + 490 000 Giải a) 49 + 28 + 14 + 35 Ta thấy 49 = 7 . 7 ⇒ 49
7 28 = 7 . 4 ⇒ 28
7 ⇒ 49 + 28 + 14 + 35
7 14 = 7 .2 ⇒ 14
7 35 = 7 . 5 ⇒ 35
7 Vậy 49 + 28 + 14 + 35
7 b) 350 – 14 + 77 Ta thấy : 350 = 7 . 50 ⇒350
7 14 = 7 . 2 ⇒ 14
7 ⇒350 – 14 + 77
7 77 = 7 . 11 ⇒ 77
7 Vậy 350 – 14 + 77
7 c) 63 + 56 + 70 Ta thấy: 63 = 7 . 9 ⇒ 63
7 56 = 7 . 8 ⇒ 56
7 ⇒ 63 + 56 + 70
7 70 = 7. 10 ⇒ 70
7 Vậy 63 + 56 + 70
7 d) 490 + 84 + 490 000 Ta thấy 490 = 7 .70 ⇒ 490
7 84 = 7 . 12 ⇒ 84
7 ⇒ 490 + 84 + 490 000
7 490 000 = 7 70 000 ⇒ 490 000
7 Vậy 490 + 72 + 490 000
7 Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ 2 Bài 2. a) Chứng minh rằng với mọi n ∈ N thì 60n + 45 chia hết cho 15 nh−ng không chia hết cho 30. b) Chứng minh rằng với mọi n ∈ N thì 50n + 25 chia hết cho 25 nh−ng không chia hết cho 50. Giải. a) Ta có 60
15 ⇒ 60n
15 ; 45
15 ⇒ 60n + 45
15 (Tính chất 1) Ta có 60
30 ⇒ 60n
30 ; 45
30 ⇒ 60n + 45
30 (Tính chất 2) b) Ta có 50
25 ⇒ 50n
25 ; 25
25 ⇒ 50n + 25
25 (Tính chất 1) Ta có 50
50 ⇒ 50n
50 ; 25
50 ⇒ 50n + 25
50 (Tính chất 2) Bài 3. Cho A = 2 . 4 . 6. 8 . 10 . 12 + 40 . Hỏi
A có chia hết cho 6, cho 8 , cho 5 không. Giải Cho A = 2 . 4 . 6. 8 . 10 . 12 + 40 Ta có 6
6 ⇒ 2 .4 . 6. 8 . 10 . 12
6 ⇒ A
6 40
6 Ta có 8
8 ⇒ 2 . 4 . 6. 8 . 10 . 12
8 ⇒ A
8 40
8 Ta có 10
5 ⇒ 2 . 4 . 6. 8 . 10 . 12
5 ⇒ A
5 40
5 Bài 4 . Cho B = 23! + 19! – 15!. Chứng minh rằng : a) B
11 b) B
110 Giải B = 23! + 19! – 15! = 1.2.3…10.11…23 + 1.2.3…10.11…19 – 1.2.3…10.11…15 a) vì 11
11 ⇒ 1.2.3…10.11…23
11 1.2.3…10.11…19
11 ⇒ B
11 1.2.3…10.11…15
11 b) vì 11.10 =110
110 ⇒ 1.2.3…10.11…23
110 1.2.3…10.11…19
110 ⇒ B
110 1.2.3…10.11…15
110 Bài 5. Chứng minh rằng tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4. Giải * Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp lần l−ợt là : n ; n + 1; n + 2 ( n ∈N) Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ 3 Ta có A = n + n + 1 + n + 2 = n +n + n + 1 + 2 = 3n + 3 Vì 3n
3; 3
3 ⇒ 3n +3
3 ⇒A
3 * Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp lần l−ợt là : n ; n + 1; n + 2; n + 3 ( n ∈N) Ta có B = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = n +n + n +n+ 1 + 2 + 3 = 4n + 6 Vì 4n
4 ⇒ 4n + 6
4 ⇒ B
6 6
