Chuyên đề Tứ giác nội tiếp

Chuyên đề :Tứ giác nội tiếp Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn(O) . Hạ CH ;CI ; CK vuông góc với AB ; BD ; AD . a) C/m: Tứ giác BHCI ; DKIC nội tiếp b) C/m: H,I,K thẳng hàng Bài 2: Cho Tam giác ABC ngoại tiếp (I;R) . Tiếp điểm trên AB ,AC tại D,E .BI và CI cắt DE tại M,K . a) Chứng minh tứ giác BKDI nội tiếp b)C/m: B.M,K,C thuộc một đường tròn . Bài 3: Cho đường tròn (O) và AB,AC là hai tiếp tuyến . AO cắt BC tại H .Vẽ dây EHF a)C/mr: HE.HF = HB.HC b) C/mr: ABOC nội tiếp c) C/m: Tứ giác AEOF nội tiếp d) C/m: BAE = CAF Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn không cân ,đường cao AD ,BE ,CF cắt nhau tại H .Vẽ ( O; ) và tiếp tuyến AI , IH cắt đường tròn (O) tại K ( khác I) C/m: AI2 = AF .AB = AH . AD C/mr: AIOD; AFDC nội tiếp C/mr: HK.HI = HA.HD C/mr: AKDO nội tiếp C/m: Năm điểm A,I,D,O,K thuộc một đường tròn C/m: AK là tiếp tuyến của đờng tròn (O) Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn , M thuộc cung nhỏ BC . E ,F là các điểm đối xứng với M qua AB và AC . H là trực tâm của tam giác ABC . C/m: Tứ giác AHBE ; AHCF nội tiếp đợc trong đờng tròn C/mr: EAF = 2BAC C/m : Ba điểm E,H,F thẳng hàng Tìm vị trí của M để EF Max , Min . Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB và dây EF vuông góc với AB tại O,lấy điểm I thuộc đoạn OE.Qua I kẻ đường thẳng d vuông góc với IB,đường thẳng d cắt AE, AF lần lượt tại K, G. a)C/mr: BEAF là hình vuông b)C/mr: BIGF; BIEK nội tiếp đường tròn c) C/mr: Tam giác BKG cân Bài 7: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O;R) .Các tiếp điểm của AB,AC với đường tròn (O) là I;K .Lấy M thuộc cung nhỏ IK . Hạ MH ; MQ ;MP vuông góc với AI ; AK ; KI . a) C/m: MP2 = MH.MQ b) MK cắt PQ tại E ; MI cắt HP tại F .C/m: EF // IK c) C/mr: MH + MQ 2MP Bài 8:Cho tam giác ABC vuông cân tại A .Gọi K là trung điểm của BC . M chạy trên đoạn AC . Hạ MI ; MP ; IH vuông góc với AB,AC ,KP . a) C/m: AHB = 900 b) C/m: HI đi qua một điểm cố định Bài 9*: Cho hai đường tròn tâm O và O’ ở ngoài nhau .Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và A’B’ , các tiếp tuyến chung trong CD và EF ( A,A’,C,E thuộc đường tròn O; B,B’,D,F thuộc đường O’) .Gọi M là giao điểm của AB và EF , N là giao điểm của A’B’ và CD , H là giao điểm của MN và OO’ .C/mr: a) MN vuông góc với OO’ b) Năm điểm O’, B,M,H,F cùng thuộc một đường tròn c) Năm điểm O,A,M,E,H thuộc cùng một đường tròn d) Ba điểm H,D,B và A,H ,C thẳng hàng . Bài 10:Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a,trung tuyến AD.M là một điểm di động trên đoạn AD .Gọi N,P lần lượt là hình chiếu của của M trên AB và AC .PD cắt tia Bx vuông góc với AB tại E.Gọi H là hình chiếu của điểm N trên PD. a) C/mr: B, M,H thẳng hàng b) xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất c) Chứng tỏ rằng khi M di động,đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định d)Tìm vị trí của điểm M để HN dài nhất . Bài 11: Cho đường tròn (O;R) và dây AB AB .Từ C kẻ tiếp tuyến CP ,CK với đường tròn (P,K là các tiếp điểm ) .Gọi I là trung điểm của AB. a) C/mr: CPIK nội tiếp b) C/m:CP2 = CA.CB c) Gọi H là trực tâm của tam giác CPK .Hãy tính PH theo R e) Giả sử PA//CK ,Chứng minh tia đối của tia BK là phân giác của góc CBP. Bài 12: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD.Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E.Gọi F là hình chiếu của E trên AD .Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M.Gọi N là giao điểm của BD và CF. a) Chứng minh tứ giác AFEB và CDFE nội tiếp được trong một đường tròn b) FA là phân giác của góc BFM c) C/mr: BE.DN = EN.BD Bài 13: Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC .Gọi AD,BE,CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC.Vẽ hình bình hành BHCG,đường thẳng qua G song song với BC cắt AH tại M . a) C/mr: Tứ giác ABGC ;ABMG nội tiếp b) C/mr: Tam giác ABD đồng dạng với tam giác AGC c) C/m:H và M đối xứng nhau qua BC d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC, AK cắt OH tại I.Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC . Bài 14: Cho đường tròn tâm (O) bán kính R, đường kính EF .Gọi Ex và Fy là các tiếp tuyến của đường tròn. Lờy M thuộc Ex ( M khác E), kẻ MI tiếp xúc với đường tròn (O) tại I,MI cắt Fy tại N a) C/mr: EMIO nội tiếp và FNIO nội tiếp b) C/m: Tam giác MON và EIF đồng dạng c) C/mr: EM.EN = R2 d) Khi EM = ,hỹa tính tỉ số diện tích tam giác MON và EOI . Bài 15: Cho đường tròn tâm (O ) bán kính R và một điểm A ở ngoài đường tròn.Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp điểm ) . a) C/mr: Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn (O) tại D ( D khác B) .Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E ( E khác D) .C/m: AB2 = AE.AD c) C/m: Tia đối của tia EC là phân giác của góc AEB d) Đường thẳng BE cắt AC tại M.C/m:MA = MB Bài 16: Cho đường tròn tâm O bán kính 4cm. Dây cung BC của đường tròn (O) ( BC < 8cm) .Điểm A chạy trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn .Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC . a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp b) C/m: tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC c) C/m: AO vuông góc với EF d) Tính độ dài BC khi diện tích tứ giác BEFC bằng ba lần diện tích tam giác AEF. Bài 17: Cho đường tròn (O;R) và dây BC của đường tròn ( BC < 2R) .Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.Điểm A chạy trên cung lớn BC ( A khác B,C).AD cắt BC tại E . a) Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE b) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE chạy trên một đường cố định c) C/m: AE2 = AB.AC – EB.EC d) C/m: Tổng hai bán kính của đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABE và ACE không đổi . Bài 18: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB .Gọi C là một điểm chính giữa cung AB .Trên cung AC lấy điểm F ( F khác Avà C) .Trên tia BF lấy điểm E sao cho BE = AF a) C/m: Tam giác AFC bằng tam giác BEC b) C/mr: tam giác EFC vuông cân c) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và đường thẳng vuông góc với AB tại B. C/mr: Tứ giác BECD nội tiếp đường tròn . d) Khi F chuyển động trên cung AC (khác điểm A,C ) .Tìm quỹ tích điểm E. Bài 19: Cho đường tròn tâm(O;R), qua B vẽ tiếp tuyến xx’ với đường tròn (O). Gọi MN là đường kính bất kì của đường tròn (O) ( không trùng với AB), AM, AN cắt xx’ lần lượt tại P, Q. a) C/m: Tứ giác AMBN là hình chữ nhật .MN có vị trí như thế nào với AB Thì tứ giác AMBN là hình vuông . b) C/m: Tứ giác MNPQ nộitiếp trong một đường tròn c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo R, biết góc MAB bằng 300 d) Khi MN không vuông góc với AB. Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác APQvà đường tròn (O;R)là E. C/mr: MN, PQ , AE đồng quy Bài 20 : Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân .Nội tiếp đường tròn tâm (O) ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Đường thẳng OH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. a) C/mr: 5 điểm B,H,I,O,C cùng nằm trên một đường tròn b) C/mr: BM + CN = BC c) Gọi D,E lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm I với các cạnh AB,BC. AI cắt DE tại G .Chứng minh góc AGC bằng 900 Bài 22: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.Gọi K là trung điểm của AH.Hình chiếu của H trên AB ,AC lần lượt là D,E. Đường tròn tâm (K) bán kính KA cắt đường tròn (O) đường kính BC tại I ;AI cắt BC tại M Chứng minh : a) 5 điểm A, I,D,E,H cùng nằm trên một đường tròn b) Bốn điểm M, D,K,E cùng nằm trên một đường thẳng c) MD.ME = MH2 Bài 23: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) ,có các đường phân giác cắt nhau tại I.Các đường thẳng AI, BI,CI cắt đường tròn (O) tương ứng tại các điểm M,N,P . a) C/mr: Tam giác NIC cân b) C/mr: I là trực tâm của tam giác MNP c) Gọi E là giao điểm của MN và AC; F là giao điểm của PM và AB.Chứng minh E,F,I thẳng hàng Bài 24: Cho đường tròn tâm (O) bán kính R .Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại A. M là điểm chạy trên d ( M khác điểm A).Kẻ tiếp MB đến đường tròn (O) (B khác A) .Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống d, BH cắt OM tại I . a) Chứng minh AI vuông góc với MB b) C/m : AOBI là hình thoi c) Xác định vị trí của điểm m trên d để diện tích tứ giác AOBI lớn nhất d) Tìm quỹ tích điểm I Bài 25*: Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông . 1) Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho MAB = MBC = MCD = MDA 2) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ N xuống cạnh AB và O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng tỉ số có giá trị không đổi khi M di động trên đường chéo AC . 3) Giả thiết M nằm trên đường chéo A, xét các đường tròn (S1) và (S2) có đường kính tương ứng là AM , CN .Hai tiếp tuyến chung của (S1) và (S2) tiếp xúc với (S2) tại P và Q.Chứng minh rằng đường thẳng PQ tiếp xúc với (S1)