Đại số cơ bản (ôn thi thạc sĩ toán học) - Bài 15: Ánh xạ tuyến tính

ĐẠI SỐ CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC) Bài 15. Ánh xạ tuyến tính PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 28 tháng 2 năm 2006 1 Định nghĩa và ví dụ 1.1 Định nghĩa Cho V và U là hai không gian véctơ, ánh xạ f : V → U là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn 2 tính chất sau: (i) Với mọi α, β ∈ V : f(α+ β) = f(α) + f(β) (ii) Với mọi a ∈ R, α ∈ V : f(aα) = af(α) Một ánh xạ tuyến tính f : V → V gọi là một phép biến đổi tuyến tính của V . Như vậy, để kiểm tra ánh xạ f : V → U có là ánh xạ tuyến tính không, ta cần phải kiểm tra f có các tính chất (i) và (ii) không. Bạn đọc có thể dễ dàng tự kiểm tra các ví dụ sau: 1.2 Các ví dụ Ví dụ 1. Ánh xạ không: 0 : V −→ U α 7−→ 0(α) = 0 là ánh xạ tuyến tính. Ví dụ 2. Ánh xạ đồng nhất: id : V −→ V α 7−→ id(α) = α là ánh xạ tuyến tính. Ví dụ 3. Ánh xạ đạo hàm: θ : R[x] −→ R[x] f(x) 7−→ θ(f) = f ′(x) là ánh xạ tuyến tính. 1 Ví dụ 4. Phép chiếu p : R3 −→ R2 (x1, x2, x3) 7−→ p(x1, x2, x3) = (x1, x2) là ánh xạ tuyến tính. Dạng tổng quát của một ánh xạ tuyến tính f : Rm → Rn được cho trong bài tập 1. 2 Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính Cho U, V là các không gian véctơ, và f : V → U là ánh xạ tuyến tính. Khi đó: a. f(0V ) = 0U , f(−α) = −f(α) b. Với mọi a1, a2, . . . , an ∈ R, α1, α2, . . . , αn ∈ V ta có f(a1α1 + a2α2 + . . .+ anαn) = a1f(α1) + a2f(α2) + . . .+ anf(αn) c. Ánh xạ tuyến tính biến hệ PTTT thành hệ PTTT. Tức là nếu α1, α2, . . . , αn là hệ PTTT trong V thì f(α1), f(α2), . . . , f(αn) là hệ PTTT trong U . Thật vậy, nếu α1, α2, . . . , αn là hệ PTTT thì tồn tại a1, a2, . . . , an ∈ R không đồng thời bằng không sao cho a1α1+a2α2+ . . .+anαn = 0. Do đó f(a1α1+a2α2+ . . .+anαn) = f(0) suy ra a1f(α1) + a2f(α2) + . . . + anf(αn) = 0 mà a1, a2, . . . , an không đồng thời bằng không nên f(α1), f(α2), . . . , f(αn) PTTT. d. Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một hệ véctơ, tức là với mọi α1, . . . , αn ∈ V rank{α1, . . . , αn} ≥ rank{f(α1), . . . , f(αn)}. Thật vậy, giả sử f(αi1 , . . . , f(αik) là một hệ con ĐLTT tối đại của hệ {f(α1), . . . , f(αn)} (do đó rank{f(α1), . . . , f(αn)} = k), theo tính chất c., hệ véctơ αi1 , . . . , αik ĐLTT, do đó hệ con ĐLTT tối đại của hệ α1, . . . , αn có không ít hơn k véctơ, tức là rank{α1, . . . , αn} ≥ k = rank{f(α1), . . . , f(αn)}. 3 Định lý cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính Định lý 3.1. Cho V là không gian véctơ n chiều (dimV = n), α1, . . . , αn (α) là cơ sở tùy ý của V , U là không gian véctơ tùy ý và β1, . . . , βn là hệ véctơ tùy ý của U . Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : V → U thỏa mãn f(αi) = βi với mọi i = 1, 2, . . . , n. Chứng minh. Tính duy nhất. Giả sử có 2 ánh xạ tuyến tính f, g : V → U thỏa mãn điều kiện của định lý. Khi đó với mọi x ∈ V ⇒ x = a1α1 + . . .+ anαn, ta có f(x) = f(a1α1 + . . .+ anαn) = a1f(α1) + . . .+ anf(αn) = a1g(α1) + . . .+ ang(αn) = g(a1α1 + . . .+ anαn) = g(x) Vậy f = g. 2 Sự tồn tại. Với mỗi x ∈ V , x = a1α1 + . . .+ anαn, ta định nghĩa ánh xạ f : V → U , như sau: f(x) = a1β1+ . . .