Chuyên đề: Toán cực trị Hình học

Chuyên đề : Toán cực trị hình học I.Cơ sở lý thuyết: -Để chứng minh 1 đoạn thẳng là lớn nhất hay nhỏ nhất ta thường dựa vào các sự kiện sau: 1.Với 3 điểm A,B,C ta luôn có AC AB + BC . Dấu “=” xảy ra ú B nằm giữa A và C. 2.Điểm A nằm ngoài đương thẳng d . H là hình chiếu của A trên d. B là điểm bất kì trên d.Ta có: AB AH .Dấu “=” xảy ra ú B trùng H. 3.AB là dây cung bất kì của đường tròn(O,R).Ta luôn có : AB 2R.Dấu “=” xảy ra ú AB là đường kính. II. Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho đường tròn (O;R) và dây AB cố định.C là điểm chính giữa của cung lớn AB.Trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho C là trung điểm AI. BI cắt đường tròn (O) tại D. a) Chứng minh A,O,D thẳng hàng. b) M là 1 điểm bất kì nằm trên cung lớn AB .Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MB.Chứng minh 4 điểm A,B,K,I cùng nằm trên 1 đường tròn. c) Chứng minh IK // DM d) Tìm điểm M trên cung lớn AB sao cho tổng MA + MB đạt giá trị lớn nhất. Hd: a)chứng minh góc ABD = 900 => AD là đường kính => 3 điểm A,O,D thẳng hàng b)cm : góc AIB = gócAKB => ABKI nội tiếp (vì có 2 đỉnh I,K cùng nhìn AB dưới 1 góc bằng nhau) c) cm DM và IK cùng vuông góc AK d) Chú ý : MA + MB = AK và AI cố định , AK IK Baỡi 2: Cho nổớa õổồỡng troỡn (O) õổồỡng kờnh AB. D laỡ mọỹt õióứm nàũm trón nổớa õổồỡng troỡn õoù(D khọng truỡng vồùi A vaỡ B). Keớ DC vuọng goùc vồùi AB taỷi C.Caùc nổớa õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh AC vaỡ CB càừt DA,DB theo thổù tổỷ taỷi M vaỡ N. a/Chổùng minh DC = MN. b/ Chổùng minh tổù giaùc AMNB nọỹi tióỳp õổồỹc trong mọỹt õổồỡng troỡn . c/ Chổùng minh MN laỡ tióỳp tuyóỳn chung cuớa hai nổớa õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh AC vaỡ CB. d/Xaùc õởnh vở trờ cuớa D trón nổớa õổồỡng troỡn õóứ MN coù õọỹ daỡi lồùn nhỏỳt. Hd: a) cm AMDN laỡ hỗnh chổợ nhỏỷt => DC = MN ( tờnh chỏỳt õổồỡng cheùo hỗnh chổợ nhỏỷt) b) cm goùc DMN = goùc NBA => AMNB nọỹi tióỳp( tổù giaùc 1 goùc trong = goùc ngoaỡi taỷi õốnh õọỳi) c) Goỹi O1 , O2 laỡ trung õióứm cuớa AC vaỡ BC. Rọửi cm MN vuọng goùc vồùi O1M vaỡ O2N => MN laỡ tióỳp tuyóỳn chung cuớa hai õổồỡng troỡn Baỡi 3: Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoỹn nọỹi tióỳp (O,R).M laỡ õióứm di õọỹng trón cung nhoớ BC.Tổỡ M keớ caùc õổồỡng thàúng MH,MK, lỏửn lổồỹt vuọng goùc vồùi AB,AC(H thuọỹc õổồỡng thàúng AB,K thuọỹc õổồỡng thàúng AC). a)Chổùng minh tổù giaùc AKMH nọỹi tióỳp. b/Chổùng minh hai tam giaùc MBC vaỡ MHK õọửng daỷng vồùi nhau. c) Goỹi I laỡ giao õióứm cuớa HK vaỡ BC.Chổùng minh MI vuọng goùc BC. b/Tỗm vở trờ cuớa M trón cung nhoớ BC õóứ õọỹ daỡi õoaỷn HK lồùn nhỏỳt Hd: a) cm AKMH coù tọứng hai goùc õọỳi bàũng 1800. b)cm hai tam giaùc MBC vaỡ MHK õọửng daỷng (goùc - goùc) c) cm 4 õióứm M,I,K,C cuỡng thuọỹc 1 õổồỡng troỡn => goùc MIC = goùcMKC => MI vuọng goùc BC. d) Sổớ duỷng cỏu b) cm õổồỹc: 1 => HK BC : khọng õọứi => HK lồùn nhỏỳt = BC ú Htruỡng B ú M laỡ giao õióứm cuớa AO vồùi cung nhoớ BC Bài 4: Từ 1 điểm A ở ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến AB,AC tới (O) ( B,C là các tiếp điểm).Mlà 1 điểm di động trên cung lớn BC.Gọi K,H,I lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng AB,BC,AC. a) Chứng minh các tứ giác MKBH,MICH nội tiếp được. b) Chứng minh MH là tia phân giác của góc KMI c)Gọi P là giao điểm của MB và HK,Q là giao điểm của MC và HI.cm PQ//BC. d) Xác định vị trí của M trên cung lớn BC để tích MK.MH.MI lớn nhất. Hd: a) Tự cm b)cm góc HMK = góc ABC và góc HMI = gócACB rồi cm ABC = ACB => đpcm c)cm góc PHM = góc HCM và góc QHM = góc HBM rồi áp dụng định lý tổng 3 góc tam giác suy ra PMQ +PHQ = 1800 => tứ giác HPMQ nội tiếp =>góc QPM = gócHBM => PQ//BC d) Cm MK.MH = MI2 => MK.MH .MI = MI3 tích MK.MH.MI lớn nhất ú MI max ú M là điểm chính giữa của cung lớn BC Bài 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a,đường cao AH .M là 1 điểm bất kì trên cạnh BC.Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB,AC a)Chứng minh tam giác MPB đồng dạng với tam giác HAC b) Chứng minh 5 điểm A,P,H,M,Q cùng nằm trên 1 đường tròn . Xác định tâm O của đường tròn đó. c) Chứng minh PQ vuông góc OH. d) Xác định vị trí của M trên cạnh BC Sao cho PQ có độ dài nhỏ nhất. Hd: a) dùng trường hợp góc - góc b) cm tứ giác APMQ và APHQ nội tiếp => 5 điểm ....cùng thuộc đường tròn đường kính AM, tâm O là trung điểm AM c)cm H là điểm chính giữa cung PQ => PQ vuông góc OH d) Tính PQ theo AM ta được: PQ = AM.=> PQmin ú AMmin. vì : AM AH => AMmin = AH ú M trùng H Baỡi 6: Cho nổớa õổồỡng troỡn tỏm O coù õổồỡng kờnh AB.Veợ caùc tióỳp tuyóỳn Ax,By(Ax,By vaỡ nổớa õổồỡng troỡn thuọỹc cuỡng mọỹt nổớa màỷt phàúng bồỡ AB).M laỡ mọỹt õióứm bỏỳt kyỡ thuọỹc nổớa õổồỡng troỡn.tióỳp tuyóỳn taỷi M càừt Ax ,By theo thổù tổỷ ồớ C vaỡ D. a/Chổùng minh tổù giaùc ACMO nọỹi tióỳp vaỡ OC vuọng goùc vồùi OD. b/Chổùng minh AB laỡ tióỳp tuyóỳn cuớa õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh CD. c/Tỗm vở trờ cuớa M trón nổớa õổồỡng troỡn õóứ hỗnh thang ABDC coù chu vi nhoớ nhỏỳt. d/Tỗm vở trờ cuớa M trón nổớa õổồỡng troỡn õóứ hỗnh thang ABDC coù dióỷn tờch nhoớ nhỏỳt. Hd: a) Sổớ duỷng tờnh chỏỳt hai tióỳp tuyóỳn càừt nhau vaỡ tờnh chỏỳt hai tia phỏn giaùc cuớa hai goùc kóử buỡ thỗ vuọng goùc vồùi nhau õóứ cm OC vuọng goùc OD b)Goỹi I laỡ trung õióứm CD. Cm IO = vaỡ IO vuọng goùc AB => AB laỡ tióỳp tuyóỳn cuớa õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh CD c) Chuù yù ACDB laỡ hỗnh thang vuọng(vỗ sao?) .goỹi P laỡ chu vi thỗ ta coù: P = 2(R + CD) => Pmin ú CDmin Ta coù CD AB = 2R : không đổi => CDmin = 2R ú CD// AB ú OM vuọng goùc AB ú M laỡ õióứm chờnh giổợa cuớa nổớa õổồỡng troỡn d) Goỹi S laỡ dt hỗnh thang ACDB ta tờnh õổồỹc : S = R .CD rọửi lờ luỏỷn tổồng tổỷ cỏu c => M laỡ õióứm chờnh giổợa cuớa nổớa õổồỡng troỡn Baỡi 7:Cho õổồỡng troỡn (O) baùn kờnh R,õổồỡng thàúng d khọng