Cơ sở hình học vi phân

Cơ sở hình học vi phân, A. Pressley Phó Đức Tài Ngày 9 tháng 9 năm 2007 ii Mục lục 1 Đường cong 1 1.1 Đường cong là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Tham số hóa lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Quan hệ giữa đường cong định mức và đường cong tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Uốn cong 15 2.1 Độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Các đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Đường trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Tính chất toàn cục 31 3.1 Đường cong đóng đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Bất đẳng thức đẳng chu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Định lý Bốn đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Mặt cong 39 4.1 Mặt cong là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2 Mặt trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5 Độ cong Gauss 45 5.1 Độ cong Gauss và độ cong trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Mặt giả cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3 Mặt dẹt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 iii iv Lời ngỏ Hình học vi phân trong tựa đề cuốn sách này đề cập đến việc nghiên cứu hình học của đường cong và mặt cong trong không gian 3 chiều dùng các kỹ thuật tính toán giải tích. Môn học này hàm chứa một số kết quả đẹp đẽ nhất trong Toán học, ngoài ra để có thể hiểu hầu hết các kết quả này chúng ta chỉ cần một số kiến thức nền tảng về giải tích (bao gồm đạo hàm riêng), véctơ và đại số tuyến tính (bao gồm ma trận và định thức). Rất nhiều kết quả về đường cong và mặt cong mà chúng ta sẽ thảo luận trong cuốn sách này là dạng sơ khai của các kết quả tổng quát trong trường hợp chiều cao, chẳng hạn định lý Gauss-Bonnet, trong chương 11, là dạng sơ khai của một số lớn các kết quả về mối quan hệ của các tính chất ’địa phương’ và ’toàn cục’ của các đối tượng hình học. Việc nghiên cứu các quan hệ như thế đã tạo ra một mảng chính của Toán học trong thế kỷ XX. Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng, các phương pháp sử dụng trong cuốn sách này không nhất thiết có thể mở rộng lên chiều cao. (Chẳng hạn khái niệm ’liên kết’ sẽ không được bàn đến trong suốt cuốn sách). Chúng tôi cố gắng dùng những hướng tiếp cận đơn giản nhất để chứng minh các kết quả. Nó không chỉ nhằm hạn chế kiến thức cần phải bổ sung, mà còn giúp chúng ta tránh những khái niệm khó thường gặp trong khi nghiên cứu Hình học vi phân trong chiều cao. Chúng tôi hy vọng cách tiếp cận này sẽ làm cho môn học đẹp đẽ có thể đến được với nhiều độc giả hơn. Một sự thật là không thể học toán bằng cách chỉ đọc lý thuyết mà còn phải thực hành. Có khoảng 200 bài tập trong sách, độc giả nên cố gắng giải càng nhiều càng tốt. v vi Chương 1 Đường cong trong mặt phẳng và trong không gian Trong chương này chúng ta sẽ thảo luận hai định nghĩa về khái niệm (trực giác) của một đường cong. Quan hệ giữa chúng khó nhận ra, vì vậy chúng ta sẽ bắt đầu bằng một vài ví dụ của đường cong với mỗi định nghĩa, và từ thực hành ta sẽ có mối liên kết giữa chúng. 