+anβn. Rõ ràng f là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn điều kiện của định lý. Từ định lý này, ta thấy rằng một ánh xạ tuyến tính hoàn toàn được xác định khi biết ảnh của một cơ sở, và để cho một ánh xạ tuyến tính, ta chỉ cần cho ảnh của một cơ sở là đủ. 4 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 4.1 Định nghĩa và ví dụ Cho V và U là các không gian véctơ, α1, . . . , αn (α) là cơ sở của V , β1, . . . , βm (β) là cơ sở của U . Vì f(αi) ∈ U nên f(αi) biểu thị tuyến tính được qua cơ sở (β) nên ta có: f(α1) = a11β1 + a12β2 + . . .+ a1mβm f(α2) = a21β1 + a22β2 + . . .+ a2mβm · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · f(αn) = an1β1 + an2β2 + . . .+ anmβm Ma trận A =  a11 a21 . . . an1 a12 a22 . . . an2 ... ... . . . ... a1m a2m . . . anm  gọi là ma trận của f trong cặp cơ sở (α), (β) và kí hiệu là Af/(α),(β) Trường hợp đặc biệt, khi f là phép biến đổi tuyến tính của V , f : V → V và (β) ≡ (α) thì ma trận của f trong cặp cơ sở (α), (α) được gọi là ma trận của f trong cơ sở (α) và kí hiệu là Af/(α) Ví dụ 1. Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 f(x1, x2) = (x1 + 2x2, x1 − x2,−x2) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở (α), (β) (ma trận Af/(α),(β)) với các cơ sở (α), (β) như sau: (α) : α1 = (1, 1), α2 = (1, 0), (β) : β1 = (1, 1, 1), β2 = (−1, 2, 1), β3 = (1, 3, 2) Giải. Giả sử f(α1) = a1β1 + a2β2 + a3β3 (1) f(α2) = b1β1 + b2β2 + b3β3 (2) Khi đó, theo định nghĩa, ma trận của f trong cặp cơ sở (α), (β) là Af/(α),(β) =  a1 b1a2 b2 a3 b3  3 Ta cần giải các phương trình véctơ (1), (2) để tìm a1, a2, a3 và b1, b2, b3. Các phương trình (1), (2) tương đương với các hệ phương trình tuyến tính mà ma trận các hệ số mở rộng của chúng là ma trận sau: 1 −1 1 3 11 2 3 0 1 1 1 2 −1 0  −→  1 −1 1 3 10 3 2 −3 0 0 2 1 −4 −1  −→  1 −1 1 3 10 1 1 1 1 0 2 1 −4 −1  −→  1 −1 1 3 10 1 1 1 1 0 0 −1 −6 −3  Hệ 1): a3 = 6, a2 = 1− a3 = −5, a1 = 3 + a2 − a3 = −8 Hệ 2): b3 = 3, b2 = 1− b3 = −2, b1 = 1 + b2 − b3 = −4 Vậy Af/(α),(β) =  a1 b1a2 b2 a3 b3  =  −8 −4−5 −2 6 3  Nhắc lại rằng cơ sở chính tắc của không gian Rn (ký hiệu (n)) là cơ sở: e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) ( n) Bạn đọc có thể dễ dàng kiểm tra ví dụ sau: Ví dụ 2. Cho ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rm được cho bởi công thức (xem bài tập 1) f(x1, . . . , xn) = (a11x1 + . . .+ a1nxn, a21x1 + . . .+ a2nxn, . . . , am1x1 + . . .+ amnxn) Khi đó, ma trận của f trong cặp cơ sở (n), (m) là: Af/n,m =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... . . . ... am1 am2 . . . amn  Chẳng hạn, ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 trong ví dụ 1 có ma trận trong cặp cơ sở (2), (3) là Af/2,3 =  1 21 −1 0 −1  4.2 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Cho U, V là các KGVT, và α1, . . . , αn (α), β1, . . . , βm (β) lần lượt là các cơ sở của V và U . Cho f : V → U là ánh xạ tuyến tính. A = Af/(α),(β) là ma trận của f trong cặp cơ sở (α), (β). Với mọi véctơ x ∈ V , giả sử: x/(α) = (x1, x2, . . . , xn), f(x)/(β) = (y1, y2, . . . , ym) Khi đó, ta có công thức sau gọi là biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f : y1 y2 ... ym  = A.  x1 x2 ... xn  4 Nếu ta ký hiệu [x]/(α) là tọa độ của véctơ x trong cơ sở (α) viết theo cột, thì công thức trên có thể viết lại ngắn gọn như sau: [f(x)]/(β) = Af/(α),(β) .[x]/(α) Trường hợp đặc biệt, khi f : V → V là phép biến đổi tuyến tính, α1, . . . , αn (α) là cơ sở của V , ta có: [f(x)]/(α) = Af/(α) .