Chuyên đề vectơ trong không gian: Áp dụng véc tơ giải toán

CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VŨ NGỌC VINH 1 ÁP DỤNG VÉCTƠ GIẢI TOÁN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC 1) Định nghĩa: Ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. 2) Tính chất: a. Điều kiện để ba véctơ , ,a b c    ( ,a b   không cùng phương) đồng phẳng là tồn tại các số m, n sao cho c  = ma nb   . Hơn nữa các số m, n là duy nhất. b. Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi ba véctơ , ,AB AC AD    đồng phẳng. c. Nếu 0ma nb pc       và có một trong ba số m, n, p khác 0 thì , ,a b c    đồng phẳng. d. Nếu 0ma nb pc       và , ,a b c    không đồng phẳng thì 0m n p   . e. Nếu , ,a b c    không đồng phẳng thì với mỗi véctơ d  , ta tìm được các số m, n, p sao cho d  = ma nb pc     . Hơn nữa các số m,n, p là duy nhất. B. PHƯƠNG PHÁP CHUNG. Để áp dụng vectơ để giải bài tập hình học không gian ta thường theo các bước sau: Bước 1: Chọn ba véctơ , ,x y z    không đồng phẳng. (Hệ ba véctơ { , ,x y z    } gọi là hệ cơ sở). Bước 2: Biểu diễn các véctơ liên quan ( chẳng hạn , ,a b c    , ...) qua hệ cơ sở. Bước 3: Tuỳ yêu cầu bài toán mà có phương án xử lý tiếp theo. Trong quá trình biến đổi, kết quả sau thường được vận dụng: Mệnh đề: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), tức là MA kMB   , thì với mỗi điểm O, ta có 1 OA kOBOM k     * Chú ý Ở bước 1: Hệ cơ sở { , ,x y z    } thường được chọn là ba véctơ chung gốc, chẳng hạn { , , 'AB AD AA    } trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’. CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VŨ NGỌC VINH 2 Ở bước 2: Để biểu thị, chẳng hạn véctơ MN  qua , ,x y z    trước hết ta biểu thị ,AM AN   qua , ,x y z    và sau đó áp dụng công thức MN AN AN     . Ở bước 3: Để giải quyết bài toán về tính tính song song ta thường dùng hệ quả :“Nếu , ,x y z    không đồng phẳng và ' ' 'mx ny pz m x n y p z           thì m=m’, n=n’, p=p’”, còn để giải quyết bài toán về tính vuông góc hoặc liên quan đến tính toán ta thường áp dụng tích vô hướng của hai véctơ. C. BÀI TOÁN I. Bài toán 1: Chứng minh, tìm điều kiện ba điểm thẳng hàng. * Nhận xét: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB  , AC  cùng phương, tức là AB k AC   . Ví dụ . Cho tứ diện ABCD; M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho ,MA m MB ND m NC      , ( 1)m  . Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho , ,IA k ID JM k JN KB k KC         ( k  1). Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng. Lời giải: Đặt , ,x AB y AC z AD         , thì , ,x y z    không đồng phẳng. Ta có MA m MB    1 mAM x m     ND m NC    ( )1 mAN mx z m       IA k ID    1 kAI z k     JM k JN    1 ( )(1 )( 1)AJ m x km y k zk m        x  y  z  CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VŨ NGỌC VINH 3 KB k KC    1 ( ) 1 AK x k y k       Từ đó ta có 1 ( ) 1 IK AK AI x k y kz k             ( )(1 )( 1) mIJ AJ AI x k y k z k m              Suy ra: IJ   1 m m  IK  , do đó I, J, K thẳng hàng. Nhận xét: Trong bài toán trên, nếu chọn m = -1 thì ta có kết quả: Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD thì J là trung điểm của IK. II. Bài toán 2: Chứng minh, tìm điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. *Nhận xét: Điều kiện để hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau là hai véctơ AB  và CD  cùng phương. Khi đó nếu có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc đường thẳng CD hoặc ngược lại thì hai đường thẳng AB và CD song song. Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm các điểm M, N lần lượt thuộc A’C và C’D sao cho MN song song với đường thẳng BD’. Lời giải Đặt , ',x BA y BB z BC         thì , ,x y z    không đồng phẳng. Vì M, N lần lượt thuộc A’C, C’D nên giả sử ' , 'MA kMC NC l ND      (k  1, l 1), theo đó ta có ' 1 1 1 1 1 1 BA k BC kBM x y z k k k k              ' 1 1 1 1 BC lBD lBN x y z l l l              x  y  z  CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VŨ NGỌC VINH 4 1 1 1( ) ( ) (1 ) 1 1 1 1 1 l kMN BN BM x y z l k l k k                     Mà 'BD x y z       . Vì BD’ và C’D là hai đường thẳng chéo nhau và N thuộc đường thẳng C’D nên đường thẳng MN không trùng với đường BD’. Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’ khi và chỉ khi 1 1 1 1 1 1' 3 1 1 1 1 41 l p l k l MN p BD p k l k k pp k                            Vậy M, N cần tìm được xác định bởi các đẳng thức: ' 3MA MC   , 'NC ND    . Chú ý: Có thể giải bài toán trên bằng các cách khác, chẳng hạn: - Xét phép chiếu song song theo phương BD’ lên mặt phẳng (A’B’C’D’) ; - Hoặc: Xem đường thẳng MN cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD’A’) (chứa BD’) và mặt phẳng (C’DE), trong đó E đối xứng với A qua B (chứa DC’ và song song với BD’) . Hình 4 CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VŨ NGỌC VINH 5 III. Bài toàn 3: Chứng minh, tìm điều kiện để đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng. * Nhận xét: Đường thẳng AB song song hoặc nằm trong (P) nếu ba véctơ AB  , a  , b  không đồng phẳng, trong đó a  , b  là hai véctơ nằm trong (P). Khi đó nếu có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc (P) thì đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P), nếu ngược lại thì đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (P). Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ song song với mặt phẳng (ABB’A’). Lời giải: Đặt , , 'x AB y AD z AA         , thì , ,x y z    không đồng phẳng. Vì G, G’ lần lượt là trọng tâm của tứ diện A’D’MN, BCC’D’ nên AG  = 1 4 ( ' 'AA AD AM AN       ) 1' ( ' ') 4 AG AB AC AC AD         , theo đó 1' ' ( ' ' ' ') 4 GG AG AG A B D C MC ND             1 1 1( ) 4 2 2 x z x z x z z              1 (5 ) 8 x z    1 (5 ') 8 AB AA    Điều này chứng tỏ , ', 'AB AA GG    đồng phẳng, mặt khác G không nằm trên mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ song song với mặt phẳng (ABB’A’). y  x  z  CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VŨ NGỌC VINH 6 Chú ý: Ta dùng cách thường làm, đó là chứng minh GG’ song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng (ABB’A’) tuy nhiên lời giải sẽ dài và hình phải vẽ thêm nhiều nét. IV. Bài toán 4: Chứng minh, tìm điều kiện để bốn điểm nằm trong một mặt phẳng. *Nhận xét: 1) Bốn điểm A, B, C, D nằm trong một mặt phẳng khi và chỉ khi ba véctơ , ,AB AC AD    đồng phẳng. 2) Cho tam giác ABC và một điểm O bất kì thì điều kiện cần và đủ để M nằm trên mặt phẳng (ABC) là: OM kOA lOB mOC       trong đó k + l + m = 1. Ví dụ : Cho tứ diện ABCD; I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD; các điểm M, N lần lượt thuộc AC, BD sao cho , 'MA k MC NB k ND      . Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k=k’. Lời giải: Đặt x  = IA  , y  = IC  , z  = ID  , thì x  , y  , z  không đồng phẳng. Ta có 1 1 IA k IC x k yMA k MC IM k k              ' '' 1 ' 1 ' IB k ID x k zN B k N D IN k k               1 1( ) ( ) 2 2 IJ IC ID y z         Bốn điểm M, N, I, J cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi ba véctơ , ,IM IN IJ    đồng phẳng, tức là IM p IN q IJ     1 '( ) 1 1 1 ' 2 2 1 ' k p q q pkx y x y z k k k k                x  y  z  CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VŨ NGỌC VINH 7 1 1 1 ' 1 2 ' 1 ' 2 p k k k q k pk q k           Suy ra ' ' 1 1 ' 