1.1 Đường cong là gì? Nếu có ai hỏi cho ví dụ một đường cong, bạn có thể cho ngay một đường thẳng, chẳng hạn y − 2x = 1 (mặc dù nó không cong), hoặc một đường tròn, chẳng hạn x2 + y2 = 1, hoặc có lẽ một parabôn, chẳng hạn y− x2 = 0. y-2x=1 y-x2 = 0 x2 + y2 = 1 Tất cả các đường cong này được mô tả thông qua phương trình của chúng trong hệ tọa độ Descartes f (x, y) = c, trong đó f là hàm có biến x, y và c là hằng số. Theo quan điểm đó, một đường cong là một tập hợp các điểm, đó là C = {(x, y) ∈ R2| f (x, y) = 0}. (1.1) Những ví dụ trên đều là các đường cong trong mặt phẳng R2, nhưng chúng ta cũng có thể xét các đường cong trong R3 - ví dụ, trục x trong hệ tọa độ 3 chiều là một đường thẳng được cho bởi {(x, y, z) ∈ R3|y = z = 0}, và tổng quát hơn, một đường cong trong R3 có thể định nghĩa bằng một cặp phương trình f1(x, y, z) = c1, f2(x, y, z) = c2. Đường cong có dạng như thế được gọi là đường định mức (level curve), theo nghĩa, chẳng hạn đường cong cho bởi Pt. (1.1), gồm các điểm (x, y) trong mặt phẳng có đại lượng f (x, y) đạt mức c. 1 1.1. ĐƯỜNG CONG LÀ GÌ? CHƯƠNG 1. ĐƯỜNG CONG Có một cách khác để mô tả một đường cong mà hóa ra rất tiện ích trong nhiều trường hợp. Đó là quỹ tích của một điểm chuyển động. Do đó, nếu γ(t) là vị trí vectơ của điểm tại thời điểm t thì đường cong được mô tả bởi hàm γ của biến số t nhận giá trị véctơ (trong R2 cho đường cong phẳng, R3 cho đường cong trong không gian). Chúng ta sử dụng ý tưởng này để đưa ra định nghĩa hình thức đầu tiên cho một đường cong trong Rn (chúng ta sẽ chỉ quan tâm trong hai trường hợp n = 2 hoặc 3, nhưng để thuận tiện xét chúng đồng thời): Định nghĩa 1.1. Một đường cong được tham số (hoặc còn gọi là cung được tham số) trong Rn là một ánh xạ γ : (α, β)→ Rn, với α, β thỏa mãn −∞ ≤ α < β ≤ ∞. Kí hiệu (α, β) là khoảng mở (α, β) = {t ∈ R|α < t < β}. Một đường cong tham số có ảnh chứa trong một đường cong định mức được gọi là một tham số hóa (thành phần) của C. Các ví dụ dưới đây sẽ minh họa một cách thực hành làm thế nào từ đường cong định mức để có đường cong tham số và ngược lại. Ví dụ 1.1. Tìm một tham số hóa γ(t) cho parabôn y = x2. Nếu γ(t) = (γ1(t), γ2(t)), các thành phần γ1 và γ2 của γ phải thỏa mãn γ2(t) = γ1(t)2 (1.2) với mọi t trong khoảng (α, β) mà γ được định nghĩa (chưa được xác định), như vậy mỗi điểm nằm trên parabôn phải có tọa độ (γ1(t), γ2(t)) với t ∈ (α, β). Rõ ràng, có thể nhận ra ngay một nghiệm của Pt. (1.2) là γ1(t) = t, γ2(t) = t2. Để xác định tất cả các điểm trên parabôn, chúng ta cho t nhận mọi giá trị số thực (vì γ(t) có tọa độ đầu chính bằng t, mà tọa độ đầu của một điểm trên parabôn có thể là một số thực bất kỳ), bởi vậy chúng ta lấy (α, β) = (−∞, ∞). Do đó, ta có tham số hóa: γ : (−∞, ∞)→ R2, γ(t) = (t, t2). Nhưng đây không phải là tham số hóa duy nhất của parabôn đã cho. Chẳng hạn một tham số hóa khác, chẳng hạn γ(t) = (t3, t6) (với (α, β) = (−∞, ∞)). Hoặc