4 Vậy tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4. Bài 6 . Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng của 5 số lẻ liên tiếp chia hết cho 10 d− 5. Giải * Gọi 5 số chẵn liên tiếp là 2n ; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 ( n ∈N) Ta có A = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 A= 2n + 2n + 2n + 2n + 2n + 2 + 4 + 6 + 8 A = 10n + 20 Vì 10n
5 ⇒ 10n + 20
5 ⇒ B
5 20
5 * Gọi 5 số lẻ liên tiếp là 2n + 1 ; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 ( n ∈N) Ta có B = 2n + 1+ 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 B= 2n + 2n + 2n + 2n + 2n + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 B = 10n + 25 Vì 10n
10 ⇒ 10n + 25
10 d− 5⇒ B
10 d− 5. 25 : 10 d− 5 Vậy tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng của 5 số lẻ liên tiếp chia hết cho 10 d− 5. Bài 7 . Cho 4 số tự nhiên không chia hết cho 5, khi chia cho 5 đ−ợc những số d− khác nhau . Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 5 . Giải Gọi a; b ; c; d là 4 số tự nhiên . a; b; c; d khi chia cho 5 đ−ợc những số d− khác nhau nên số d− bé hơn ,5 số d− có thể là 1; 2; 3; 4. Gọi q1; q2; q3; q4 lần l−ợt là th−ơng của phép chia a; b; c; d cho 5 d− 1; 2; 3; 4. Ta có: a = 5q1 + 1; b = 5q2 + 2; c = 5q3 + 3; d = 5q4 + 4 Tổng 4 số tự nhiên trên là: A = a + b + c + d = 5q1 + 1 + 5q2 + 2 + 5q3 + 3 + 5q4 + 4 = 5q1 + 5q2 + 5q3 + 5q4 + 1 +2 +3 + 4 = 5(q1 + q2 + q3 + q4) + 10 Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ 4 Vì 5(q1 + q2 + q3 + q4)
5 ⇒ 5(q1 + q2 + q3 + q4) + 10
10 ⇒ A
10 10
5 Vậy 4 số tự nhiên không chia hết cho 5, khi chia cho 5 đ−ợc những số d− khác nhau . Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 5 . Bài 8 . Cho C = 1 + 3 + 32 + 33 + – + 311. Chứng minh rằng : a) C
13; b) C
40 Giải a) C = (1 + 3 + 32 ) + (33 + 34 + 35) + … + (39 + 310 + 311 ) C = (1 + 3 + 32 ) + (33.1+ 33 .3 + 33.32) + … + (39.1+ 39 . 3 + 39. 32 ) C = (1 + 3 + 32 ) + 33 (1 + 3 + 32) + … + 39 (1 + 3 + 32 ) C = (1 + 3 + 32 )(1 + 33 +… + 39) = 13. (1 + 33 +… + 39). Vì 13
13 nên 13. (1 + 33 +… + 39)
13 ⇒ C
13 b) C = (1 + 3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36+ 37) + (38 + 39 + 310 + 311 ) C = (1 + 3 + 32 + 33) +(34.1+34 .3 +34.32+34.33) + (38.1+38.3 + 38. 32 +38. 33) C = (1 + 3 + 32 + 33) +34(1+3 +32+33) + 38(1+3 + 32 + 33) C = (1 + 3 + 32 + 33)(1 + 34 + 38) C = 40. (1 + 34 + 38) Vì 40
40 nên 40. (1 + 34 + 38)
40 ⇒ C
