Công thức các bài tập về đa giác

I. LÝ THUYẾT 1. Đa giác. Đa giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh ( n 3) A1A2…An+1 sao cho đỉnh đầu Aa và đỉnh cuối An+1 trùng nhau, cạnh đầu A1A2 và cạnh cuối AnAn+1 ( cũng coi là hai cạnh liên tiếp) không nằm trên một đường thẳng. Đa giác như thế kí hiệu là A1A2…An. Đa giác n cạnh còn gọi là n – giác. Các điểm Ai gọi là các đỉnh của đa giác , các đoạn thẳng AiAi+1 gọi là các cạnh của đa giác. Góc Ai-1AiAi+1 gọi là góc đa giác ở đỉnh Ai. 2. Đa giác đơn ĐN: đa giác đơn là đa giác mà bất kì 2 cạnh không liên tiếp nào cũng không có điểm chung. 3. Đa giác lồi ĐN: Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đối với đường thẳng chứa bất lì một cạnh nào của đa giác đó. 4. Đường chéo của đa giác ĐN: Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh không kề nhau củamột đa giác gọi là đường chéo của đa giác đó. ĐL: Bằng một đường chéo thích hợp mọi n – giác đơn có thể phân hoạch thành 2 đa giác có số cạnh bé hơn n. 5. Đa giác đều. ĐN: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau. II. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC VD1: Cho hình n_ giác lồi. a. Chứng mính rằng tổng các góc của hình n_giác bằng (n - 2)1800. b. Tính tổng các góc ngoài của hình n_giác. Giải: a. Vẽ các đường chéo xuất phát từ một định của n_ giác đó. Khi đó các đường chéo và các cạnh của đa giác tạo thành n – 2 tam giác. Tổng các góc của hình n_ giác bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác và tổng (n - 2).1800. b. Tổng số đo góc trong và góc ngoài tại một đỉnh của hình n_giác bằng 1800. Tổng số đo các góc trong và góc ngoài tại n đỉnh của hình n_giác bằng n.1800. Tổng số đo các góc trong của hình n_giác bằng (n - 2).1800. Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n_giác bằng n.1800 – (n - 2).1800 = 3600 = 4v Tổng số đo các góc ngoài của 1 hình n_ giác không phụ thuộc vào số cạnh của đa giác. VD2: Chứng minh hình n_ giác có tổng tất cả đường chéo. Giải: Cách 1: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được (n - 1) đoạn thẳng nối từ đỉnh đó với (n - 1) đỉnh còn lại của đa giác (trong đó có 2 đoạn thẳng trùng với hai cạnh của đa giác). Qua mỗi đỉnh của hình n_giác vẽ được n – 1 – 2 = n – 3 đường chéo. Do đó hình n_ giác vẽ được n(n - 3) đường chéo. Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên trong hình n_ giác có tất cả đường chéo. Cách 2: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được n -1 đoạn thẳng nối đỉnh đó với n – 1 đỉnh còn lại của đa giác. + Với n đỉnh ta vẽ được n(n - 1) đoạn thẳng (trong đó mỗi đoạn thẳng được tính 2 lần) => số đoạn thẳng thực sự là . + Mặt khác trong số này có n đoạn thẳng là cạnh của hình n _ giác. Vậy hình n_ giác có - n = đường chéo. III. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC 1. Tính số cạnh của một đa giác. 2. Tính số đo góc trong một đa giác. 3. Bài toán liên quan đến đường chéo của đa giác. 4. Diện tích đa giác. 5. Các khoảng cách trong đa giác. 6. Một số bài toán cơ bản. IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN 1. Tính số cạnh của một đa giác. Bài 1: Tổng số đo các góc của một đa giác n _ cạnh trừ đi góc A của nó bằng 5700. Tính số cạnh của đa giác đó và Giải: Ta có (n - 2). 