một dạng khác là (2t, 4t2), và dĩ nhiên có (vô số) các dạng khác nữa. Như vậy, tham số hóa của một đường cong định mức cho trước là không duy nhất. Ví dụ 1.2. Xét đường tròn x2 + y2 = 1. Nếu làm tương tự như ví dụ trên, lấy x = t khi đó y = √ 1− t2 (chúng ta cũng có thể chọn y = −√1− t2). Như vậy chúng ta có tham số hóa γ(t) = (t, √ 1− t2). Nhưng đây chỉ là tham số hóa của nửa trên của đường tròn, vì √ 1− t2 luôn luôn≥ 0. Tương tự, nếu chúng ta chọn y = −√1− t2 thì chỉ phủ được nửa dưới của đường tròn. Nếu muốn có một tham số hóa của toàn bộ đường tròn thì phải tìm cách khác. Chúng ta cần tìm các hàm số γ1(t) và γ2(t) sao cho chúng thỏa mãn γ1(t)2 + γ2(t)2 = 1 (1.3) với mọi t ∈ (α, β). Có một nghiệm hiển nhiên của Pt. (1.3) là: γ1(t) = cos t và γ2(t) = sin t (vì cos2 t + sin2 t = 1 với mọi t). Chúng ta có thể chọn (α, β) = (−∞, ∞), nhưng như thế là hơi thừa. Chỉ cần lấy khoảng mở (α, β) có khoảng cách lớn hơn 2pi bất kỳ là đủ. Ví dụ sau đây chỉ cách làm thế nào để từ một đường cong tham số hóa ta tìm ra đường cong định mức. Ví dụ 1.3. Xét đường cong được tham số hóa như sau, được gọi là astroid (đường hình sao): γ(t) = (cos3 t, sin3 t). Do cos2 t + sin2 t = 1 với mọi t, nên các tọa độ x = cos3 t, y = sin3 t của điểm γ(t) thỏa mãn x2/3 + y2/3 = 1. Đường cong định mức này trùng với ảnh của ánh xạ γ. 2 CHƯƠNG 1. ĐƯỜNG CONG 1.1. ĐƯỜNG CONG LÀ GÌ? Trong cuốn sách này chúng ta sẽ nghiên cứu các đường cong (và sau đó, các mặt cong) sử dụng các tính toán giải tích. Để lấy đạo hàm một hàm giá trị véctơ như γ(t) (như trong Định nghĩa 1.1), chúng ta lấy đạo hàm từng phần: nếu γ(t) = (γ1(t), γ2(t), ..., γn(t)) thì dγ dt = (dγ1 dt , dγ2 dt , ..., dγn dt ) , d2γ dt2 = (d2γ1 dt2 , d2γ2 dt2 , ..., d2γn dt2 ) , v.v... Để tiết kiệm, chúng ta sẽ dùng kí hiệu γ˙(t) thay cho dγ/dt, γ¨(t) thay cho d2γ/dt2, v.v... Chúng ta nói rằng γ là trơn nếu mỗi thành phần γ1, γ2, ..., γn của γ là trơn, tức là tất cả các đạo hàm dγi/dt, d2γi/dt2,d3γi/dt3,... tồn tại, với mọi i = 1, 2, ..., n. Kể từ đây về sau, tất cả các đường cong tham số hóa được nói đến trong quyển sách này được giả thiết là trơn. Định nghĩa 1.2. Giả sử γ(t) là một đường cong tham số hóa. Khi đó, đạo hàm cấp 1 của nó dγ/dt được gọi là véctơ tiếp xúc của γ tại điểm γ(t). Để tìm hiểu ý nghĩa cho thuật ngữ này, xét vectơ γ(t + δt)− γ(t) δt song song với cung nối giữa 2 điểm γ(t) và γ(t + δt) của ảnh C của γ: γ(t) γ(t+δt) Chúng ta mong chờ, khi δt tiến tới 0, dây cung sẽ song song với tiếp tuyến của C tại γ(t). Do đó, tiếp tuyến phải song song với lim δt→0 γ(t + δt)− γ(t) δt = dγ dt . Bằng trực giác dễ thấy kết quả sau đây: Mệnh đề 1.1. Nếu vectơ tiếp xúc của một đường cong tham số là vectơ hằng, thì ảnh của đường cong là (một phần) đường thẳng. Chứng minh. Giả sử γ˙(t) = a với mọi t, trong đó a là vectơ hằng. Lấy tích phân hai vế, ta có γ(t) = ∫ dγ dt dt = ∫ adt = ta + b, với b là vectơ hằng khác. Nếu a 6= 0, thì đây là phương trình tham số của đường thẳng song song với a đi qua điểm đích của vectơ b: Nếu a = 0 thì ảnh của γ là một điểm đơn, trùng với điểm đích của vectơ b. BÀI TẬP 3 1.1. ĐƯỜNG CONG LÀ GÌ? CHƯƠNG 1. ĐƯỜNG CONG b a ta γ(t) 1.1. Hãy kiểm tra xem γ(t) = (t2, t4) có phải là một tham số hóa của parabôn y = x2 hay không? 