Chuyên đề Vectơ

Vấn đề 1: tính tích vô hướng của hai véc tơ Phương pháp 1 Sử dụng định nghĩa : đưa hai véc tơ vàvề cùng gốc để xác định góc (,) rồi tính.=.cos(,) Phương pháp 2 Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các hằng đẳng thức véc tơ và thường phối hợp với phương pháp 1. Phương pháp 3 Sử dụng định lý hình chiếu : cho hai véc tơ và, ta có : .=.= Trong đó C’,D’ là hình chiếu của C và D trên đường thẳng chứa véc tơ. Phương pháp 4 Sử dụng biểu thức tọa độ. Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC tại A,Â= 120° , AB=AC=a, I là tâm đường tròn nội tiếp . tính .; .. tính .+.+. giải: A a) .=a2cos(,)=a2cos60°=a2 BC=2BH=2ABsin60°= I B H C áp dụng công thức: IH== Vậy.=a.cos b) ++=Û(++)2=0 ÛAB2+BC2+CA2+2(.+.+)=0 Û.+.+.= Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c, CA=b tính . theo a, b, c. suy ra .+.+. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính độ dài AG và cos(,) Giải: Ta có BC2==( - )2=AC2+AB2-2 . Do đó . == (b2+c2-a2) (1) Ghi nhớ công thức (1) b) Từ (1) : .= (a2-b2-c2) Tương tự: .= (b2-c2-a2) Và .= (c2-a2-b2) ị.+.+.= (a2-b2-c2)+ (b2-c2-a2)+ (c2-a2-b2)=- (a2+b2+c2) Chú ý : có thể làm theo cách như ví dụ 1 (Câu b) c) =(+) AG2=2=(+)2=(AB2+AC2+2.)=(c2+b2+ b2+c2-a2) = (2b2+2c2-a2) ịAG=. Cos(,)= (1) .=(+).(-)=(b2-c2) (2) Thay (2) vào (1) : Cos(,)= Ví dụ 3 : Cho hình thang vuôngABCD, đường cao AB=2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD= a. Tính các tích vô hướng ., . và . . Gọi I là trung điểm của CD, tính .. Suy ra góc của AI và BD. Giải : A D I B C a) là hình chiếu của lên đường thẳng chứa . Ta có .=.=-2=-4a2 .=.=a.3a=3a2 .=(+).=.+. =-4a2+3a2=-a2 b) .=(+).(-) =(2-.+.-.) Mà Vậy .=(a2+3a2-4a2)=0 ị AI ^ BD Bài tập : 1.Cho tam giác vuông cân ABC, AB=AC=a. Tính .; . 2.Cho tam giác ABC có AB=4, BC=7, ca=9. a) Tính 2 rồi suy ra . và tính cos b) Tính . c) Gọi I là trung điểm của AC. Tính . 3.Cho tam giác ABC có BC=4 , CA=3, AB=2. a) Tính . suy ra cosÂ. b) G là trọng tâm tam giác ABC. Tính . c) Tính . d) AD là phân giác trong của góc BAC (DẻBC). Tính theo và. suy ra : AD 4. cho tam giác ABC có AB=2, AC=3, Â= a) Tính BC, AM (M là trung điểm của BC). b) Tính IJ trong đó I, J xác định bởi : 5. Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB, cạnh đáy AD=a, BC=2a. Hãy tính AB trong các trường hợp sau : a) .=a2 b) .=-a c) =a2 (I là trung điểm của AB) A D C’ A’ B C 6. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và B A D C’ A’ B C với AD=2a , AB=BC =a. a) Tính . b) Suy ra hình chiếu của lên 7. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ; Mlà trung điểm của BC . Biêt rằng : .=. Tính AB, AC. 8. Cho các véc tơ biết rằng . Tính  ? 9.Cho tam giác ABC với BN vàCP là các trung tuyến. Biết .=x ; .=y ; .=z (x, y, z ẻR) . Hãy tính 3 cạnh AB, BC, CA theo x, y, z. 10. Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 3a . Lấy M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM=a, CN=2a, AP=x (0<x<3a) . a) Tính theo và . b) Tính x để AM ^ PN Đáp số và giải : 1. đs: .