[x]/(α) 4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong hai cặp cơ sở khác nhau Cho V, U là các KGVT, α1, . . . , αn (α) và α ′ 1, . . . , α ′ n (α ′) là các cơ sở của V , β1, . . . , βm (β) và β′1, . . . , β ′ m (β ′) là các cơ sở của U . Cho ánh xạ tuyến tính f : V → U . Khi đó, ta có công thức dưới đây cho thấy sự liên hệ giữa ma trận của f trong cặp cơ sở (α′), (β′) với ma trận của f trong cặp cơ sở (α), (β): Af/(α′),(β′) = T −1 ββ′ .Af/(α),(β) .Tαα′ trong đó, Tαα′ là ký hiệu ma trận đổi cơ sở từ cơ sở (α) sang cơ sở (α ′). Trường hợp đặc biệt, khi f : V → V là phép biến đổi tuyến tính và α1, . . . , αn (α) và α′1, . . . , α ′ n (α ′) là hai cơ sở của V , ta có: Af/(α′) = T −1 αα′ .Af/(α) .Tαα′ 5 Hạt nhân và ảnh 5.1 Các khái niệm cơ bản Cho V, U là các không gian véctơ, f : V → U là ánh xạ tuyến tính. • Ký hiệu: Kerf = {x ∈ V |f(x) = 0} ⊂ V Khi đó, dựa vào tiêu chuẩn KGVT con, ta có thể chứng minh được Kerf là KGVT con của V , gọi là hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f . • Ký hiệu Imf = {f(x)|x ∈ V } ⊂ U Imf cũng là một KGVT con của U , gọi là ảnh của ánh xạ tuyến tính f . 5.2 Nhận xét • Để xác định hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f : V → U , ta sử dụng biểu thức tọa độ của f (xem mục 2), cụ thể: Chọn cơ sở α1, . . . , αn (α) và β1, . . . , βm (β) của V và U . Khi đó, ta có: [f(x)/(β) = Af/(α),(β) .[x]/(α) 5 do đó: x ∈ Kerf ⇐⇒ f(x) = 0 ⇐⇒ [f(x)]/(β) =  0 0 ... 0  ⇐⇒ A.[x]/(α) =  0 0 ... 0  (∗) Như vậy, x ∈ Kerf khi và chỉ khi tọa độ của x trong cơ sở (α) ([x]/(α))) là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (∗) (với A = Af/(α),(β) .) Từ đó, để tìm cơ sở của hạt nhân Kerf , ta làm như sau: Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở (α), (β) nào đó, A = Af/(α),(β) . Giải hệ phương trình A.  x1... xn  =  0... 0  (∗), tìm hệ nghiệm của hệ (∗). Tập tất cả các véctơ thuộc V sao cho tọa độ của véctơ đó trong cơ sở (α) là nghiệm cơ bản của hệ (∗) sẽ làm thành một cơ sở của Kerf . Trường hợp đặc biệt, nếu f : Rn → Rm là ánh xạ tuyến tính và A là ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc (A = Af/(n),(m)) thì hạt nhân của f chính là không gian con các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất A.  x1... xn  =  0... 0  và cơ sở của Kerf chính là hệ nghiệm cơ bản của hệ trên. Bạn đọc sẽ thấy rõ cách tìm Kerf qua phần bài tập. • Để tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính f : V → U ta dựa vào nhận xét sau: Nếu α1, . . . , αn là hệ sinh của V thì f(α1), . . . , f(αn) là hệ sinh của Imf . Thật vậy, với mọi y ∈ Imf , tồn tại x ∈ V để y = f(x). Vì x ∈ V nên tồn tại a1, . . . , an ∈ R để x = a1α1 + . . .+ anαn. Khi đó y = f(x) = f(a1α1 + . . .+ an) = a1f(α1) + . . .+ anf(α) Vậy, f(α1), . . . , f(αn) là hệ sinh của Imf . Như vậy, để tìm cơ sở của Imf , ta tìm cơ sở α1, . . . , αn của V , theo nhận xét trên, Imf = 〈f(α1), . . . , f(α)〉, do đó hệ con ĐLTT tối đại của hệ f(α1), . . . , f(αn) là cơ sở của Imf 5.3 Mối liên hệ giữa số chiều của hạt nhân và ảnh Định lý 5.1. Cho ánh xạ tuyến tính f : V → U . Khi đó, ta có: dimKer f +dim Im f = dimV Chứng minh. Giả sử dimV = n, dimKerf = k (k ≤ n) và giả sử α1, . . . , αk là cơ sở của Kerf . Vì α1, . . . , αk là hệ véctơ ĐLTT của V nên ta có thể bổ sung thêm n − k véctơ để được hệ α1, . . . , αk, αk+1, . . . , αn là cơ sở của V . Ta chứng minh f(αk+1), . . . , f(αn) là cơ sở của Imf . 6 Thật vậy, với mọi y ∈ Imf , tồn tại x ∈ V để f(x) = y, vì x ∈ V nên x = a1α1 + . . . + akαk + ak+1αk+1 + . . .+ anαn. Do đó, y = f(x) = a1f(α1)+ . . .+akf(αk)+ak+1f(αk+1)+ . . .+anf(αn) = ak+1f(αk+1)+ . . .