1.2. Tìm tham số hóa của các đường cong định mức sau: (i) y2 − x2 = 1; (ii) x 2 4 + y2 9 = 1. 1.3. Tìm phương trình trong hệ tọa độ Descartes của đường cong tham số: (i) γ(t) = (cos2 t, sin2 t); (ii) γ(t) = (et, t2). 1.4. Tính véctơ tiếp xúc của các đường cong ở Bài tập 1.3. 1.5. Phác họa đường hình sao trong Ví dụ 1.3. Tính vectơ tiếp xúc của nó tại mỗi điểm. Tại những điểm nào thì có vectơ tiếp xúc bằng vectơ không? 1.6. Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trên đường tròn C có bán kính a > 0 và có tâm tại điểm (0, a) trong hệ tọa độ Oxy. Đường thẳng qua P và gốc tọa độ cắt đường thẳng y = 2a tại Q, đường thẳng qua P song song với trục x cắt đường thẳng qua Q song song với trục y tại R. Khi P chạy quanh C thì quỹ tích của R là một đường cong, được gọi làma thuật của Agnesi (witch of Agnesi) 1 Đối với đường cong này: (i) Tìm một tham số hóa; (ii) Tìm phương trình trong hệ tọa độ Descartes. O P Q Rρ 1.7. Quỹ tích của một điểm cố định trên đường tròn khi đường tròn đó lăn (không trượt) dọc theo một đường thẳng được gọi là đường cong xycloit (cycloid). Chứng minh rằng nếu đường thẳng là trục x và đường tròn có bán kính a > 0 thì xycloit có thể tham số hóa bởi γ(t) = a(t− sin t, 1− cos t). 1.8. Tổng quát hóa bài tập trên, hãy tìm tham số hóa của một êpixycloit (tương ứng, hypôxycloit), quỹ tích của một điểm cố định trên đường tròn khi đường tròn đó lăn (không trượt) phía ngoài (tương ứng, bên trong) tựa theo một đường tròn. 1Nd: Đường cong "witch of Agnesi" được Maria Agnesi trình bày trong sách Toán bằng tiếng Ý của bà vào 1748 (được xem là tác phẩm Toán học đầu tiên do một phụ nữ viết). 4 CHƯƠNG 1. ĐƯỜNG CONG 1.2. ĐỘ DÀI CUNG 1.9. Chứng minh rằng γ(t) = (cos2 t − 12 , sin t cos t, sin t) là một tham số hóa của đường cong giao của mặt trụ có bán kính 12 xoay quanh trục z và mặt cầu bán kính 1 có tâm (− 12 , 0, 0). (Đường cong này có tên gọi là đường cong Viviani). 1.10. Chứngminh rằng góc giữa γ(t) và vectơ tiếp xúc tại γ(t) không phụ thuộc t. Ở đây, γ(t) = (et cos t, et sin t) là đường xoắn ốc lôgarit (xem hình vẽ của nó ở Ví dụ 1.4). 1.2 Độ dài cung Giả sử v = (v1, ..., vn) là vectơ trong Rn với độ dài bằng ‖v‖ = √ v21 + · · ·+ v2n. Nếu u là một vectơ khác trong Rn thì ‖u− v‖ là độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm biểu diễn của u và v trong Rn. Để tìm một công thức cho độ dài cho độ dài của một đường cong tham số γ, ta chú ý rằng, nếu δt rất bé, phần ảnh C của γ giữa γ(t) và γ(t + δt) gần như là một đoạn thẳng, do đó độ dài của nó xấp xỉ bằng ‖γ(t + δt)− γ(t)‖. Hơn nữa, do δt nhỏ, (γ(t + δt)− γ(t))/δt xấp xỉ bằng γ˙(t), vậy độ dài xấp xỉ ‖γ˙(t)‖δt. (1.4) Nếu chúng ta muốn tính độ dài của một phần (không nhất thiết nhỏ) của C chúng ta có thể chia nó