40 Bài 9 . Chứng minh rằng: a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2. b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3. Giải a) Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là : a ; a + 1. Ta có A = a(a + 1) * Tr−ờng hợp a chẵn: a = 2n (n ∈N*) thì : A = 2n(2n + 1) Vì 2n
2 nên 2n(2n + 1)
2 ⇒ A
2 *Tr−ờng hợp a lẻ : a = 2n + 1 (n ∈N*) thì A = (2n + 1)(2n +1 +1) = (2n + 1)(2n + 2) = 2n(2n + 2) + 1(2n + 2) = 4n2 + 4n + 2n + 2 = 2( 2n2 + 2n + n + 1) Vì 2
2 ⇒ 2( 2n2 + 2n + n + 1)
2 ⇒ A
2 Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2. b) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1; a + 2 Ta có B = a (a + 1)(a + 2) * Tr−ờng hợp : a = 3n (n ∈N*)thì : B = 3n(3n + 1)(3n + 2) = (9n + 3n)(3n + 2) = 9n(3n + 2) + 3n(3n + 2) = 27n2 + 18n + 9n2 + 6n = 33n2 + 24n = 3(11n2 + 8n) Vì 3
3 nên 3(11n2 + 8n)
3 ⇒ A
3 *Tr−ờng hợp : a = 3n + 1 (n ∈N*)thì B = (3n + 1)(3n +1 +1)(3n + 1 + 2) = (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = 3 (3n + 1)(3n + 2)(n + 1) Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ 5 Vì 3
3 ⇒ 3 (3n + 1)(3n + 2)(n + 1)
3 ⇒ B
3 * Tr−ờng hợp a = 3n + 2 (n ∈N*) B = (3n + 2)(3n +2 +1)(3n + 2 + 2) = (3n + 2)(3n + 3)(3n + 4) = 3 (3n + 2)(n + 1)(3n + 4) Vì 3
3 ⇒ 3 (3n + 2)(n + 1)(3n + 4)
3 ⇒ B
3 Vậy tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3. Bài 10. Tìm n ∈N để : a) n + 4
n b) 3n + 7
n c) 27 - 5n
n Giải a) Ta có n + 4
n mà n
n⇒ 4
n mà 4 chia hết cho 1; cho 2; cho 4 nên n ∈ { }4;2;1 b) Ta có 3n + 7
n mà n
n⇒ 7
n mà 7 chia hết cho 1 và 7 nên n ∈ { }7;1 c)Ta có 27 - 5n
n mà 5n
n ⇒ 27
n mà 27 chia hết cho 1; 3; 9 và 27 nh−ng 5n < 27 ⇒ n < 6 nên n ∈ { };3;1 Bài 11. Tìm n ∈N sao cho : a) n + 6
n + 2; b) 2n + 3
n – 2; c) 3n + 1
11 – 2n Giải a) Ta có n + 6
n + 2 ; mà n + 2
n + 2 ⇒ n + 6 – (n + 2)
n + 2 ⇒n +6 – n – 2
n+2 ⇒ 4
n + 2 mà 4 chia hết cho 1; 2; 4 nên n + 2 ∈ ⇒ { }4;2;1 mà n + 2 > 1 do đó: n + 2 = 2 ⇒ n = 2 – 2 = 0 n + 2 = 4 ⇒ n = 4 – 2 = 2 Vậy n ∈ { }2;0 thì n + 6
n + 2. b) 2n + 3
n – 2 mà 2(n – 2)
n – 2 ⇒ 2n + 3 – 2(n -2)
n – 2 ⇒ 2n + 3 –2n + 4
n-2 ⇒ 7
n – 2 mà 7 chia hết cho 1; 7 nên n – 2 ∈ { }7;1 do đó: n – 2 = 1 ⇒ n = 1 + 2 = 3 n – 2 = 7 ⇒ n = 5 + 2 = 9 Vậy n ∈ { }9;1 thì 2n + 3
n - 2. c) 3n + 1
11 – 2n Ta có 2n < 11⇒ n < 6 Vì 11 – 2n
11 – 2n ⇒ 3n + 1 + 11 – 2n
