Chuyên đề Toán véc tơ

Chuyên đề toán véc tơ Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức véc tơ A. Phương pháp *C1: Biến đổi một vế chỉ ra bằng vế còn lại. *C2: Biến đổi tương đương. (Đưa ĐT cần chứng minh về một ĐT luôn đúng) *C3: Xuất phảt từ một ĐT luôn đúng biến đổi đưa về ĐT cần chứng minh. *C4: Tạo dựng hình phụ. Dựa vào các quy tắc đã học: - Quy tắc ba điểm - Quy tắc hình bình hành - Quy tắc trung điểm B. Một số ví dụ VD1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. 1. CMR : + = 2; 2. CMR : + + + = ; 3. CMR : + + + = 4 (với M tùy ý) VD2: Cho DABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho = 2 , = 3. Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR : 1. = + ; 2. = + . VD3: Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. CMR: . C. Bài tập Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: . Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng: 1. 2. Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: . Bài 4: Cho hai tam giác ABC, A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G, G’. CMR: . Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC : NC=2NA. Gọi K là trung điểm của MN. 1. CMR: ; 2. Gọi D là trung điểm của BC. CMR: . Bài 6: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và H là điểm đối xứng với B qua G. 1. Chứng minh rằng: 2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: Bài 7: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi J là điểm trên đường BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. 1. Chứng minh rằng: 2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh: Bài 8: Cho tam giác ABC, gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn đi qua trung điểm của 3 cạnh tam giác ABC. 1. Chứng minh rằng: 2. Chứng minh rằng . Từ đó suy ra H, G, O thẳng hàng. 3. Chứng minh rằng: 4. Chứng minh rằng: 5. Gọi A’, B’, C’ là trung điểm của BC, CA, AB. Các điểm A1; B1; C1 là chân đường cao hạ từ A, B, C. Các điểm M, N, P là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng 9 điểm A’, B’, C’; A1; B1; C1; M, N, P nằm trên đường tròn (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (đường tròn này gọi là đường tròn Ơle) Bài 9: Cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm G : (1) Điểm G thoả mãn (1) gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD hay cũng gọi là trọng tâm của hệ 4 điểm Bài 10: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác. 1. Chiếu M xuống 3 cạnh của tam giác thành D, E, F. Chứng minh rằng: 2. Gọi A1; B1; C1 là các điểm đối xứng của M qua các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm. Bài 11: Cho tam giác ABC, gọi H là trực tâm của tam giác. CMR: . Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR: . Bài 13: Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giácABC. CMR: . Dạng 2: Biểu diễn véc tơ A. Phương pháp Định lý: Cho trước hai véc tơ và không cùng phương. Với mọi véc tơ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực sao cho . *C1: Từ giả thiết xác định tính chất hình học, từ đó khai triển véc tơ cần biểu diễn bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu. *C2: Từ giả thiết thiết lập mối quan hệ giữa các đối tượng, từ đó khai triển biểu thức này. Dựa vào các quy tắc đã học: - Quy tắc ba điểm; - Quy tắc hình bình hành; - Quy tắc trung điểm. B. Một số ví dụ VD1: Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Hãy biểu diễn các véc tơ theo hai véc tơ . VD2: Cho DABC, lấy M, N, P sao cho = 3;+3= và + = . Hãy biểu diễn , theo hai véc tơ và . C. Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và B’ là điểm đối xứng với B qua G. Hãy biểu diễn các véc tơ (M là trung điểm của BC) theo hai véc tơ . Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. 1. Biểu diễn ; 2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Biểu diễn theo và . Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho IB=3IC. 1. Biểu diễn theo hai véc tơ ; 2. Gọi J, K lần lượt là các điểm thuộc cạnh AC, AB sao cho JA=2JC, KB=3KA. Hãy biểu diễn theo ; 3. Biểu diễn theo , . Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy biểu diễn các véc tơ (I là trung điểm BO), (G là trọng tâm của tam giác OCD) theo hai véc tơ . Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy biểu diễn các véc tơ theo hai véc tơ . Dạng 3: Tìm điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài A. Phương pháp - Biến đổi đẳng thức véc tơ đã cho về dạng hoặc dạng trong đó O là điểm cố định; là véc tơ cố định. B. Một số ví dụ VD1: Cho tam giác ABC, tìm các điểm I, J, K lần lượt thoả mãn các đẳng thức véctơ sau: 1. ; 2. ; 3. . VD2: Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn từng điều kiện sau : 1. ; 2. . C. Bài tập Bài 1: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M thoả mãn: . Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA. 1. Xác định K sao cho ; 2. Xác định D sao cho . Bài 3: Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn từng điều kiện sau : 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . Bài 4: Cho ABC, xác định điểm M thoả mãn: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . Bài 5: Cho ABC và một điểm M bất kì. 1. Chứng minh rằng không đổi; 2. Xác định điểm I thoả mãn ; 3. Xác định điểm M thoả mãn: a. ; b. ; c. . Bài 6: Cho ABC, xác định điểm M thoả mãn: 1. ; 2. . Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng A. Phương pháp - Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta đi chứng minh *C1: Sử dụng các quy tắc biến đổi véc tơ đã biết. *C2: Xác định các véc tơ thông qua một tổ hợp véc tơ trung gian. Chú ý: B. Một số ví dụ VD1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J sao cho 1. Chứng minh rằng: với M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC; 2. Chứng minh rằng J là trung điểm của BI; 3. Gọi E thuộc AB sao cho . Xác định k để . C. Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC, lấy các điểm I, J sao cho . Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 2: Cho tam giác ABC, lấy M, N, P thoả mãn . Chứng minh rằng . Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Lấy I, J sao cho . Chứng minh rằng . Bài 4: Cho tam giác ABC, gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng . Dạng 5: Bất đẳng thức véc tơ và ứng dụng A. Phương pháp *Cho hai véctơ (Trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có - Dấu “=” xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng . Tổng quát: - Dấu “=” xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng . - Dấu “=”thứ nhất xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng.. - Dấu “=” thứ hai xảy ra hoặc một trong hai véctơ bằng. B. Một số ví dụ VD1: Giải phương trình . VD2: Chứng minh rằng ta có. VD3: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng . C. Bài tập Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Bài 1: Giải phương trình Bài 2: Giải phương trình Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài 4: Giải hệ phương trình Bài 5: Giải bất phương trình Chứng minh bất đẳng thức Bài 6: Chứng minh rằng ta có. Bài 7: Chứng minh rằng ta có . Bài 8: Chứng minh rằng ta có. Bài 9: Chứng minh rằng ta có .