thành nhiều đoạn, mỗi một đoạn tương ứng với một gia số nhỏ δt của t, rồi tính độ dài của mỗi đoạn sử dụng 1.4, và cộng các kết quả lại. Lấy δt tiến tới 0 ta sẽ có chính xác độ dài. Điều này gợi mở đến định nghĩa sau đây: 5 1.2. ĐỘ DÀI CUNG CHƯƠNG 1. ĐƯỜNG CONG Định nghĩa 1.3. Độ dài cung của một đường cong γ xuất phát từ điểm γ(t0) là hàm số s(t) được cho bởi s(t) = ∫ t t0 ‖γ˙(u)‖ du. Vậy s(t0) = 0 và s(t) là dương hoặc âm phụ thuộc vào t lớn hơn hay bé hơn t0. Nếu ta chọn điểm khởi đầu là γ(t˜0) khác, thì độ dài cung s˜ khác s một hằng số bằng ∫ t˜0 t0 . Ví dụ 1.4. Xét đường xoắn ốc lôgarit (logarithmic spiral) γ(t) = (et cos t, et sin t), –15 –10 –5 5 10 –15 –10 –5 5 10 15 ta có γ˙ = (et(cos t− sin t), et(sin t + cos t)), ∴ ‖γ˙‖2 = (e2t(cos t− sin t)2 + e2t(sin t + cos t)2 = 2e2t. Do đó, độ dài cung của γ xuất phát, chẳng hạn từ điểm γ(0) = (1, 0) là s = ∫ t 0 √ 2e2udu = √ 2(et − 1). Nếu s là độ dài cung của đường cong γ xuất phát từ γ(t0), khi đó ds dt = d dt ∫ t t0 ‖γ˙(u)‖du = ‖γ˙(t)‖. (1.5) Xem γ(t) như là vị trí của một điểm chuyển động tại thời điểm t, thì ds/dt là vận tốc của điểm đó (là tỉ lệ của sự thay đổi khoảng cách trên đường cong). Với lí do này, chúng ta đi đến định nghĩa sau: Định nghĩa 1.4. Giả sử γ : (α, β) → Rn là một đường cong tham số, khi đó vận tốc của nó tại điểm γ(t) là ‖γ˙(t)‖, và γ được gọi là đường cong có vận tốc đơn vị nếu γ˙(t) là vectơ đơn vị với mọi t ∈ (α, β). Chúng ta sẽ thấy trong nhiều ví dụ, các công thức và kết quả đối với các đường cong sẽ đơn giản đi nhiều nếu đường cong có vận tốc đơn vị. Lí do của sự đơn giản hóa được mô tả trong mệnh đề dưới đây. Mặc dù vấn đề này đầu tiên có vẻ không thú vị, nhưng thực sự nó rất hữu ích về sau. Mệnh đề 1.2. Giả sử n(t) là vectơ đơn vị, là một hàm trơn của biến t. Khi đó, có tích n˙(t).n(t) = 0 với mọi t, tức là n˙(t) bằng 0 hoặc vuông góc với n(t) với mọi t. Đặc biệt, nếu γ là đường cong có vận tốc đơn vị, thì γ¨ bằng không hoặc vuông góc với γ˙. 6 CHƯƠNG 1. ĐƯỜNG CONG 1.3. THAM SỐ HÓA LẠI Chứng minh. Sử dụng ’công thức tích’ đối với đạo hàm của tích của các hàm có giá trị vectơ a(t) và b(t): d dt (a.b) = da dt .b + a. db dt . Lấy đạo hàm theo t hai vế của phương trình n.n = 1, theo công thức trên thu được n˙.n + n.n˙ = 0, do đó 2n˙.n = 0. Phần còn lại được suy ra bằng cách lấy n = γ˙. BÀI TẬP 1.11. Tính độ dài cung của dây xích (catenary) γ(t) = (t, cosh t) từ điểm (0, 1). 1.12. Chứng minh rằng các đường cong dưới đây có vận tốc đơn vị: (i) γ(t) = ( 1 3 (1+ t) 3/2, 13 (1− t)3/2, t√2 ) ; (ii) γ(t) = ( 4 5 cos t, 1− sin t,− 35 cos t ) . 