+anf(αn) vì f(α1) = . . . = f(αk) = 0. Điều này chứng tỏ f(αk+1), . . . , f(αn) là hệ sinh của Imf . Bây giờ, giả sử ak+1f(αk+1) + . . .+ anf(αn) = 0 ⇒ f(ak+1αk+1 + . . .+ anαn) = 0 ⇒ ak+1αk+1 + . . .+ anαn ∈ Kerf ⇒ ak+1αk+1 + . . .+ anαn = a1α1 + . . .+ akαk (vì α1, . . . , αk là cơ sở của Kerf). Do đó −a1α1 − . . .− akαk + ak+1αk+1 + . . . + anαn = 0 suy ra ai = 0 với mọi i. Vậy f(αk+1), . . . , f(αn) là cơ sở ĐLTT do đó là cơ sở của Im f nên dim Im f = n − k. Ta có dimKer f + dim Im f = k + (n− k) = n = dimV . Số chiều của Im f còn được gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính f , ký hiệu là rank f . Số chiều của Ker f còn được gọi là số khuyết của ánh xạ tuyến tính f , ký hiệu là def(f). Như vậy, ta có: rank(f) = dim Im f, def(f) = dimKer f và rank(f) + def(f) = dimV 6 Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu 6.1 Các khái niệm cơ bản Cho U, V là các KGVT, và f : V → U là ánh xạ tuyến tính. Khi đó: • f gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh. • f gọi là toàn cấu nếu f là toàn ánh. • f gọi là đẳng cấu nếu f là song ánh. Từ định nghĩa, ta có ngay tích của các đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu lại là các đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Nếu f : V → U là một đẳng cấu thì f có ánh xạ ngược f−1 : U → V cũng là một đẳng cấu. Hai không gian véctơ U, V gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một đẳng cấu f : V → U . Dễ thấy rằng quan hệ đẳng cấu là quan hệ tương đương. 6.2 Các định lý về đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Định lý 6.1. Hai không gian véctơ V, U đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi dimV = dimU Định lý 6.2. Cho V, U là các không gian véctơ, dimV = dimU và f : V → U là ánh xạ tuyến tính. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (i) f là đơn cấu (ii) f là toàn cấu (iii) f là đẳng cấu 7 Định lý 6.3. Cho ánh xạ tuyến tính f : V → U . Khi đó: (i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker f = {0}, khi và chỉ khi dim Im f = dimV (ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f = U , khi và chỉ khi dim Im f = dimU . Nếu f : V → U là ánh xạ tuyến tính thì dim Im f = rank f = rankA, trong đó A là ma trận của f trong cặp cơ sở (α), (β) bất kỳ. Do đó, để kiểm tra xem f có là đơn cấu, toàn cấu hay không, ta tìm ma trận của f trong cặp cơ sở (α), (β) nào đó rồi tìm rankA. Nếu rankA = dimV thì f là đơn cấu, còn nếu rankA = dimU thì f là toàn cấu. 6.3 Sự đẳng cấu của không gian các ánh xạ tuyến tính và không gian các ma trận Ký hiệu Hom(V, U) là tập các ánh xạ tuyến tính f : V → U . Trong Hom(V, U) ta định nghĩa hai phép toán như sau: • Phép cộng: ∀f, g ∈ Hom(V, U), f + g : V −→ U x 7−→ (f + g)(x) = f(x) + g(x) • Phép nhân: ∀a ∈ R, f ∈ Hom(V, U), (af) : V −→ U x 7−→ (af)(x) = af(x) khi đó Hom(V, U) cùng với 2 phép toán trên làm thành một KGVT, gọi là không gian các ánh xạ tuyến tính từ V đến U . Điều thú vị là không gian Hom(V, U) đẳng cấu với không gian các ma trận nhờ đẳng cấu trong định lý sau: Định lý 6.4. Cho V, U là các KGVT, dimV = n, dimU = m và cho α1, . . . , αn (α), β1, . . . , βm (β) lần lượt là các cơ sở của V và U . Khi đó, ánh xạ: θ : Hom(V, U) −→ Mm,n(R) f 7−→ θ(f) = Af/(α),(β) là một đẳng cấu. Nhờ đẳng cấu này, việc nghiên cứu các ánh xạ tuyến tính dẫn đến việc nghiên cứu các ma trận và ngược lại. Bạn đọc sẽ thấy rõ phần này qua phần bài tập. 1 1Đánh máy: LÂM HỮU PHƯỚC, Ngày: 22/02/2006 8