11 – 2n ⇒2(3n + 1) + 3(11 – 2n)
11 – 2n ⇒6n + 2 + 33 – 6n
11 – 2n ⇒35
11 - 2n Mà 35 chia hết cho 1; 5; 7; 35 . Do đó: 11- 2n = 1 ⇒ 2n = 11 – 1 ⇒2n = 10 ⇒ n = 10 : 2 = 5 (TM n < 6) 11- 2n = 5 ⇒ 2n = 11 – 5 ⇒2n = 6 ⇒ n = 6 : 2 = 3 (TM n < 6) 11- 2n = 7 ⇒ 2n = 11 – 7 ⇒2n = 4 ⇒ n = 4 : 2 = 2 (TM n < 6) 11- 2n = 35 ⇒ 2n = 11 – 35 (loại vì n < 6) Vậy n ∈ { }5;3;2 thì 3n + 1
11 - 2n Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ 6 Bài 12. Tìm n ∈ N sao cho: a) n + 2
n – 1 b) 2n + 7
n + 1 c) 2n + 1
6 - n d) 4n + 3
2n – 6 Giải a) n + 2
n – 1 Ta có n + 2
n - 1 ; mà n - 1
n - 1 ⇒ n + 2 – (n - 1)
n - 1 ⇒n +2 – n + 1
n-1 ⇒ 3
n - 1 mà 3 chia hết cho 1; 3 nên n - 1 ∈ { }3;1 do đó: n - 1 = 1 ⇒ n = 1 + 1 = 0 n - 1 = 3 ⇒ n = 3 + 1 = 4 Vậy n ∈ { }4;0 thì n + 2
n - 1. b) 2n + 7
n + 1 Ta có 2n + 7
n + 1 mà n + 1
n + 1 ⇒2(n + 1)
n + 1 ⇒ 2n + 7 – 2(n +1)
n + 1 ⇒ 2n + 7 – 2n - 2
n + 1 ⇒ 5
n + 1 mà 5 chia hết cho 1; 5 nên n + 1 ∈ { }5;1 do đó: n + 1 = 1 ⇒ n = 1 – 1 = 0 n + 1 = 5 ⇒ n = 5 - 1 = 4 Vậy n ∈ { }4;0 thì 2n + 7
n + 1. c) 2n + 1
6 - n Ta có : 2n + 1
6 - n Vì 6 – n
6 – n ⇒ 2(6 – n)
6 – n ⇒ 2n + 1 + 2(6 – n)
6 – n ⇒2n + 1 + 12 – 2n
6 – n ⇒ 13
6 – n Mà 13 chia hết cho 1; 13 . Do đó: 6 - n = 1 ⇒ n = 6 – 1 = 5 (TM n < 6) 6 - n = 13 ⇒ n = 6 – 13 (loại) Vậy n = 5 thì 2n + 1
6 – n d) 4n + 3
2n – 6 Ta có 4n + 3
2n – 6 2n – 6
2n – 6 ⇒ 2(2n – 6)
2n – 6 ⇒ 4n + 3 – 2(2n - 6)
2n – 6 ⇒4n + 3 – 4n + 12
2n – 6 ⇒ 15
2n – 6 Mà 15 chia hết cho 1; 3; 5; 15 ⇒ 2n – 6 ∈ { }15;5;3;1 . Do đó: 2n – 6 = 1 ⇒2n = 1 + 6 ⇒2n = 7 ⇒ n = 7:2 loại vì 7 không
2 2n – 6 = 3 ⇒2n = 3 + 6 ⇒2n = 9 ⇒ n = 9:2 loại vì 9 không
2 2n – 6 = 5 ⇒2n = 5 + 6 ⇒2n = 11 ⇒ n = 11:2 loại vì 11 không
2 2n – 6 = 15 ⇒2n = 15 + 6 ⇒2n = 21 ⇒ n = 21:2 loại vì 21 không
2 Vậy không có giá tri nào của n để 4n + 3
2n - 6 Bài 13*. Cho 10k – 1
19 với k > 1 . Chúng minh rằng : a) 102k – 1
19 b) 103k – 1
19 Giả a) Ta có 102k- 1 = 102k – 10k + 10k – 1 = (10k . 10k – 10k) + (10k – 1) Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ 7 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) . Vì 10k – 1
19 ⇒10k(10k – 1) + (10k – 1)
19 ⇒102k- 1
19 (ĐPCM) b) Ta có 103k- 1 = 103k – 10k + 10k – 1 = (102k . 10k – 10k) + (10k – 1) = 10k(102k – 1) + (10k – 1) . Vì 10k – 1
19 ⇒10k(102k – 1) + (10k – 1)
19 ⇒103k- 1
19(ĐPCM) 102k- 1
19