1 k pk k k k k       , từ đây ta có k=k’. V.Bài toán 5: Tính độ dài đoạn thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng, chứng minh các đường thẳng, mặt phẳng vuông góc, khoảng cách. *Nhận xét: 1)Để tính độ dài đoạn thẳng MN ta biểu thị M N  qua hệ cơ sở và dùng công thức MN= 2 M N  2) Để tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta dùng công thức . os( , ) os( , ) . AB CD c AB CD c AB CD AB CD       3) Để chứng minh các đối tượng vuông góc ta đưa về việc chứng minh hai đường thẳng vuông góc. 4) Xác định khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB  xác định | |CM  với M thoả mãn: . . 0 AM AB CM AB         5) Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳngchéo nhau AB và CD  xác định | |MN  với M , N thoả mãn: . . . . 0 0 AM AB MN AB CN CD MN CD                   CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VŨ NGỌC VINH 8 Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a, 0 060 , ' ' 120BAD BAA DAA     . a) Chứng minh tứ giác ADC’B’ là hình vuông; b) Tính diện tích tứ giác A’B’CD. Lời giải: Đặt x  = AB  , y  = AD  , z  = 'AA  thì x  , y  , z  không đồng phẳng và 2 22 2 2 2 , . , . . 2 2 a ax y z a x y x z y z                a) Dễ thấy ADC’B’ là hình bình hành. Vì 0' 120BAA  nên 0' ' 60AA B  , từ đó AB’=a, cho nên ADC’B’ là hình thoi. Ta có 2 2 ' '. ( ). ( ) 0 2 2 a aAB x z AB AD x z y                 AB’ AD Vậy ADC’B’ là hình vuông. b) Ta có ' 'A B x   , 'A D y z     , 'DB x y z       , nên 2 2 2 2' 2 . 3A D x z x z a         ' 3A D a  2 2 2 2 2' 2 . 2 . 2 . 2BD x y z x y x z y z a                 ' 2DB a  Đặt ' 'B A D   thì 2 2 2 2 2 2' ' ' ' 3 2os 2 ' '. ' 2 . 3 1 3 A B A D B D a a ac A B A D a a        2 6sin 1 os 3 c     Từ đó: x  y  z  z  z  y  x  CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VŨ NGỌC VINH 9 2 ' ' 6' '. ' .sin . 3. 2 3A B CD S A B A D a a a   Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Trên các đoạn thẳng BB’, CD, A’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B’M = CN = D’P = a (0 < a <1). Chứng minh rằng: a) (1 ) 'MN a AB AD a AA         b) 'AC  vuông góc với mặt phẳng (MNP). Lời giải: Đặt x  = A B  , y  = AD  , z  = 'AA  , thì x  , y  , z  không đồng phẳng và . . . 0x y y z x z         , 2 2 2 1x y z      a) Ta có MN MB BC CN       (1 ) 'a B B AD aCD       ( 1) 'a AA AD a AB       ( 1) 'a AB AD a AA        b) Ta có ( 1)M N a x y a z         , tương tự ta tính được (1 )M P x a y a z         . Ta lại có 'AC x y z       , suy ra '.AC MN    ( x y z     )( ( 1)a x y a z       ) = a-1-a+1=0 '.AC MP    ( x y z     )( (1 )x a y a z       ) = a-1+1-a=0 Suy ra AC’MN và AC’MP, từ đó AC’ (MNP). Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 4 2 , cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC=2; E,F lần lượt là trung điểm của AB và CB. Tìm và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SF và CE. Lời giải: Đặt x  = C A  , y  = CB  , z  = CS  thì x  , y  , z  không đồng phẳng, và 0. 4 2.4 2. os60 16, . . 0x y c y z x z          , 2 22 32, 4x y z      Lấy I SF, KCE , giả sử CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VŨ NGỌC VINH 10 , 2 2 2 SI SF y z CK CE x y                  ( 1) 2 2 IK IS SC CK x y z                 1 2 SF SC C F y z         , 1 1 2 2 C E x y     . Giả sử IK là đường vuông góc chung của SF và CE, khi đó 1( )( ( 1) ) 0. 0 2 2 2 1 1. 0 ( )( ( 1) ) 0 2 2 2 2 y z x y zSF IK SF IK CE IK CE IK x y x y z                                          Từ hệ này ta tìm được 2 1, 3 3    . Vậy đoạn vuông góc chung của SF và CE là IK được xác định bởi 2 1, 3 3 SI SF CK CE      . Khi đó ta có 1 1 1 6 6 3 IK x y z       , do đó 22 2 21 1 1 1( ) ( 2 ) 6 6 3 36 IK IK x y z x y z              = 2 2 21 12( 4 2 . 