=0; .=-a2 2. đs: a) 49; 24; cosÂ=. b) 57 c) 3. đs : a) ; cosÂ= b) .= c) = 4. đs : a) BC= ; AM= b) IJ= d) Hình chiếu của lên ngược hướng với và có 5. đs : a) AB=a; b) AB=; c) AB=2a d) Đặt AB=x>0 Ta có BD= .=(+)(+)=-2+.=-x2+2a2 Mặt khác theo định lý hình chiếu : .=.=cos180°=- Dẫn đến phương trình : 2a2-x2=- Giải phương trình ta được x=. Vậy AB= 7. đs: AB=a, AC= 8.đs : = 9. Hướng dẫn giải : phân tích =+= -+ (1) =+=+ (2) Thay (1),(2) vào .=xÛ(-+).(+)=xÛ5.-22-22=4x Đặt .=t; AB=c; AC=b Ta được : 5t-2c2-2b2=4x Tương tự : .=yÛ -b2+2t=2y .=zÛ-c2+2t=2z Giải hệ ÛÛ 10.Giải : a) BM=a; BC=3a. Suy ra : b) AM ^ PN Û .=0 Û(+).()=0 Û(+).(-)=0 Û(2-). +9a2-18ax=0Ûx= Vấn đề 2 : chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng Chứng minh hai véc tơ vuông góc Thiết lập điều kiện vuông góc Phương pháp : sử dụng 3 quy tắc như ở vấn đề 1. Về độ dài , chú ý rằng : AB2=2=(2 với O là một điểm tùy ý Để chứng minh hai véc tơ và vuông góc ta chứng minh .=0 Để thiết lập điều kiện vuông góc giữa chúng ta sử dụng mệnh đề : ^ Û .=0 Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC , G là trọng tâm , Chứng minh rằng : a) . +. +.=0 b) MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+GB2+GC2, với M là một điểm tùy ý. Suy ra vị trí của M để MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giải : a) .=.(-)=.-. Tương tự: .=.-. .=.-. Cộng từng vế ta có kết quả câu a) b) Phân tích AM2= 2=(+)2=MG2+GA2+2. Tương tự MB2=MG2+GB2+2. MC2=MG2+GC2+2. Cộng từng vế 3 đẳng thức ta được: MA2+MB2+MC2= 3MG2+GA2+GB2+GC2 Từ đó MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng B Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC và H là trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng : A H B M C a) .=BC2 b) MA2+MH2=AH2+ BC2 Giải : a) Ta có : 4.= -4.= -2.(+)=2.+2.= =2(+).+2(+) =2.+2.=2.(-)=. =2= BC2 b) AH2=(-)2=MH2+MA2-2.=MH2+MA2-BC2 ịMA2+MH2=AH2+BC2 Ví dụ 3 : Cho hình chữ nhật ABCD. M là một điểm tùy ý. Chứng minh : a) +=+ b) .=. A B O D C c) MA2+MC2=MB2+MD2 Giải : a ) Gọi O là giao điểm của AC và DB. Ta có : +=2 +=2 Vậy +=+ b) .=(-).(-)=(+).(-)=MO2-OA2 .=(-).(-)=(+).(-)=MO2-OA2 c) Theo câu a) : +=+ị(+)2=(+)2 Û MA2+MC2+2.=MB2+MD2+2. Û MA2+MC2=MB2+MD2 (theo câu b) Bài tập : 1. Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đường chéo. a) Chứng minh : 2.=AB2-BC2+CD2-DA2 b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là : AB2+CD2=BC2+DA2 c) Chứng minh : AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4EF2 2. Cho bốn điểm A, B, C và M tùy ý. Chứng minh hệ thức : a) .+.+.=0 b) áp dụng: chứng minh rằng trong tam giác ba đường cao đồng quy. 3. Cho tam giác ABC cân tại A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp . Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm tam giác ACD . Chứng minh rằng OE vuông góc với CD. O A M 4. Cho đường tròn (O, R) .Chứng minh điều kiện cần và đủ để AM là tiếp tuyến với đường tròn tại M là: .