1800 – = 5700 = (n - 2).1800 – 5700. Vì 00 < < 1800 0 < (n - 2). 1800 – 5700 < 1800. 0 < n - 5 < 1 5 < n < 6 Vì n N nên n = 6. Đa giác đó có 6 cạnh và = (6 - 2). 1800 – 5700 = 1500. Bài 2: Tính số cạnh của một đa giác, biết đa giác đó có: a. Tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài ( tại mỗi đỉnh của đa giác chỉ kẻ một góc ngoài). b. Số đường chéo gấp đôi số cạnh. c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700. Giải: a. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3). + Tổng số đo các góc trong của đa giác là (n - 2).1800. + Tổng số đo các góc ngoài của 1 đa giác là 3600. Theo giả thuyết ta có: (n - 2).1800 = 3600 n = 4 Vậy số cạnh của đa giác đó là n = 4. b. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3). Số đường chéo của đa giác gấp 2 lần sô cạnh của đa giác nên ta có: = 2n n2 – 3n = 4n n = 7. Vậy đa giác đó có 7 cạnh. c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700 nên: (n - 2).1800 - = 25700. = (n - 2).1800 – 25700. Vì 00 < < 1800 Vì n N n = 15. Vậy đa giác đó có 15 cạnh. Bài 3: Tỉ số giữa số đo các góc của 2 đa giác đều là . Tính số cạnh của mỗi đa giác đó. Giải: Gọi số cạnh của mỗi đa giác đều là n,m (m,n Z, m,n > 2). Theo bài ra ta có: = . Vì m Z, m > 2 nên m + 4 Z và m + 4 > 6 n – 6 < 0 n < 6. Khi đó m,n có 3 trường hợp sau. TH 1: TH2: TH3: Vậy các cạnh của 2 đa giác đều là 5 và 20; 4 và 8; 3 và 4. Bài 4: Một mảnh giấy hình vuông được cắt bởi một đường cắt thẳng thành 2 mảnh. Một trong hai mảnh lại được cắt làm 2. Ta làm như vậy nhiều lần. Hỏi số lần cắt ít nhất là bao nhiêu để có thể nhận được đa giác 20 cạnh. Giải: + Giả sử sau n lần cắt ta nhận được 100 đa giác 20 cạnh Sau mỗi lần cắt số đỉnh tăng nhiều nhất là 4 đỉnh. Vậy sau n lần cắt số đỉnh sẽ không vượt quá 4n + 4 đỉnh. + Sau mỗi lần cắt số mảnh giấy tăng thêm 1 Sau n lần cắt số mảnh giấy là n + 1. + Số mảnh giấy không phải là hình 20 cạnh bằng n + 1 – 100 = n – 99 Tổng số đỉnh của các đa giác này là 3(n - 99) đỉnh. + Ta có 4n + 4 100.20 + 3 (n - 99) n 1699. Vậy số lần cắt ít nhất là 1699. + Trước hết cắt 99 lần bởi đường thẳng song song với 1 cạnh của hình vuông để được 100 hình chữ nhật. Sau đó với mỗi hình chữ nhật ta cắt đúng 16 lần để được 1 hình đa giác 20 cạnh. Vậy tổng số lần cắt là: 99 + 100.16 = 1699 (lần cắt). Bài 5: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng: a. Khi n 1 thì đường thẳng đó chia mặt phẳng thành Pn = phần. b. Khi n 3 thì trong Pn phần nói trên có Qn = đa giác. Chứng minh: a. n = 1 ta có: P1 = = 2, tức là một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 phần mệnh đề nói đúng với n = 1. Giả sử mệnh đề đúng khi có n – 1 đường thẳng và ta chứng minh mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng. Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn, thoả mãn điều kiện bài toán. Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d1, d2, …dn- 1 nên n -1 đường thẳng đó chia mặt phẳng thành Pn phần với Pn = . Đường thẳng dn bị n – 1 đường thẳng nói trên chia thành n phần (trong đó có n – 2 đoạn thẳng và 2 tia), ta gọi các phần đó là , ,…. . Mỗi đều nằm trong một và chỉ một Dj nào đó và chia Dj thành 2 phần bởi vậy số phần mà n đường thẳng phân chia là: Vậy mệnh đề đúng với trường hợp n đường thẳng đpcm. b. Khi n = 3 ta có = 1 tức là trong số phần mà là 3 đường thẳng (đôi một cắt nhau và không đồng quy) chia mặt phẳng thì có một phần là tam giác Mệnh đề b đúng khi n = 3. Bây giờ ta giả sử mệnh đề b, đúng với n – 1 đường thẳng (n 4) và ta chứng minh b, đúng cho trường hợp n đường thẳng. Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn (đôi một cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào đồng quy). Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d1, d2, …dn -1 nên trong số phần chúng phân chia mặt phẳng có : phần là đa giác mà ta kí hiệu các phần đó là : (với ). Đường thẳng dn bị n – 1 đường thẳng nói trên chi thành n phần trong đó có n – 2 đoạn thẳng mà ta sẽ ký hiệu là . Mỗi một đoạn nằm trong một đa giác nào đó và chia thành đa giác, bởi vậy số đa giác mà n đường thẳng phân chia là: Mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng đpcm. Bài tập đề nghị: Bài 1: Chứng minh rằng ngũ giác có 5 cạnh bằng nhau và 3 góc liên tiếp bằng nhau là ngũ giác đều. Bài 2: Chứng minh rằng trong đa giác đều 9 cạnh, hiện giữa đường chéo lớn nhất và nhỏ nhất bằng cạnh của nó. Bài 3: a. Tìm số n sao cho trong mặt phẳng có thể được phủ kín bởi đa giác đều có n cạnh. b. Có tồn tại các ngũ giác bằng nhau để phủ kín mặt phẳng không? Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều. Bài 5: Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là 22250. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? Bài 6: Tìm số cạnh của một đa giác biết rằng các đường chéo của nó có độ dài bằng nhau. Bài 7: Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 1995 cạnh bởi màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 3 đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của 1 tam giác cân được đánh dấu cùng một màu. 2. Tính số đo góc trong đa giác. Bài tập mẫu: Bài 1: Tính số đo góc của hình 5 cạnh đều, 9 cạnh đều, 15 cạnh đều. Giải: + Số đo góc của hình 5 cạnh đều là: . + Số đo góc của hình 9 cạnh đều là: . + Số đo góc của hình 15 cạnh đều là: . Bài 2: Cho ngũ giác lồi ABCDE. a. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của MP. Chứng minh rằng IK CD. b. Chứng minh rằng tồn tại 2 đường chéo của ngũ giác tạo với nhau 1 góc không vượt quá 360. Giải: a. Gọi F là trung điểm của EC. QM =// (EBt ; FN =// EB, QM = FN QMNF là hình bình hành. Mà IQ = IN I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành. I,M,F thẳng hàng và IM = IF. Ta có: IK = PF. (1) Mà PF = (2) Từ (1), (2) IK = . b. Lấy một điểm 0 bất kì trong mặt phẳng của ngũ giác. Vẽ năm đường thẳng song song với các đường chéo của ngũ giác, chúng tạo thành 10 góc không có điểm chung, có tổng bằng 3600. Tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 360. Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E thuộc miền trong của hình vuông sao cho = = 150 . Chứng minh rằng đều. Giải: + Dựng đều EFB sao cho F và C ở cùng phía đối với EB. = 900 – (+) = 150. + ABE = CBF BE = PF. AE = CF mà AE = EB = FB CBF cân tại F. = 150 = 150, = 1500 = 1500 = 150 CBF cân tại C CE = CB = CD. Vậy đều. Bài 4: Chứng minh một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn. Giải: Giả sử đa giác lồi có K 4 góc nhọn. Nếu đa giác lồi có góc trong một đỉnh đó là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng tại đỉnh đó là góc tù. Vì vậy nếu đa giác có K 4 góc nhọn thì sẽ có K 4 góc ngoài là góc tù tổng các góc ngoài của nó sẽ lớn hơn 3600 (vô lí vì trong một đa giác lồi bất kì tổng các góc ngoài chỉ bằng 3600). Vậy một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn. Bài 5: Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất cả các cạnh bằng nhau và . Hãy tính . Giải: Ta có = = . (1) Vì EA = EB cân = . = 900 - Vì CB = CD = 900 - Thay vào (1) ta được: 900 - + 900 - = + + = 3600. + = 5400 – 3600 = 1800. + = 900 - + 900 - = 900 AD CE. Mặt khác cân tại E, cân tại D AD và CE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường AEDC là hình bình hành. AC = DE AB = BC = CA đều = 600. Vậy = 600. Bài 6: Lục giác ABCDEF có số đo các góc (tính theo độ) là một số nguyên và - = - = - = - = - . Giá trị lớn nhất của có thể bằng bao nhiêu? Giải: + Tổng các góc trong của lục giác bằng : (6 - 2).1800 = 7200. + Đặt = - = - = - = - Ta có + + + + + = 7200. + ( - ) + ( - 2) + ( - 3) + ( - 4) + ( - 5) = 7200. 6 - 15 = 7200 2 = 5 + 2400. Do là số tự nhiên và chia hết cho 5 nên 1750. . Nếu = 1750 thì = 220. Vậy giá trị lớn nhất của là 1750. Bài tập đề nghị. Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF, M và N theo thứ tự là trung điểm của CD và DE. Gọi I là giao điểm của AM và BN. a. Tính . (Với O là tâm của lục giác đều). Bài 2: Lục giác lồi ABCDEF có tất cả các cạnh bằng nhau, ngoài ra = . Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của lục giác này là song song. Bài 3: Cho cân ABC (AB = AC) và = 1000. M là một điểm trong tam giác sao cho = 100 và = 200. Tính . Bài 4: Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh bằng nhau và các góc trong đều bé hơn 1200. Chứng minh rằng các góc trong của ngũ giác lồi đó đều là góc tù. Bài 5: Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE, BC và EF, CD và AE vừa song song vừa bằng nhau. Lục giác ABCDEF có nhất thiếy là lục giác đều hay không? Bài 6: Cho lục giác lồi có tất cả các góc trong bằng nhau. Chứng minh rằng hiệu giữa các cạnh đối diện thì bằng nhau. Bài 7: Cho ABC với AB = BC và = 800. Lấy trong tam giác đó điểm I sao cho = 100 và = 300. Tính . Bài 8: Cho ABC,kẻ các đường phân giác trong BD và CE. Hãy xác định các góc , , biết = 240 và = 180. Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Ta lấy các điểm P, Q trên các cạnh AB và BC tương ứng sao cho BP = BQ. Giả sử H là chân đường vuông góc hạ từ điểm B xuống cạnh PC. Chứng minh rằng = 1v. Bài 10: Cho hình thang cân ABCD( BCAD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. a. Chứng minh MP là tia phân giác của góc . b. Hình thang cân ABCD phải có thêm điều kiện gì đối với 2 đường chéo để = 450. Bài 11: Cho hình vuông ABCD, độ dài cạnh bằng đơn vị. Gọi P và Q là 2 điểm lần lượt trên các cạnh AB và AD. Chứng minh: Chu vi khi và chỉ khi Bài 12: Khoảng cách giữa 2 chân đường vuông góc hạ từ một đỉnh của hình thoi xuống hai cạnh của nó bằng ½ độ dài đường chéo của hình thoi. Tính các góc của hình thoi. Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Tính . Bài 14: Cho tứ giác lồi ABCD, biết +, , Tính các góc của tứ giác Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I. CM: Bài 15: Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhau thì có ít nhất một góc là góc tù. Bài 16: Cho tứ giác ABCD có . Tính số đo của 3. Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác. Bài tập mẫu: Trong hình n_ giác có tất cả đường chéo. Từ công thức trên ta nhận ra rằng, nếu cho số cạnh của một đa giác thì sẽ biết được số đường chéo của đa giác đó. Ngược lại nếu cho số đường chéo của một đa giác thì sẽ biết được số cạnh của đa giác đó. Chằng hạn: + Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo là + Nếu đa giác có số đường chéo là 35 thì số cạnh là bao nhiêu? Ta có = 35 n2 – 3n = 70 Vậy đa giác đó có 10 cạnh. + Nếu đa giác có số đường chéo là 36 thì số cạnh sẽ là bao nhiêu? Giải pt = 36 với n nguyên dương ta thấy phương trình này vô nghiệm, nghĩa là không tồn tại đa giác có số đường chéo đúng là 36 Nhận xét: Không phải bất lì một số nguyên dương nào cũng là số đường chéo của một đa giác + Một câu hỏi đặt ra là có tồn tại đa giác có số cạnh bằng số đường chéo không? Giải phương trình: = n () ta sẽ tìm được câu trả lời. = nn2 – 5n = 0 n = 5. Vậy đa giác duy nhất có số cạnh bằng số đường chéo là ngũ giác. + Tương tự như vậy chúng ta cũng có thể trả lời được những câu hỏi như có tồn tại hay không đa giác có số đường chéo lớn gấp k lần số cạnh hay là tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo nằm trong một khoảng xác đinh. VD: Cho 14 < < 27 28 < n2 – 3n < 54 7 < n < 9 n = 8 Bài 1: Tính số đường chéo củ hình 5 cạnh đều, 9 cạnh đều Giải: + Số đường chéo của hình 5 cạnh đều là: + Số đường chéo của hình 9 cạnh đều là Bài 2: Chứng minh rằng trong một ngũ giác lồi, tổng độ dài các cạnh nhỏ hơn tổng độ dài các đường chéo của ngũ giác đó. Giải: Theo bất đẳng thức tam giác ta có: AB + BC + CD + DE + EA < (AA’ + A’B) + (BB’ + B’C) + (CC’ + C’D) + (DD’ + D’E) + (EE’ + E’A) Mặt khác: AA’ + B’C < AC BB’ + C’D < BD CC’ + D’E < CE DD’ + E’A < DA EE’ + A’B < EB AB + BC + CD + DE + EA < AC + BD + CE + DA + EB. Bài 3: Chứng minh rằng nếu trong một lục giác lồi mỗi một trong 3 đường chéo chính nối các cặp đỉnh đối diện chia lục giác thành 2 phần tương đương thì 3 đường chéo này đồng quy. Chứng minh: + Giả sử ABCDEF là lục giác đã cho. Gọi H là giao điểm của AD và CF. Ta có = = = AC // BF. + Gọi K,I theo thứ tự là trung điểm của AC và FD. H KI và = = Vì KA = KC, FI = ID. = + Mà = ; + + = Mặt khác: = = + + . + H’ = BE KI = BI // KE Ta có KE // IB; KC // IF, CE // BF (theo chứng minh trên). đồng dạng = = + Mà BI // BE = Vậy = Từ (1) , (2) = H H’ Vậy AD, BE, CF đồng quy. Bài 4: Các đường chéo của hình thang ngoại tiếp ABCD (AD//BC) cặt nhau tại O. Bán kính đường tròn nội tiếp các , , ,lần lượt là r1, r2, r3, r4. Chứng minh + = + . Giải: Giả sử ,,,có diện tích và nửa chu vi lần lượt là S1, P1, S2, P2, S3, P3, S4, P4. Dễ thấy: Từ (1), (2) ta suy ra S1S3 = S22 = S42 S4 = Do S = P.r nên ta có + = + = = = (4) Mặt khác đồng dạng nên = S1= (4) + = + P3 = P3 + (đúng) Vậy (4) đúng + = + đpcm. Bài 5: Tìm các cạnh của một tứ giác bất kì, về phía ngoài của nó, dựng các hình vuông. Chứng minh rằng tâm của các hình vuông đó là đỉnh của một tứ giác có các đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau. Giải: Gọi M là trung điểm của AC + Dễ thấy ,,, là các tam giác vuông cân. Theo kết quả O1M = O2M, O1M O2M và O3M = O4M, O3M O4M . Suy ra = vì O1O3 = O2O4 và Từ các tam giác O1O2I và O1O2M suy ra O1I O2I tức là O1O3 O2O4. Bài tập đề nghị: Bài 1: Trên các cạnh AB,BC,CD,DA của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm P,Q,R,S sao cho tứ giác PQRS là hình chữ nhật. Chứng minh rằng hình chữ nhật PQRS hoặc là hình vuông hoặc có các cạnh song song với các đường chéo của hình vuông đã cho. Bài 2: Một cuộc hội nghị gồm 20 người ngồi xung quanh 1 chiếc bàn. Thật tình cờ những người không biết nhau đều không ngồi cạnh nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp không biết nhau (dựa vào bài toán xác định số đường chéo của 1 đa giác). Bài 3: Cho đa giác n cạnh (n > 3). Có bao nhiêu tam giác có 3 cạnh là ba đường chéo của đa giác. Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD) a. Đường thẳng m song song với đáy và qua giao điểm O của hai đường chéo cắt các cạnh bên ở E và F. Chứng minh: OE = OF. b. Đường thẳng n song song với đáy và cắt 2 đường chéo ở H và K, cắt hai cạnh bên ở M,N. Chứng minh rằng NH = KN. Bài 5: Chứng minh rằng có vô số hình bình hành MNPQ nội tiếp một hình bình hành ABCD cho trước (mỗi đỉnh của hình bình hành MNPQ nằm trên mỗi cạnh của hình bình hành ABCD) và các hình bình hành này có chung tâm đối xứng. 4. Diện tích đa giác. 4.1 Hàm diện tích: D là tập hợp tất cả các đa giác đơn trong mặt phẳng ánh xạ S: D R+ (R+ là tập hợp tất cả các số thực dương) gọi là hàm diện tích nếu nó thoả mãn các tính chất sau đây. + Nếu 2 đa giác H1 và H2 bằng nhau thì S(H1) = S(H2) + Nếu đa giác H được phân hoạch thành các đa giác H1, H2,…,Hn thì S(H) = + Nếu V là hình vuông có cạnh bằng 1 thì S (V) = 1. 4.2 Diện tích đa giác đơn. Định lí: Nếu hàm diện tích tồn tại thì nó là duy nhất. 4.3 Diện tích của các hình phẳng. a. Hình đơn giản: Một hình H được gọi là hình đơn giản nếu nó là hợp của một số hữu hạn miền tam giác, đôi một không có điểm trong chung. b. Hình khả diện. + ĐN: Một hình X gọi là khả diện (có diện tích) nếu với mọi > 0 cho trước luôn luôn có các hình đơn giản G và H sao cho G X H và S(H) – S(G) < . + Diện tích hình khả diện: Diện tích S(X) của hình X là giá trị S(X) = (X) = (X) c. Các tính chất của diện tích đa giác. + Hai đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. + Nếu một trong hai đa giác được chia thành các đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích các đa giác đó. + Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích bằng một đơn vị vuông. 