1.13. Tính độ dài cung của xycloid trong Bài tập 1.7 khi quay hết một vòng tròn. 1.3 Tham số hóa lại Ở trong các Ví dụ 1.1 và 1.2, chúng ta đã thấy một đường cong có thể có nhiều tham số hóa. Mối quan hệ giữa các tham số hóa là điều quan trọng cần bàn đến. Định nghĩa 1.5. Đường cong tham số γ˜ : (α˜, β˜) → Rn là một tham số hóa lại của đường cong tham số γ : (α, β)→ Rn nếu có một song ánh trơn φ : (α˜, β˜)→ (α, β) (được gọi là ánh xạ tham số hóa lại) sao cho ánh xạ φ−1 : (α, β)→ (α˜, β˜) cũng là ánh xạ trơn và γ˜(t˜) = γ(φ(t˜)) với mọi t˜ ∈ (α˜, β˜). Do ánh xạ ngược của φ là ánh xạ trơn, nên γ là một tham số hóa lại của γ˜: γ˜(φ−1(t)) = γ(φ(φ−1(t))) = γ(t) với mọi t ∈ (α, β). Hai đường cong là tham số hóa lại với nhau thì có cùng ảnh, vì vậy chúng có các tính chất hình học giống nhau. Ví dụ 1.5. Trong Ví dụ 1.2, ta có tham số hóa γ(t) = (cos t, sin t) cho đường tròn x2 + y2 = 1, và một tham số hóa khác γ˜(t) = (sin t, cos t) (vì sin2 t + cos2 t = 1). Để chứng tỏ γ˜ là tham số hóa lại của γ, ta cần tìm ánh xạ tham số hóa lại φ sao cho (cos φ(t), sin φ(t)) = (sin t, cos t) Tồn tại φ như vậy, chẳng hạn φ(t) = pi/2− t. Như ở nhận xét trong phần trước, việc khảo sát đường cong sẽ đơn giản hơn nếu nó có vận tốc đơn vị. Vì vậy cần biết đường cong nào có tham số hóa lại là đường cong có vận tốc đơn vị. 7 1.3. THAM SỐ HÓA LẠI CHƯƠNG 1. ĐƯỜNG CONG Định nghĩa 1.6. Điểm γ(t) của đường cong tham số γ được gọi là điểm chính qui nếu γ˙(t) 6= 0; ngược lại nó được gọi là điểm kì dị. Một đường cong được gọi là chính qui nếu mọi điểm của nó đều chính qui. Trước khi chỉ ra mối quan hệ giữa tính chính qui và biểu diễn tham số hóa lại có vận tốc đơn vị, ta nêu ra dưới đây hai tính chất đơn giản của đường cong chính qui. Mặc dù trông các kết quả này chẳng có gì lôi cuốn, nhưng chúng rất quan trọng trong ứng dụng về sau. Mệnh đề 1.3. Mọi tham số hóa lại của một đường cong chính qui đều chính qui. Chứng minh. Giả sử γ và γ˜ có quan hệ như trong Định nghĩa 1.5, đặt t = φ(t˜) và ψ = φ−1 sao cho t˜ = ψ(t). Lấy đạo hàm theo biến t hai vế của phương trình φ(ψ(t)) = t, theo luật hợp thành ta có dφ dt˜ dψ dt = 1. Điều đó chứng tỏ dφ(t)/dt˜ không thể bằng 0. Do γ˜(t˜) = γ(φ(t˜)), tương tự áp dụng luật hợp thành ta có dγ˜ dt˜ = dγ dt dφ dt˜ , từ đó suy ra dγ˜/dt˜ khác 0 với mọi t˜ nếu dγ/dt khác 0 vói mọi t. Mệnh đề 1.4. Nếu γ(t) là đường cong chính qui thì độ dài cung, s (như trong Định nghĩa 1.3), xuất phát từ một điểm bất kỳ của γ, là một hàm trơn theo t. Chứng minh. Như chúng ta đã biết (không cần phải giả thiết γ chính qui) s là hàm khả vi theo t và ds dt = ‖γ˙(t)‖. Để đơn giản hóa kí hiệu, từ đây giả sử γ là đường cong phẳng, chẳng hạn γ(t) = (u(t), v(t)), với u và v là các hàm trơn biến t. Định nghĩa f : R2 → R như sau f (u, v) = √ u2 + v2, sao cho ds dt = f (u˙, v˙). (1.6) Điểm mấu chốt là có f trơn trong R2 \ {(0, 0)}, tức là tất cả các đạo hàm riêng của f ở mọi bậc đều tồn tại và là các hàm liên tục ngoại trừ tại gốc tọa độ (0, 0). Chẳng hạn, ∂ f ∂u = u√ u2 + v2 , ∂ f ∂v = v√ u2 + v2 , là định nghĩa tốt và liên tục ngoại trừ khi u = v = 0, tương tự cho các đạo hàm bậc cao hơn. Vì γ chính qui, nên u˙ và v˙ không đồng thời bằng 0 và từ Pt. (1.6) suy ra ds/dt là hàm trơn. Chẳng hạn, d2s dt2 = ∂ f ∂u u¨ + ∂ f ∂v v¨, và tương tự với các đạo hàm bậc cao hơn. Kết quả chính là mệnh đề sau đây. 8 CHƯƠNG 1. ĐƯỜNG CONG 1.3. THAM SỐ HÓA LẠI Mệnh đề 1.5. Một đường cong tham số hóa có một tham số hóa lại có vận tốc đơn vị khi và chỉ khi nó là đường chính qui. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử đường cong tham số γ : (α, β)→ Rn có một tham số hóa lại γ˜ có vận tốc đơn vị, gọi φ là ánh xạ tham số hóa lại. Với t = φ(t˜), ta có γ˜(t˜) = γ(t), ∴ dγ˜ dt˜ = dγ dt dt dt˜ , ∴ ‖dγ˜ dt˜ ‖ = ‖dγ dt ‖ |dt dt˜ |. Do γ˜ có vận tốc đơn vị, suy ra ‖dγ˜/dt˜‖ = 1, vì vậy rõ ràng dγ/dt khác không. Điều kiện đủ. Giả sử vectơ tiếp xúc dγ/dt luôn luôn khác không.Từ Pt. (1.5), ta có ds/dt > 0 với mọi t, trong đó s là độ dài cung của γ xuất phát từ điểm bất kỳ trên đường cong, từ Mệnh đề 1.4 suy ra s là hàm trơn theo t. Áp dụng định lý hàm ngược, ta có s : (α, β)→ R là một đơn ánh, ảnh của nó là một khoảng mở (α˜, β˜), và ánh xạ ngược s−1 : (α˜, β˜)→ (α, β) là trơn. (Bạn đọc nào không quen thuộc với định lý hàm ngược tạm thời chấp nhận khẳng định này; định lý này sẽ được nêu trong mục 1.4 và cụ thể hơn trong Chương 4.) Lấy φ = s−1 và γ˜ tương ứng là tham số hóa lại của γ sao cho γ˜(s) = γ(t). Khi đó, dγ˜ ds ds dt = dγ dt , ∴ ‖dγ˜ ds˜ ‖ds dt = ‖dγ dt˜ ‖ = ds dt (do Pt. (1.5)), ∴ ‖dγ˜ ds˜ ‖ = 1. Chứng minh của Mệnh đề 1.5 chứng tỏ rằng độ dài cung thực chất là biến của tham số hóa lại có vận tốc đơn vị của đường cong chính qui: Hệ quả 1.1. Giả sử γ là một đường cong chính qui và γ˜ là một tham số hóa lại của γ có vận tốc đơn vị: γ˜(u(t)) = γ(t) với mọi t, trong đó u là một hàm trơn theo t. Khi đó, nếu s là độ dài cung của γ (xuất phát từ điểm bất kỳ) thì u = ±s + c, (1.7) với c là một hằng số. Ngược lại, nếu u có giá trị như ở Pt. (2.7) với hằng số c nào đó và một trong hai dấu, thì γ˜ là một tham số hóa lại của γ. Chứng minh. Tính toán như trong phần đầu của chứng minh Mệnh đề 1.5 chứng tỏ rằng u có một tham số hóa lại có vận tốc đơn vị khi và chỉ khi du dt = ±‖dγ dt ‖ = ±ds dt do Pt. (1.5). Vậy u = ±s + c với hằng số c nào đó. 9 1.3. THAM SỐ HÓA LẠI CHƯƠNG 1. ĐƯỜNG CONG Mặc dù mọi đường cong chính qui đều có một tham số hóa lại có vận tốc đơn vị, nhưng có thể rất phức tạp, hoặc thậm chí không thể viết ra chính xác, như các ví dụ dưới đây. Ví dụ 1.6. Với đường xoắn ốc lôgarit γ(t) = (et cos t, et sin t), trong Ví dụ 1.4 ta đã biết ‖γ˙‖2 = 2e2t. Vế phải luôn luôn khác không, do đó γ là chính qui. Độ dài cung γ xuất phát từ điểm (1, 0) như đã biết s = √ 2(et − 1). Do đó, t = ln ( s√ 2 + 1 ) , vì vậy có một tham số hóa lại có vận tốc đơn vị của γ có công thức khá dài dưới đây γ˜(s) = (( s√ 2 + 1 ) cos ( ln ( s√ 2 + 1 )) , ( s√ 2 + 1 ) sin ( ln ( s√ 2 + 1 ))) . Ví dụ 1.7. Đường cong xoắn bậc ba (twisted cubic) là đường cong không gian cho bởi γ(t) = (t, t2, t3), −∞ < t < ∞. Ta có –10 –5 0 5 10 20 40 60 80 100 –1000 –500 0 500 1000 γ˙(t) = (1, 2t, 3t2), ∴ ‖γ˙(t)‖ = √ 1+ 4t2 + 9t4. Vế phải của đẳng thức sau cùng luôn luôn khác không, vì vậy γ là chính qui. Độ dài cung xuất phát từ điểm γ(0) = 0 bằng s = ∫ t 0 √ 1+ 4u2 + 9u4du. Không thể biểu diễn tích phân này qua các hàm quen thuộc như lôgarit, hàm e mũ, hàm lượng