=R2 M N I B O A 5. Cho hai điểm N, M nằm trên đờng tròn tâm O, đường kính AB=2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN . a) chứng minh : .=. ; .= . b) Tính .+ . theo R 6. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM, đường cao AH. Chứng minh các đẳng thức sau : a). =AM2-=(AB2+AC2-BC2) b) AB2+AC2= 2AM2+BC2 c) AB2-AC2=2. d) SABC= 7. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD=h, cạnh đáy AB=a , CD=b . Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho: a)AC vuông góc với BD. b) BD vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC. 8. Cho tam giác ABC và hai trung tuyến BM, CN. Đặt BC=a, CA=b,AB=c. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c khi BMvuông góc với CN 9. Cho hình thang vuông ABCD , đường cao AB =h ; cạnh đáy AD = a , BC =b . Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h sao cho : a) CI vuông góc với DI (I là trung điểm của AB ) b) BD vuông góc với CI c) AC vuông góc với DI d) Trung tuyến BM của tam giác ABC vuông góc với trung tuyến CN của tam giác BCD 10. Cho tứ giác ABCD .Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi : .+.+.+. = 0 Lời giải và đáp số : A E D O B C 3. Giải : Ta chứng minh . =0 Thật vậy : .=(-).(-)= Mà = (+) (vì E là trọng tâm của tam giác ADC) .=[ (+)-].(-)= =(AD2-AC2)- .+. (1) Thay .=. (định lý hình chiếu, với F là trung điểm của AC) =AC2 Và .=AD2 (định lý hình chiếu) Vào (1) , ta được .=(AC2- 4AD2)= 0 4. Giải : Xét điểm M tùy ýẻ(O, R) . ^Û.=0 Û(+).=0 ÛOM2+.=0 Û.=OM2Û.=R2 5. Giải : a) là hình chiếu của trên đường thẳng AI. Vậy .=. (định lý hình chiếu) là hình chiếu của lên đường thẳng BI. Vậy : .=.. b) .+ .=.+ .=.(-)=2=4R2 A a B h M D C 7. Giải : a) Ta chứng minh : .=0. .=.(-)=.-. (1) Mà .=.=h2 Và .=.=b.a (định lý hình chiếu). Do đó (1) trở thành : .=h2-ab Vậy AC ^ BDÛ h2-ab=0 b) BD^ AMÛ .=0 Û.(+) = 0 Û.+. = 0 (2) Mà .=.=-AB2=-a2 Và .=h2-ab (kết quả trên) Do đó (2) trở thành : -a2+h2-ab=0 Vậy BD ^ AMÛ h2 =a(a+b) A N M B N . 8. Giải : BM ^ CNÛ .=0 Û (+).(+) =0 Û .+.+.+.= 0 Û .-.-.-2= 0 Û(AB2+AC2-BC2) - (AB2+BC2-AC2) – -(BC2+AC2-AB2) – BC2= 0 ÛAC2+AB2-5BC2 = 0Û b2+c2= 5a2 A a D I N M B b C 9. đs : a) ab-h2 = 0 b) ab-h2 = 0 c) h2-ab = 0 d) h2-2b2+ab = 0 A B D C 10. Giải : .+.+.+. = 0 Û (.+.) +(.+.) = 0 Û .(-) -.(-) = 0 (-).(-) = 0 Û ÛABCD là hình bình hành Vấn đề 3 : tập hợp điểm thỏa mãn một đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài. Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau : Đưa đẳng thức cho trước về dạng .=k( A, B :cố định; k : giá ttrị không đổi.) Đưa đẳng thức cho trước về dạng = 0 , trong đó A là điểm cố định và là véctơ cố định. Đưa đẳng thức cho trước về dạng AM2 = k , trong đó A là điểm cố định và k là một số dương không đổi. Ví dụ 1 : cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa : a) . =k (k là giá trị cho trước) . Biện luận. b) MA2 + . = 0 c) 2MB2+. = a2 (với a : độ dài cạnh BC) Giải : M A I B a) Gọi I là trung điểm của cạnh AB . Thế thì : . =k Û (+).