4.4 Các công thức tính diện tích a. Diện tích hình chữ nhật: S = ab. b. Diện tích hình vuông: S = a2. c. Diện tích tam giác: + Tam giác vuông: S = ab. + Tam giác bất kì: S = a.h d. Diện tích hình thang: S = (a+b)h. e. Diện tích hình bình hành: S = a.h f. Diện tích hình thoi: S = a.h = m.n (m.n là 2 đường chéo) * Diện tích của hình có 5 cạnh trở lên dựa vào việc phân chia thành các tam giác và các tứ giác đặc biệt để tính. Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hình vuông ABCD, qua giao điểm O của 2 đường chéo ta kẻ 2 đường thẳng vuông góc MON và POQ cắt các cạnh AD,BC,CD,AB theo thứ tự tại M,N,P,Q. Chứng minh rằng 2 đường thẳng này chia hình vuông thành 4 tứ giác có diện tích bằng nhau. Giải: + Vì AC,BD là các đường chéo của hình vuông ABCD nên = = = = 450. Mà ACBD, MN PQ nên OA = OB = OC = OD SOAM = SOBQ = SONC = SODP + Chứng minh tương tự ta có: SOAQ = SONB = SOPC = SOMD. + Các tứ giác AMOQ, BNOQ,CNOP,DPOM trong đó mỗi tứ giác được chia thành 2 tam giác không có điểm trong chung nên diện tích của mỗi tứ giác sẽ bằng tổng diện tích 2 tam giác đó. Vậy SAMOQ = SBNOQ = SCNOP = SDPOM đpcm. Bài 2: Trong lục giác lồi A1A2A3A4A5A6 có từng cặp cạnh đối song song với nhau. Chứng minh rằng: = Giải: Ta có = = (S + S1). S: Là diện tích lục giác đã cho. S1: diện tích tam giác T có các cạnh bằng hiệu giữa các cạnh đối của lục giác và song song với chúng. Để chứng minh ta đưa lục giác đã cho thành 3 hình hành và tam giác T như hình vẽ. Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng tồn tại một hình bình hành có diện tích bằng diện tích tứ giác này. Giải: Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh DC, CB,BA,AD. Gọi I là điểm đối xứng với F qua E, K là điểm đối xứng với G qua H. Ta có + + >> GFIK là hình bình hành. GF = IK (5) Từ (3),(4),(5) (6). Từ (1), (2), (6) suy ra SABCD = SGFIK. Vậy tồn tại một hình bình hành có diện tích bằng diện tích tứ giác đã cho. Bài 4: Giả sử M là một điểm bất kì trong tam giác ABC. Qua M kẻ các đường thẳng DE,IJ,FG lần lượt song song với BC,CA,AB (trong đó G, J BC, E, F CA; D, I AB). Chứng minh rằng: Giải: + Ta thấy đồng dạng (g.g) + Tứ giác BGMD là hình bình hành = = (7) + Chứng minh tương tự ta có: = (8) = (9) Từ (7), (8), (9) và áp dụng bất đẳng thức xy + yz + zx x2 + y2 + z2 ta có Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M là trọng tâm của Bài 5: Có 3 viên gạch kích thước 20x20(cm) xếp liền nhau và được kẻ như hình vẽ. Tính diện tích phần bị gạch. Giải: + Ta có Vì E là trung điểm của BH + Chứng minh tương tự ta có F là trung điểm của CG. + Mặt khác EHGF là hình bình hành I là trung điểm của EG, HF. + Do có chung đường cao hạ từ H, có đáy IG = EG Bài 6: Ba tam giác nội tiếp. Cho ABC nội tiếp KMN và KMN nôi tiếpPQR trong đó . Biết SABC = 3cm2; SPQR=12cm2. Tính SKMN = ? Giải: + Ta thấyABC tương đương RQP ( Vì có các cạnh tương ứng song song) Mặt khác do nên và hình thang ABQR có chung chiều cao + Tương tự ta có Vậy SKMN= 6cm2 * Tổng quát ta có S2MNK = SABC. SPQR Bài tập đề nghị: Bài 1: Tứ giác lồi ABCD có các cạnh AB, CD đều được chia thành 2n+1 đoạn bằng nhau. Gọi MN là đoạn nằm chính giữa AB và EK là đoạn nằm chính giữa CD (đoạn thứ n+1 tính từ A và