giác. v.v... (ví dụ này thường được gọi là tích phân elliptic.) Ví dụ sau cùng dưới đây sẽ chứng tỏ một đường cong có thể có cả hai dạng tham số hóa lại: chính qui và không chính qui. Ví dụ 1.8. Xét tham số hóa γ(t) = (t, t2) của parabôn y = x2, có γ˙(t) = (1, 2t) luôn luôn khác không, do đó γ là chính qui. Nhưng γ˜(t) = (t3, t6) cũng là một tham số hóa của parabôn ở trên. Vì ˙˜γ(t) = (3t2, 6t5), và nó bằng không khi t = 0, do đó γ˜ không chính qui. 10 CHƯƠNG 1. ĐƯỜNG CONG1.4. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG CONG ĐỊNHMỨC VÀ ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BÀI TẬP 1.14. Trong những đường cong dưới đây trường hợp nào là chính qui: (i) γ(t) = (cos2 t, sin2 t) với −∞ < t < ∞; (ii) với đường cong như trong (i), nhưng 0 < t < pi/2; (iii) γ(t) = (t, cosh t) với −∞ < t < ∞. Tìm tham số hóa lại có vận tốc đơn vị của (các) đường chính qui. –1 –0.5 0 0.5 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.15. Đường xixôit của Diocles (cissoid of Diocles) như ở hình vẽ trên, trong hệ tọa độ cực (r, θ) có phương trình r = sin θ tan θ, −pi/2 < θ < pi/2. Hãy tìm một tham số hóa của xixôit với biến θ, và chứng minh rằng γ(t) = ( t2, t3√ 1− t2 ) , −1 < t < 1, là một tham số hóa lại của nó. 1.16. Giả sử γ là đường cong trong Rn và γ˜ là tham số hóa lại của γ với φ là ánh xạ tham số hóa lại (sao cho γ˜(t˜) = γ(φ(t˜))). Xét t˜0 là một giá trị cố định của t˜, đặt t0 = φ(t˜0). Giả sử s và s˜ là độ dài cung của γ và γ˜ xuất phát từ điểm γ(t0) = γ˜(t˜0). Chứng minh rằng s˜ = s nếu dφ/dt˜ > 0 với mọi t˜, và s˜ = −s nếu dφ/dt˜ < 0 với mọi t˜. 1.4 Quan hệ giữa đường cong định mức và đường cong tham số Bây giờ chúng ta sẽ cố gắng làm sáng tỏ chi tiết mối quan hệ giữa hai dạng mô tả của đường cong mà đã đề cập trong phần trước. Đường cong định mức nói chung như chúng ta đã định nghĩa không phải luôn luôn là đối tượng mà ta muốn gọi là đường cong. Lấy ví dụ, ’đường cong’ định mức x2 + y2 = 0 chỉ là một điểm. Trong định lý dưới đây, những điều kiện cần cho một hàm số f (x, y) để đường cong định mức f (x, y) = c (với c là hằng số) có thể tham số hóa được, sẽ được trình bày. Chú ý rằng chúng ta có thể coi c = 0 (vì có thể thay f bởi f − c). Định lý 1.1. Giả sử f (x, y) là một hàm trơn hai biến (tức là, mọi đạo hàm riêng của f , tại mọi cấp, đều tồn tại và là các hàm liên tục). Giả sử thêm rằng tại mọi điểm của đường cong định mức C = {(x, y) ∈ R2| f (x, y) = 0}, 11 1.4. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG CONG ĐỊNHMỨC VÀ ĐƯỜNG CONG THAM SỐCHƯƠNG 1. ĐƯỜNG CONG ∂ f /∂x và ∂ f /∂y không đồng thời bằng không. Nếu P là một điểm của C, với tọa độ (x0, y0), thì tồn tại một đường cong tham số hóa chính qui γ(t), xác định trên một khoảng mở chứa 0, sao cho γ đi qua P khi t = 0 và γ(t) chứa trong C với mọi t. Chứngminh định lý này ta dùng định lý hàm ngược (trong chứng minhMệnh đề 1.5 một dạng của định lý hàm ngược đã được sử dụng). Tại thời điểm này chúng tôi chỉ cố gắng thuyết phục bạn đọc chấp nhận nó. Chứng mi