Chuyên đề Vài mẹo nhỏ khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

1VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN LÊ ANH DŨNG (Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang) Khi tính tích phân bằng công thức tích phân từng phần udv uv vdu   , nếu ta chọn u, v một cách khéo léo thì thành phần vdu sẽ đơn giản và việc tính tích phân sẽ đơn giản hơn. Bài viết này trao đổi với các bạn một số kĩ năng khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần. 1. Tách tích phân thành 2 phần, từng phần 1 phần sao cho phần còn lại khử vdu Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm I = 2x 2e (x 4x 1)dx  Bình thường ta đặt u = x2 + 4x + 1 thì phải tích phân từng phần 2 lần; để tránh điều này, ta thêm bớt, để thành phần vdu khử hết phần còn lại. 2 2x 2x2x du 2xdx u x ; nên vdu= xe dx 1 v edv e dx 2               sẽ khử hết xe2x do đó ta thêm vào u : + 3x để phần còn lại chỉ còn xe2x. Lời giải. I = 2x 2 2x 2 2xe (x 4x 1)dx e (x 3x)dx e (x 1)dx        Đặt 2 2x u x 3x dv e dx       , chọn 2x du (2x 3)dx 1 v e 2       Khi đó: I = 2x 2 2x 2x1 1e (x 3x) e (2x 3)dx e (x 3)dx 2 2       = 2x 2 2x 2x 2 2x 1 3 1 3 e (x 3x) e dx e (x 3x) e C 2 2 2 4       Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm sau x 3 2I e (x 4x 1)dx   Tương tự ví dụ trên 3 2 2 x x x u x du 3x dx ; nên vdu= 3x e dx dv e dx v e                 sẽ khử hết 3x2ex do đó ta thêm vào u : x2 để phần còn lại còn lại 3x2 3 2 2 2 x x x u x x du (3x 2x)dx ; nên vdu=(3x +2x)e dx dv e dx v e                 sẽ khử hết 2xex do đó ta lại thêm vào u: -2x để phần còn lại chỉ còn 2x. Lời giải. x 3 2 x 2I e (x x 2x)dx e (3x 2x 1)dx       2Đặt: 3 2 x u x x 2x dv e dx        , chọn 2 x du (3x 2x 2)dx v e        x 3 2 x 2 x 2I e (x x 2x) e (3x 2x 2)dx e (3x 2x 1)dx          x 3 2 x x 3 2e (x x 2x) e dx e (x x 2x 1) C         Trên cơ sở đó, ta có thể sử dụng sơ đồ sau để tìm thành phần u cho bài toán tính tích phân từng phần của hàm số ax b n n 1n n 1 1 0e (a x a x ... a a )dx     (n-2)/an/a (n-1)/a _ x _ x bn - 3bn - 2bn - 1=anhệ số của đa thức của u hệ số của đa thức a1an-2an-1an nn 1 k k 1 k 1 b a k 2b a b a          (Nhân lên, lấy hệ số của đa thức trừ rồi hạ xuống) Thí dụ 3: Tính I = 1 2x 5 3 0 e (x 4x x 1)dx   Ta lập sơ đồ sau ngoài nháp để tính u 5 2 - 3 2 1- 5 2 x _ 1 1 2 1 3 2 2 5 2 n=5, a =2 10 hệ số của đa thức của u hệ số của đa thức -401 3Trình bày: I = 1 1 2x 5 4 3 2 2x 4 3 2 0 0 5 3 5 5 3 3 e x x x x x dx e x 5x x x 1 dx 2 2 2 2 2 2                       Đặt 2x 5 4 3 2u x dv e dx 5 3 5 x x x x 2 2 2          , 4 3 2 2x du 5x v 5 10x 3x 3x 2 1 e 2          1 1 2x 5 4 3 2 2x 4 3 2 00 1 2x 4 3 2 0 1 5 3 5 5 3 3 5 I e x x x x x e x 5x x x dx 2 2 2 2 2 2 2 4 5 3 3 e x 5x x x 1 dx 2 2 2                              1 1 2x 5 4 3 2 2x 00 1 2x 5 4 3 2 2 0 1 5 3 5 1 e x x x x x e dx 2 2 2 2 4 1 5 3 5 1 1 1 e x x x x x e 2 2 2 2 4 8 8                      Thí dụ 4: Tính tích phân I = 2 2 e 3 1 x ln x 2x 2 ln x dx x         Chú ý: 2 4 