từ D). Chứng mính rằng: SMNKE = Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Trên tia đối của các tia BA, CB, CD, AD lấy tương ứng các điểm M, N, P, Q sao cho MB = BA, NC = CB, PD = DC, QA = AD. Chứng minh rằng: SMNPQ = 5SABCD. Bài 3: Cho ngũ giác lồi ABCDE. Gọi A1, B1, C1, D1, E1 lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng Bài 4: tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ các đường cao BD, CE. Gọi H, K là hình chiếu của B, C trên đường thẳng ED. Chứng minh rằng: EH = Dk SBEC + SBDC = SBHKC Bài 5: Cho một hình chữ nhật có các kích thước là a, b. Các tia phân giác của các góc của hình chữ nhật cắt nhau tạo thành một tứ giác. Xác định dạng tứ giác đó và tính diện tích của nó. Bài 6: Cho tứ giác lồi ABCD, E và F theo thứ tự là trung điểm của AD và CD. Biết BE + BF = a. Chứng minh rằng SABCD . Bài 7: Các cặp cạnh đối của lục giác lồi ABCDEF là song song với nhau. Chứng minh rằng: Bài 8: Một mảnh vườn hình tam giác có một giếng D trên cạnh BC. Hãy chia mảnh vườn thành 2 phần có diện tích bằng nhau bởi một đường thẳng đi qua D. Bài 9: Cho tứ giác ABCD, I là trung điểm của AB. Qua A kẻ đường thẳng song song với ID cắt CD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với IC cắt CD ở F. Biết diện tích tứ giác ABCD là 60cm2. Chứng minh: a. SIED = SIAD b. Tính c. Gọi M là trung điểm của EF. Tính SAIMD. Bài 10: Cho tam giác vuông có . Về phía ngoài của tam giác vẽ 3 hình vuông BCPQ, ACGF, ABDE. Chứn minh rằng: 5. Các khoảng cách trong đa giác Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia ID và tia Cb cắt nhau ở K. kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BD tại L. Chứng minh rằng: a. DIL là một tam giác cân. b. Tổng không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. Giải: a)Xét 2 tam giác vuông DAI và DCL có DC = DA ( cùng cộng với góc ) vuông DAI = vuông DCL DI = DL DIL cân b) Nhận xét: Với mọi P AD, Q BC ma PQ // DL thì Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, e đường cao AA1, BB1, CC1. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: Kết quả trên có gì thay đổi nếu ABC có góc tù? Vì sao? Giải: +) Ta có +) Chứng minh tương tự ta cũng có các kết quả sau: Vậy * Nếu tam giác ABC có góc tù, không mất tính tổng quát. Ta giả sử tù khi đó SABC = SBHC – SAHC - SAHD Do đó: Chứng minh tương tự: Góc B tù thì: Góc C tù thì: Bài 3: Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm tuỳ ý trong tam giác đều đến các cạnh của nó là không đổi. Giải: * Từ M trong tam giác đều ABC, ta kẻ đường // với BC, Cắt AB, AC tương ứng tại P, Q. * Vì tam giác ABC đều nên tam giác APQ đều. * Từ M kẻ đường thẳng // với AC cắt AB tại R Suy ra tam giác MPR đều. * Do đó nếu MI, MJ, MK tương ứng là khoảng cách từ M đến BC, CA, Ab thì MI + MJ + MK = MI + ST + SP ( S là trực tâm của tam giác APQ, T = PS AC) * Vậy MI + MJ + MK = MI + PT = AH = Const suy ra (đpcm) Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho lục giác lồi có tất cả các góc trong bằng nhau. Chứng minh rằng hiệu giữa các cạnh đối diện thì bằng nhau. Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm thuộc hình chữ nhật.Chứng minh rằ