(-) =k IM2-IA2=kÛ IM2=+k Biện luận : Nếu+k > 0 Û k >- : thì tập hợp những điểm M là một đường tròn tâm I, bán kính . Nếu k = - : tập hợp M là điểm I Nếu +k < 0 thì tập hợp M là ặ Đặc biệt : nếu k = 0 thì tập hợp M là đường tròn đường kính AB b) MA2 +. =0 Û .(+) = 0 Û . = 0 Û tập hợp M là đường tròn đường tròn đường kính AI. c) 2MB2+. =a 2 Û.(2+) = a2 (1) Xét điểm cố định K thỏa mãn : 2+= , thế thì 2+ =2(2-) +(-) = ị(2+) = 3 do đó : (1) Û . = Gọi O là trung điểm của BK ,biến đổi như câu a) ta được : (1) Û MO2- = Û MO2 =+ Từ : 2+=ị KB = Nên (1) Û MO2= Û MO = . Vậy tập hợp M là một đường tròn tâm O, bán kính R= Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M thỏa : a) . = k (k :số cho trước ) b) (-).(2-) = 0 c) MA2-MB2+CA2-CB2 = 0 d) .-=MC2-MB2+BC2 e) 3MA2-2MB2-MC2 = 0 A M B H K C Giải : a) Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của A và M lên BC. áp dụng định lý hình chiếu , ta có : . = =k ị ị : giá trị không đổi. Mà H cố định nên K cố định . Vậy tập hợp những điểm M là một đường thẳng vuông góc với BC tại K. b) Xét điểm cố định I thỏa : 2= ị2-= Vậy (-).(2-) = 0Û =0 ị MI ^ BA. ị Tập hợp M là một đường thẳng vuông góc với AB tại điểm cố định I. Chú ý : điểm I thỏa : (với a+b0 ; B, C cố định) gọi là tâm tỷ cự của hai điểm B, C ứng với hai hệ số a, b, trong đó a+b0.( trong câu b) :a =2, b =-1) C A I B J c) MA2-MB2 +CA2-CB2 =0 Û (-).(+) +(+).(-) =0 2( + ) = 0 (1) Dựng véc tơ , thế thì (1) Û = 0 .Điểm J cố định . Vậy tập hợp M là một đường thẳng qua J Và vuông góc với AB. d) .-=MC2-MB2+BC2 Û .-+MB2-MC2=BC2 A M G B G’ H C Û.(-)+(+).(-)=BC2 Û(-).(++) = BC2 Û3.=BC2 (1) (G là trọng tâm tam giác ABC) Gọi G’ và H thứ tự là hình chiếu của G và M lên BC. Thế thì : (1) Û 3 Û = G’ cố định, không đổi ịH cố định và tập hợp các điềm M là một đường thẳng vuông góc với BC tại H e) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta phân tích : A B C - MA2 =(+)2 = MO2+OA2+2. MB2 =(+)2 = MO2+OB2+2. MC2 = (+)2 = MO2+OC2+2. Do đó : 3MA2-2MB2-MC2=2.(3-2-)+ +3OA2-2OB2+OC2 (1) Mà OA=OB=OC=Rị3OA2-2OB2+OC2=0 Và 3-2-=3-2(+)-(+)= = -(2+) là một véc tơ cố định. Nên : 3MA2-2MB2-MC2= 0 Û 2. =0 Vậy : tập hợp M là một đường thẳng đi qua O và vuông góc với vec-tơ . Bài tập : 1. Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho : a) .-. =AB2 (G là trọng tâm) b) (2- 3).(+2) = 0 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. BC = 6a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho : ( + ).(++) = a2 3. Cho đoạn thẳng AB=2a có I là trung điểm . a) P là một điểm bất kỳ. Tính . theo PI và a. b) Tìm tập hợp điểm M thỏa . = a2 4. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : .= . 5.Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các hệ thức sau : a) . = . b) 2+.+.=0 c) 2 = . 6. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho : a) b) 7. Cho ABCD là hình bình hành . Tìm tập hợp các điểm M sao cho : MA2+MB2+MC2+MD2=k2 ,với kẻR 8. cho tam giác ABC , góc A nhọn, trung tuyến AI. Tìm tập hợp các điểm M di động trong góc BÂC, sao cho : AB.AH AC. AK =AI2 (1) Trong đó H, K thứ tự là các hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC. 9. Cho tứ giác ABCD . I, J thứ tự là trung điểm của AB, CD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho : .+.=IJ2 (1) 10. Cho tam giác ABC . I là trung điểm của AB. J là điểm thỏa mãn: +3-2= a) Chứng minh BCIJ là hình bình hành. b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: .+3.= 22 1. đs : a) Tập hợp M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng GC tại H, xác định bởi hệ thức : b) Tập hợp M là đường tròn đường kính IJ. 2. đs : Gọi O là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác , I là trung điểm của OG. Thì tập hợp M là đường tròn tâm I, bán kính R = a 3.Hướng dẫn giải : a) phân tích .=(+). (+)=(+).(-)= b) Sử dụng kết quả câu a) , ta tính được IM=a. Vậy tập hợp M là đường tròn (I,R= a) C A d B C A d B 4.đs: Tập hợp M là đường thẳng (d) qua C và vuông góc với AB 5.đs : a) tập hợp M là đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BC. b) Ta chứng minh .=0.ị Tập hợp M là dường tròn đường kính AG với G là trọng tâm của tam giác ABC. c) Gọi I là trung điểm của BC và J là trung điểm của AI. A M d H J B I C Lưu ý : .= Nên 2 = .Û2=MI2- Û2-2= Û (-).(+)=Û.2= Û. (1) Gọi H là hình chiếu của M trên AI,thế thì : (1) Û = ÛJH= (không đổi).ịH cố định. Vậy tập hợp M là một đường thẳng (d) đi qua H cố định và vuông góc với AI 6.Giải : a) Gọi I là điểm xác định bởi hệ thức : (1) (thì I là điểm cố định nằm trên đường thẳng AB). Thì aMA2+bMB2= Vậy: Từ đó tập hợp M là ặ; là điểm I; hay là đường tròn (I, R= ) tùy theo nhỏ hơn, bằng hay lớn hơn 0 Chú ý :Giá trị k0có thể tính được theo a, b, AB bằng cách bình phương vô hướng biểu thức (1) dẫn đến kết quả : k0= b) Gọi I là điẻm xác định bởi hệ thức : (1) . làm tương tự như câu a) , ta có : Đặt aIA2+bIB2+gIC2=k0 không đổi. Giá trị k0có thể tính được bằng cách bình phương hai vế (1) , dẫn đến Vậy MI2= Do đó tập hợp M có thể ặ,{I}, hoặc là đường tròn (I, R=) Tùy theo nhỏ hơn,bằng, hay lớn hơn 0. 7.Hướng dẫn giải : Sử dụng kết quả bài tập 6, “vấn đề 2” : MA2+MC2=2MO2+ MB2+MD2=2MO2+ Từ đó dẫn đến : MO2= Vậy tập hợp M có thể là ặ,{O}, hay đường tròn (O; R=) Tùy theo k2 nhỏ hơn, bằng, hay lớn hơn AC2+BD2 8.Giải : A K H M0 M B I C Sử dụng định lý hình chiếu, đưa (1) về dạng : 2=.+. =.+. =(+).=2. (2) Gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M lên AI, thì : (2) Û2=2.Û ÛÛM0 là trung điểm của đoạn AI. Vậy tập hợp M là một đoạn thẳng vuông góc với AI tại M0 là trung điểm của AI Và nằm trong tam giác ABC 9.Giải : B I A O D J C (1) Û 4.+4.=2IJ2 Û (+)2-(-)2+(+)2-(-)2=2IJ2 Û 4MI2-AB2+4MJ2-CD2=2IJ2 4MI2+4MJ2=AB2+CD2+2IJ2 (*) Gọi O là trung điểm của IJ (*) Û 2(+)2+2(-)2 -2IJ2 = AB2+CD2 Û 2.(2MI2+2MJ2)-2IJ2=AB2+CD2 Û 4(MI2+MJ2) -2IJ2=AB2+CD2 Û 4.(2MO2+IJ2) -2IJ2=AB2+CD2 Û 8MO2=AB2+CD2 A J I K B C Û MO= Ûtập hợp M là đường tròn (O;R=) 10. đs : b) tập hợp M là đường tròn (K; R=JC) Với K là trung điểm của JC Hạ Long ngày 1tháng 1 năm 2009 Lê Đức Tình sưu tầm và biên soạn