4 . 4 . ) 36 9 x y z x y x z y z               Suy ra IK= 2 3 3 . D. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Cho tứ diện ABCD, I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) qua IK cắt BC tại E, cắt AD tại F. Chứng minh rằng: 1) Nếu .BE BC  thì .AF AD  . 2) Nếu IK  AB và IK  CD thì IK  EF tại trung điểm O của EF. Bài 2 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích của lăng trụ biết: AB’  BC’ Bài 3 x  z  y  CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VŨ NGỌC VINH 11 Cho tứ diện OABC có tổng góc AOB + BOC = 1800 . Gọi OD là phân giác trong của góc AOC. Tính góc BOD. Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K llà trung điểm của SC. Một mặt phẳng qua AK cắt SB, SD lần lượt tại M, N Chứng minh rằng: 3SB SD SM SN   Bài 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông cân: AC = BC = a. Xét tứ diện đều MNPQ có M, N, P, Q lần lượt nằm trên các đường thẳng CA’, CA’, AB’, AB’. Tính thể tích hình lăng trụ và khoảng cách giữa trung điểm các đoạn thẳng MN và PQ. Bài 6 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M thuộc đoạn AD’, N thuộc đoạn BD sao cho AM = DN = x ( 0< x < a 2 ). 1) CMR: MN // mp’(A’BCD’) 2) Khi 2 3 ax thì MN ngắn nhất. Ngược lại khi MN ngắn nhất thi MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD đồng thời MN // A’C. Bài 7. Cho hình tứ diện đều cạnh a, I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, mặt phẳng (P) chứa IK cắt hình tứ diện đều theo một thiết diện, xác định vị trí của mặt phẳng (P) để thiết diện tạo thành có diện tích là nhỏ nhất; lớn nhất. Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất đó. Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là nửa lục giác đều AB = BC = CD = a. Cạnh bên SB vuông góc với đáy và SA = a 3 . 1) Tìm trên cạnh SB một điểm M khác B sao cho góc AMD = 900. 2) Mặt phẳng (AMD) cắt hình chóp theo một thiết diện, tính diện tích thiết diện đó. Bài 9. Cho hình hình tứ diện SABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F. Các mp’(ABF), mp’(BCD), mp’(ACE) cắt nhau tại M. Đường thẳng SM cắt mp’(DEF) tại N, cắt mp’(ABC) tại P. Chứng minh rằng: 3PN PM NS MS  . Bài 10. ABC.A’B’C’ là một hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Xét các đoạn thẳng có hai đầu lần lượt nằm trên hai đường chéo BC’ và CA’ của hai mặt bên CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VŨ NGỌC VINH 12 lăng trụ và song song với mp’(ABB’A’). Tính chiều dài của đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng như thế. Bài 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy một điểm M và trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy một điểm N sao cho đường thẳng MN cắt cạnh C’D’. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN. Bài 12. Cho hình chóp S.ABC, G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC , SG theo thứ tự tại A’, B’ C’ , G’ . Chứng minh rằng: ' ' ' ' 3SA SB SC SG SA SB SC SG    Bài 13. (ĐH 1987) Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng l. Trên các cạnh SA, SB, SC, SD lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho SM = m, SN = n, SP = p, SQ = q. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 m p n q    Bài 14. ( ĐH Quốc phòng khối A – 2002) Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a, SA = a, cạnh SA vuông góc với đáy. M là một điểm trên cạnh SB, N là một điểm trên cạnh SC sao cho MN // BC và AN vuông góc CM. Tính tỷ số : MS MB . Bài 15. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính bán kính của hình cầu nhỏ nhất tiếp xúc với các đường thẳng AB’, B’C, CD, DA.