Cực trị trong mạch điện xoay chiều

Cực trị trong mạch điện xoay chiều 1. Mạch điện xoay chiều RLC có R thay đổi Bài toán tổng quát 1: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó R có thể thay đổi được (R còn được gọi là biến trở). Tìm giá trị của R để : a. Cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại, (nếu có) b. Cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực tiểu, (nếu có) c. Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực đại, (nếu có) d. Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực tiểu, (nếu có) e. Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại * Hướng dẫn giải: Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng hạn..) Bổ đề : • Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó Dấu bằng xảy ra khi a = b • Hàm số bậc hai , với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm a. Cường độ hiệu dụng vậy R = 0 thì Imax và giá trị b. Vậy khi R rất lớn thì cường độ dòng điện rất nhỏ và giảm dần về 0, (đúng với khái niệm điện trở : cho biết khả năng cản trở sự di chuyển của các điện tích, tức là cản trở dòng điện) c. Điện áp hiệu dụng hai đầu điện trở là: d. Ta có: e. Công suất tỏa nhiệt trên R (cũng là trên toàn mạch):  với Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Dấu bằng xảy ra khi Khi đó công suất cực đại của mạch Vậy mạch điện xoay chiều RLC có R thay đổi đạt công suất tỏa nhiệt trên R cực đại: Khi Chú ý: • Trong trường hợp Pmax thì hệ số công suất của mạch khi đó là • Thông thường khi mạch điện có R thay đổi thì đề bài thường yêu cầu tìm R để Pmax nên các em chú ý trường hợp này hơn. Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là: . Tìm R để : a. Mạch tiêu thụ công suất P = 90W và viết biểu thức của cường độ hiệu dụng trong mạch khi đó. b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại Pmax và tính giá trị Pmax * Hướng dẫn giải: Ta có: a. Công suất của mạch tiêu thụ chính là công suất tỏa nhiệt trên điện trở R: • Với Độ lệch pha của u va i thỏa mãn Biểu thức cường độ dòng điện là • Với Độ lệch pha của u va i thỏa mãn Biểu thức cường độ dòng điện là b.   với Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Dấu bằng xảy ra khi Khi đó công suất cực đại của mạch Vậy khi  thì * Nhận xét : Trong mạch điện RLC mà cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r thì ta có thể tìm công suất mạch cực đại và công suất tỏa nhiệt trên R cực đại • Công suất tỏa nhiệt P trên toàn mạch cực đại:  với Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Dấu bằng xảy ra khi Khi đó công suất cực đại của mạch Vậy mạch điện xoay chiều RLC có R thay đổi và cuộn dây không thuần cảm đạt công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch đạt giá trị cực đại  khi • Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R, (PR) cực đại: với Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Dấu bằng xảy ra khi Khi đó công suất cực đại của mạch Vậy mạch điện xoay chiều RLC có R thay đổi và cuộn dây không thuần cảm đạt công suất tỏa nhiệt trên R cực đại  khi: Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có r = 50Ω, và tụ điện có điện dung và điện trở thuần R thay đổi được. Tất cả được mắc nối tiếp với nhau, rồi đặt vào hai đầu đoạn mạch có hiệu điện thế xoay chiều . Tìm R để: a. Hệ số công suất của mạch là b. Công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. c. Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R cực đại. Tính giá trị cực đại của công suất đó. * Hướng dẫn giải: Ta có a. Hệ số công suất của mạch là Thay số ta được Giải phương trình trên ta được các nghiệm R cần tìm b. Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại khi Khi đó công suất cực đại của mạch c. Ta có công suât tỏa nhiệt trên R là: với Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Dấu bằng xảy ra khi Khi đó công suất cực đại của mạch: Bài toán tổng quát 2: Cho mạch điện RLC có R thay đổi. Điện áp hiệu dụng hai đầu mạch điện là U. Khi R = R1 và R = R2 thì mạch tiêu thụ cùng một công suất (hay P1 = P2 ) Chứng minh rằng: a. b. Công suất tiêu thụ * Hướng dẫn giải: a. Theo giả thiết ta có P1 = P2 b. Ta có   Vậy mạch RLC có R thay đổi mà R = R1 và R = R2 thì P1 = P2 sẽ thỏa mãn Ví dụ: (Đại học – 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100Ω. Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R1 và R2 công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R1 bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R2. Các giá trị R1 và R2 là: A. R1 = 50Ω, R2 = 100Ω. B. R1 = 40Ω, R2 = 250Ω. C. R1 = 50Ω, R2 = 200Ω. D. R1 = 25Ω, R2 = 100Ω. * Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ta có P1 = P2 , (1) Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi R = R2 Khi đó theo bài ta được Lại có , (2) Giải (1) và (2) ta được R1 = 50Ω, R2 = 200Ω. Ví dụ 2: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở R được mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế xoay chiều . Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở: R1 = 18Ω và R2 = 32Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau. Công suất P của đoạn mạch có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau? * Hướng dẫn giải: Theo chứng minh công thức ở trên ta được 2. Mạch điện xoay chiều RLC có L thay đổi Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó L có thể thay đổi được. Tìm giá trị của L để: a. Cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại b. Công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại. Tính giá trị Pmax c. Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại * Hướng dẫn giải: a. Cường độ hiệu dụng vậy thì Imax và giá trị b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch . Do R không đổi nên Giá trị c. Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm là: Với , đặt Do hệ số  hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất khi: Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y là: Vậy Ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó . Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là u = 200cos(100πt) (V). Xác định độ tự cảm của cuộn dây trong các trường hợp sau: a. Hệ số công suất của mạch cosφ = 1. b. Hệ số công suất của mạch cosφ = . c. Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực đại. * Hướng dẫn giải: Ta có a. Hệ số công suất b. Khi c. Theo chứng minh trên ta được khi  thì điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại. Giá trị cực đại: Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là . Các giá trị . Tìm L để: a. Mạch có công suất cực đại. Tính Pmax b. Mạch có công suất P = 80W c. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. * Hướng dẫn giải: Ta có a. Công suất của mạch P = I2.R. Do R không đổi nên: Khi đó b. Từ đó ta tìm được hai giá trị của L thỏa mãn đề bài là c. Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại khi . Giá trị cực đại Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC,điện áp hai đầu mạch điện là u = 200cos(100πt) (V). L thay đổi được. Khi mạch có L = L1 = (H) và L = L2 = (H). Thì mạch có cùng cường độ dòng điện hiệu dụng nhưng giá trị tức thời lệch pha nhau góc . a. Tính R và C b. Viết biểu thức của i * Hướng dẫn giải: Ta có a. Do Theo bài thì u1 và u2 lệch pha nhau góc  nên có một biểu thức là nhanh pha hơn i và một biểu thức chậm pha hơn i. Do nên u1 nhanh pha hơn i còn u2 chậm pha hơn i. Khi đó Trong đó   Vậy các giá trị cần tìm là b. Viết biểu thức của i • Với Tổng trở của mạch Độ lệch pha của u và i: Biểu thức của cường độ dòng điện i là: • Với Tổng trở của mạch: Độ lệch pha của u và i: Biểu thức của cường độ dòng điện i là: * Nhận xét: Cách giải trên là tổng quát cho trường hợp độ lệch pha bất kỳ. Tuy nhiên trong bài toán trên chúng ta có thể nhận xét được rằng do cường độ dòng điện trong hai trường hợp bằng nhau nên trong hai trường hợp đó độ lệch pha của u và i có cùng độ lớn. Khi đó u1 sẽ nhanh pha hơn i góc  là giải ra R luôn chứ không cần phải khai triển công thức lượng giác. 3. Mạch điện xoay chiều RLC có C thay đổi Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó C có thể thay đổi được. Tìm giá trị của C để: a. Cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại b. Công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại. Tính giá trị Pmax đó. c. Điện áp hiệu dụng hai đầu C đạt cực đại * Hướng dẫn giải: a. Cường độ hiệu dụng vậy  thì Imax và giá trị b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch P = I2.R. Do R không đổi nên Giá trị : c. Điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện là: Với , đặt Do hệ số  hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất khi Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y là Vậy: Ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có , C thay đổi. Điện áp hai đầu đoạn mạch . Tìm C để: a. Mạch tiêu thụ công suất P = 50W b. Mạch tiêu thụ công suất cực đại. Tính Pmax c. UC max * Hướng dẫn giải: Ta có a. Nhận nghiệm ZC = 200Ω ta được b. Công suất của mạch P = I2.R. Do R không đổi nên: Khi đó c. Theo công thức đã chứng minh được điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ cực đại khi: Khi đó Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch: Khi C = C1= F và C = C2 = F thì mạch có cùng công suất P = 200W. a. Tính R và L b. Tính hệ số công suất của mạch ứng với C1, C2. * Hướng dẫn giải: a. Theo giải thiết ta có: Với ZL = 300Ω ta được Giải phương trình ta được nghiệm duy nhất R = 100Ω. Vậy b. Tính hệ số công suất ứng với các trường hợp • Khi • Khi Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò của L và C là bình đẳng nên hoán đổi vị trí của L và C ta sẽ được kết quả. Vậy nên trong trắc nghiệm chúng ta chỉ cần nhớ kết quả với C hoặc L. 4. Mạch điện xoay chiều RLC có tần số f hay ω thay đổi Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó tần số góc ω thay đổi được. Tìm ω để : a. Cường độ hiệu dụng của dòng điện đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. c. Điện áp hiệu dụng hai đầu R, hai đầu L, hai đầu C đạt cực đại * Hướng dẫn giải: a. Cường độ hiệu dụng: Vậy khi  thì cường độ hiệu dụng trong mạch đạt giá trị cực đại và giá trị . b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch P = I2.R. Do R không đổi nên Giá trị c. Điện áp hiệu dụng đạt cực đại • UR đạt cực đại Khi đó • UL đạt cực đại Với , đặt Do hệ số Vậy UL đạt cực đại khi • UC đạt cực đại Với , đặt Do hệ số Vậy UC đạt cực đại khi tần số góc Nhận xét: - Do vai trò của f và ω là như nhau nên nếu f thay đổi thì bằng phép thay ta sẽ giải quyết được lớp bài toán mà có f thay đổi. - Do việc tính toán để tìm các giá trị UL max hay UC max là tương đối phức tạp nên những bài toán dạng này chỉ dừng lại ở việc tìm giá trị ω ( hay f ) để cho điện áp hiệu dụng đạt cực đại. Ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Cho đoạn mạch điện MN gồm một điện trở thuần R = 100Ω, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm , tụ điện có điện dung , mắc nối tiếp. Mắc hai đầu M, N vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời , tần số f của nguồn điện có thể điều chỉnh thay đổi được. a. Khi f = f1 = 50 Hz, tính cường độ hiệu dụng của dòng điện và tính công suất tiêu thụ P1 trên đoạn mạch điện MN. Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời chạy trong đoạn mạch đó. b. Điều chỉnh tần số của nguồn điện đến giá trị f2 sao cho công suất tiêu thụ trên đoạn mạch điện MN lúc đó là P2 = 2P1. Hãy xác định tần số f2 của nguồn điện khi đó. Tính hệ số công suất. * Hướng dẫn giải: a. Khi f = f1 = 50 Hz Cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là: Công suất tiêu thu trên đoạn mạch điện là: Độ lêch pha của u và i trong mạch: Biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch là: b. Khi thay đổi f để P2 = 2P1 tức P2 = 144W Ta có Đây là trường hợp xảy ra cộng hưởng điện, thay số ta tìm được: Hệ số công suất khi đó Ví dụ 2: Một mạch điện xoay chiều RLC có R = 100Ω, L = 1/π(H) và C = 10-4/2π (F) mắc nối tiếp. Đoạn mạch được mắc vào một hiệu điện thế xoay chiều có tần số f có thể thay đổi. Khi hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại thì tần số f có giá trị là bao nhiêu? * Hướng dẫn giải: Ta có: Với , đặt Do hệ số Vậy UC đạt cực đại khi tần số dao động BÀI TẬP LUYỆN TẬP Dạng 1: Mạch có R thay đổi Bài 1: Cho mạch RLC có C thay đổi, Khi C = C1 = F thì dòng điện trễ pha  so với điện áp u Khi C = C2 =  thì điện áp hiệu dụng 2 đầu tụ điện cực đại a. Tính R và tần số góc ω, biết b. Biết UC max = 250V. Viết biểu thức điện áp u hai đầu mạch điện Bài 2: Cho mạch điện RLC; u = 30cos(100πt) (V).R thay đổi được. Khi mạch có R = R1 = 9Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ1 . Khi mạch có R = R2 = 16Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ2. biết a. Tính công suất ứng với R1 và R2 b. Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R1, R2 c. Tính L biết C = .. d. Tính công suất cực đại của mạch Bài 3: Cho mạch điện RLC; u = Ucosπt (V). R thay đổi được. Khi mạch có R = R1 = 90Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ1 . Khi mạch có R = R2 = 160Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ2. biết a. Tìm L biết C = .; ω = 100πrad/s b. Tìm C biết L = (H); ω = 100πrad/s c. Tìm ω. Biết L = (H); C = . Bài 4: Cho mạch điện RLC; u = Ucos100πt (V).R thay đổi được ; Khi mạch có R = R1 = 90Ω u và R = R2 = 160Ω thì mạch có cùng công suất P. a. Tính C biết L = (H) b. Tính U khi P = 40W Bài 5: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u = 200cos(100πt) V; L = (H), C = .. Tìm R để: a. Hệ số công suất của mạch là b. Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là UR = 50V c. Mạch tiêu thụ công suất P = 80W Bài 6: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u = 240cos(100πt) V; C = .. Khi mạch có R = R1 = 90Ω u và R = R2 = 160Ω thì mạch có cùng công suất P. a. Tính L, P b. Giả sử chưa biết L chỉ biết Pmax = 240W và với 2 giá trị R3 và R4 thì mạch có cùng công suất là P = 230,4W Tính giá trị R3 và R4 Bài 7: Cho mạch điện như hình vẽ : UAB = 100V; UAN = 100V; UNB = 200V Công suất của mạch là P = 100W. a. Chứng minh rằng P = 100W chính là giá trị công suất cực đại của mạch b. Với hai giá trị R1 và R2 thì mạch có cùng công suất P’. Tính P’ và R2 biết R1 = 200Ω Dạng 2: Mạch có L thay đổi Bài 1: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, hiệu điện thế hai đầu mạch là u = 200cos(100πt) V; C = . . R = 120Ω a. Tính L để ULmax. Tính UL max b. Tính L để UL bằng 175V Bài 2: Cho mạch điện như hình vẽ, u = Ucos100πt (V), C =  , R = 120Ω a. Tính L để  vuông góc với b. Tính L để UAN đạt giá trị cực đại c. Tính L để cosφ = 0,6 Bài 3: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u = 100cos(100πt) V; Khi mạch có L = L1 = (H) và L = L2 = (H) thì mạch có cùng công suất P = 40W a. Tính R và C b. Viết biểu thức của i ứng với L1 và L2 Bài 4: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u = 170cos(100πt) V; R = 80Ω, C = ., Tìm L để: a. Mạch có công suất cực đại. Tính Pmax b. Mạch có công suất P = 80W Bài 5: Cho mạch điện RLC; u = 200cos100πt (V) R = 200Ω; C = .. L có thể thay đổi được a. Khi L = H viết biểu thức của i tính P b. Tìm L để ULmax. Tính ULmax c. Tính L để Pmax , Tìm Pmax Bài 6: Cho mạch điện RLC, L thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u = Ucos(ωt) V; Khi mạch có và thì giá trị tức thời của các dòng điện đều lệch pha một góc  so với u a. Tính R và ω biết . b. Tính ω và C biết R = 100Ω c. Tính C và R biết ω = 100πrad/s Bài 7: Cho mạch điện RLC mắc nối tiếp như hình vẽ , L có thể thay đổi được u = 200cos(100πt) V, , , R = 200Ω a. Viết biểu thức của i, tính P b. Viết biểu thức của UAN c. Viết biểu thức của UMB d. Tính góc hợp bởi UAM và UMB e. Tính góc lệch giữa UAM và UMB Dạng 3: Mạch có C thay đổi Bài 1: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch: u = 120cos(100πt) (V), R = 240Ω, . Tìm C để: a. I = Imax, P = Pmax. Tính Imax, Pmax. Tính UL khi đó. b. UC = UC max. Tính UC max Bài 2: Cho mạch điện RLC, u = Ucosωt(V), C thay đổi, R = 120Ω, U = 150V a. Để Uc = UL = nU thì phải chọn L và C bằng bao nhiêu? Áp dụng n = 4/3 b. Để Uc trễ pha hơn u góc φ có tanφ = 4/3. Tính Uc khi đó Bài 3: Cho mạch điện RLC, C thay đổi , hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch: u = 200cos(100πt)V. Khi C = C1 = và C = C2 =  thì i1 và i2 đều lệch pha với u một góc  rad. a. Tính R, L b. Viết biểu thức i1 và i2 Bài 4: Cho mạch điện RLC, C thay đổi , hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch: u = U0cos(100πt)V. Khi C = C1 = F và C = C2 = thì mạch có cùng công suất, nhưng i1 và i2 ( ứng với 2 giá trị của C) đều lệch pha với nhau một góc rad. a. Tính R và biết L= H b. Tính L và ω, biết c. Tính R và L, biết ω = 100π(rad/s) Bài 5: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, u = 120cos(100πt)V. Khi C = C0 thì UCmax = 200V. Khi đó P = 38,4W. Tính R, L, C0