õi qua O vaỡ càừt õổồỡng troỡn taỷi hai õióứm Avaỡ B.Tổỡ mọỹt õióứm C trón d (C nàũm ngoaỡi õổồỡng troỡn ,ỡ A nàũm giổợa C vaỡ B), keứ hai tióỳp tuyóỳn CM,CN vồùi õổồỡng troỡn (M,N tióỳp õióứm) .Goỹi H laỡ trung õióứm AB,õổồỡng thàúng OH càừt CN taỷi K. a/Chổùng minh 4 õióứm C,O,H,N cuỡng nàũm trón mọỹt õổồỡng troỡn. b/Chổùng minh KN.KC=KH.KO. c/Âoaỷn thàúng CO càừt õổồỡng troỡn (O) taỷi I,chổùng minh I laỡ tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp tam giaùc CMN. d/ Mọỹt õổồỡng thàúng õi qua O vaỡ song song vồùi MN càừt caùc tia CM,CN lỏửn lổồỹt taỷi Evaỡ F.Xaùc õởnh vở trờ cuớa C trón d sao cho dióỷn tờch tam giaùc CEF laỡ nhoớ nhỏỳt . Hd: a) Chuù yù HA = HB => OH vuọng goùc AB b) cm tam giaùcKNO õọửng daỷng tam giaùc KHC c) cm CI laỡ phỏn giaùc goùc MCD vaỡ MI laỡ phỏn giaùc goùc CMN => õpcm d) Goỹi S laỡ dt tam giaùc CEF , ta cm õổồỹc S = ON.CF = R .CF => Smin ú CFmin Ta coù CF = CN + NF 2 = 2R => CFmin = 2R ú CN = CF = R ú CO = R Vây C nằm trên d sao cho CO = Rthì S nhỏ nhất Baỡi 8: Cho õổồỡng troỡn (O) , dổồỡng kờnh AB = 2Rvaỡ mọỹt õióứm M chuyóứn õọỹng trón nổớa õổồỡng troỡn õoù.veợ õổồỡng troỡn tỏm E tióỳp xuùc vồùi õổồỡng troỡn (O) ồớ M vaỡ tióỳp xuùc vồùi õổồỡng kờnh AB ồớ N.õổồỡng troỡn (E) càừt MA,MB lỏửn lổồỹt taỷi C vaỡ D a/Chổùng minh C,E ,D thàúng haỡng vaỡ CD// AB. b/Chổùng minh MN laỡ tia phỏn giaùc cuớa goùc AMB c/Goỹi K laỡ giao õióứm tia MN vồùi (O).Tờnh KM.KN theo R d/ Goỹi giao õióứm cuớa caùc tia CN,DN vồùi KA,KB lỏửn lổồỹt laỡ C’ ,D’ .Tỗm vở trờ cuớa M õóứ chu vi tam giaùcNC’D’ õaỷt giaù trở nhoớ nhỏỳt. Hd: a)cm CMD = 900 vaỡ C,M,D thuọỹc (E) => CE laỡ õổồỡng kờnh => C,E,D thàúng haỡng cm EDM = OBM => CD //AB b) Cm cung NC = cungND => MN laỡ tia phỏn giaùc AMB c) Cm KM .KN = KA2 = .....= 2R2 d) goỹi P laỡ chu vi tam giaùc NC’D’. cm õổồỹc: P = C’D’ + KA => Pmin ú C’D’min Ta coù C’D’ = KN KO = R => C’D’min = R ú N trùng O ú M là điểm chính giữa của nửa đường tròn. III. Bài tập tự làm: Baỡi 1: cho õổồỡng troỡn (O;R) vaỡ mọỹt õióứm A vồùi OA=R,mọỹt õổồỡng thàúng d quay quanh A càừt (O) tai M, N ;goỹi I laỡ trung õióứm cuớa õoaỷn MN. a/Chổùng toớ OI vuọng goùc MN, suy ra I di õọỹng trón mọỹt cung troỡn cọỳ õởnh vồùi hai õióứm giồùi haỷn B,C thuọỹc (O) b/ Tờnh theo R õọỹ daỡi AB,AC .suy ra A,O,B,C laỡ bọỳn õốnh cuớa hỗnh vuọng. c/ Tờnh theo R dióỷn tờch cuớa phỏửn màỷt phàúng giồùi haỷn bồới õoaỷn AB,AC vaỡ cung nhoớ BC cuớa (O). d/ Haợy chố ra vở trờ cuớa õổồỡng thàúng d tổồng ổùng khi tọứng AM +AN lồùn nhỏỳt vaỡ chổùng minh õióửu õoù . Bài 2:Từ 1 điểm M ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA,MB tới đường tròn.Trên cung nhỏ AB lấy 1 điểm C .Vẽ CD vuông góc AB,CE vuông góc MA,CF vuông góc MB.Gọi I là giao điểm của AC và DE,K là giao điểm của BC và DF.Chứng minh rằng a)Các tứ giác AECD,BFCD nội tiếp được. b) CD2 = CE.CF c)Tứ giác ICKD nội tiếp được. d) IK vuông góc CD e) Xác định vị trí của C để tích CD.CE.CF lớn nhất