3 1 (x 1) ' 2x; (ln x)' = 4. ln x x   , ta tách I thành 2 tích phân để khử vdu Lời giải. I = 2 2 e e e4 3 4 3 1 1 1 x 1 x 1 x ln x + 2 ln x dx = x ln xdx + 2 ln x dx x x                    Đặt 4u ln x dv xdx     chọn 2 34 ln x du dx x 1 v (x 1) 2       Suy ra I =  2 4 2 2e e 1 1 x 1 ln x x 1 x 1e 2 ln x dx 2 ln x dx 12 x x                        2 4 2x 1 ln x e 1e 12 2     2. Thêm hằng số cho v 4Trong các bài toán du có chứa mẫu số, thường ta chọn cho v một hằng số C thích hợp để thành phần vdu khử bớt phân số. Thí dụ 5: Tính tích phân I = 1 3 0 (2x 1) ln(x )dx1  Lời giải. Đặt 3u ln(x ) dv (2x 1)dx 1      , chọn 3 2 2 2 2 3x 3x du x (x 1)(x ) v x dx 1 x 1 x            1 Bình thường ta lấy v = x2 – x, nhưng ở đây ta chọn C = + 1 mục đích là khử bớt mẫu số trong vdu. Khi đó: I = 1 13 0 0 2 2 3x(x x 1)ln(x ) dx x 1 +1     = 11 0 0 21 ln 2 3 x 1 dx ln 2 ln x 1 x 3 3 x x 1 2ln 2 2 2                       Thí dụ 6: Tính tích phân /4 2 0 ln(sin cos ) cos x x dx x   Đặt u = ln(sin cos )x x du = cos sin sin cos x x dx x x   v = 2 1 cos dx x chọn sin costan cos x x x x v +1   Bình thường ta hay lấy v = tanx nhưng ở đây ta thêm C = 1 để khử mẫu Khi đó: I = /4 /4 0 0 cos sin (tan 1) ln(sin cos ) cos x x x x x dx x       = /4 0 3 2 ln 2 ( ln cos ) ln 2 4 2 x x      3. Cách chọn thành phần dv Để tìm v, ta phải tìm nguyên hàm của dv. Trong trường hợp dv không có trong bảng nguyên hàm cơ bản, ta phải tách tích để lấy được nguyên hàm của dv theo biến số mới . Thí dụ 7: Tính tích phân π 4 2 2 0 x dx (x sin x cos x) Để giảm bậc mẫu thì 2 1 (x sin x cos x) phải nằm trong thành phần dv; để tìm được nguyên hàm theo biến xsinx + cosx ta cần có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx 5Lời giải. π π 4 42 2 2 0 0 x x cos x x dx dx cos x(x sin x cos x) (x sin x cos x) .      Đặt 2 2 x u cos x x cos x d(x sin x cos x) dv dx (x sin x cos x) (x sin x cos x)           chọn 2 x sin x cos x du dx cos x 1 v x sin x cos x        Khi đó I = ππ 44 2 0 0 π 4 0 x dx tan x cos x(x sin x cos x) cos x 2π 4 π π 4 4 π      Thí dụ 8: Tính tích phân 8 4 2 0 1 3 ( 1) x dx x  Để giảm bậc lớn ở dưới mẫu, ta có thể dùng tích phân từng phần. Để khử bậc 2 dưới mẫu thì 4 2 1 ( 1)x  phải nằm ở dv. Nhưng để lấy được nguyên hàm theo x 4 thì ta cần (x4)’ = 4x3. Đặt 5 3 4 4 2 4 2 u x x dx 1 d(x 1) dv 4(x 1) (x 1)         , chọn 4 4 du 5x dx 1 1 v 4 x 1       Vậy I = 1 1 1 3 38 5 43 4 2 4 4 00 0 x dx x 5 x dx 4(x 1) 4(x 1) x 1        = 1 1 1 3 3 34 4 4 2 2 0 0 0 x 1 1 1 dx 1 dx 1 dx x 1 x 1 2(x 1) 2(x 1)                       Ta có 1 1 3 3 2 00 1 1 x 1 1 1 3 1 1 dx x ln ln 4 x 1 42(x 1) 3 3 1                      Đặt x = tant. Ta tính được Tính 1 3 2 0 1 dx 2(x 1) π 12  Vậy I = 1 1 3 1ln 43 3 1 π 12     Cuối cùng chúng tôi xin đưa ra một số bài tập để các bạn tự luyện tập Tính các tích phân sau: 61) 2 2 1 ln(1 x) dx. x   2) 1 3 2 2x 0 x 2x 3x 1 dx e     3) e 3 1 ln xdx 4) sin xe ( x cos x)dx   2 0 1 5) 2 x 0 1 sin x dx (1 cos x)e     6) 1 0 2 3 1 dx (x )1 _ HẾT_