Đại số cơ sở - Bài 4: Các bài toán kiểm tra nhóm con chuẩn tắc

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS Trần Huyên Ngày 23 tháng 11 năm 2004 Bài 4. Các Bài Toán Kiểm Tra Nhóm Con Chuẩn Tắc Một nhóm con A của nhóm X được gọi là nhóm con chuẩn tắc (hay ước chuẩn tắc) của X, nếu A thỏa thêm điều kiện: ∀x ∈ X, ∀a ∈ A thì xax−1 ∈ A (∗) ( hoặc x−1ax ∈ A) Điều kiện (∗) được gọi là điều kiện chuẩn tắc Vậy : A C X nếu A ⊂n X và A thỏa điều kiện chuẩn tắc. Và để kiểm tra A C X thì ta phải kiểm tra : • A là nhóm con của X và sau đó tiếp tục • Kiểm tra A thỏa điều kiện chuẩn tắc. Ví dụ 1. Cho nhóm X = {[ a b 0 c ] : ac 6= 0 } và A = {[ 1 b 0 c ] : c 6= 0 } Chứng minh rằng : A C X GIẢI: Hiển nhiên là A 6= ∅. Trước hết ta chứng minh A ⊂n X. Thật vậy: 1 • ∀ [ 1 b1 0 c1 ] , [ 1 b2 0 c2 ] ∈ A : [ 1 b1 0 c1 ] [ 1 b2 0 c2 ] = [ 1 b2 + b1c2 0 c1c2 ] với c1c2 6= 0, nên [ 1 b1 0 c1 ] [ 1 b2 0 c2 ] ∈ A. • ∀ [ 1 b 0 c ] ∈ A thì [ 1 b 0 c ]−1 = [ 1 −b/c 0 1/c ] ∈ A Theo tiêu chuẩn 2 về nhóm con ta có A ⊂n X Tiếp tục kiểm tra điều kiện chuẩn tắc: • ∀ [ a b 0 c ] ∈ X,∀ [ 1 b1 0 c1 ] ∈ A thì:[ a b 0 c ] [ 1 b1 0 c1 ] [ a b 0 c ]−1 = [ a b 0 c ] [ 1 b1 0 c1 ] [ 1/a −b/ac 0 1/c ] =[ 1 x 0 c1 ] ∈ A (với x = −b c + ab1 + bc2 c , tuy nhiên ở đây có thể ta không cần tính cụ thể x, vì đòi hỏi một ma trận thuộc A chỉ cần có số 1 ở góc trên bên trái và c1 6= 0). Vậy: A C X Ví dụ 2. Cho nhóm X = Z× Z = {(k1, k2) : k1, k2 ∈ Z} với phép toán hai ngôi: (k1, k2)(l1, l2) = (k1 + l1, k2 + (−1)k1l2) (đã kiểm tra X là nhóm trong ví dụ 1.§1) Chứng minh rằng nhóm con A sinh bởi phần tử a = (0, 1) là nhóm con chuẩn tắc của X. Phân tích ban đầu: Trong bài toán này giả thiết đã cho A là nhóm con . Vì vậy chỉ còn phải kiểm tra A thoả điều kiện chuẩn tắc. Tuy nhiên muốn làm điều đó thì phải biết được dạng tổng quát phần tử của A, tức trước hết phải mô tả tường minh các phần tử của A. GIẢI: Ta có: A == {an : n ∈ Z} với a = (0, 1) Trước hết ta chỉ ra (0, 1)n = (0, n) khi n > 0 theo qui nạp. Thật vậy: Với n = 1 thì (0, 1)1 = (0, 1) Giả sử (0, 1)n−1 = (0, n− 1) với n ≥ 2 Khi đó: (0, 1)n = (0, n− 1)(0, 1) = (0 + 0, n− 1 + (−1)01) = (0, n) Vậy: (0, 1)n = (0, n) với mọi n > 0 Với n 0 nên: (0, 1)n = [(0, 1)−n]−1 = (0,−n)−1 = (0, (−1)0+1(−n)) = (0, n) Cuối cùng: (0, 1)0 = (0, 0). Vậy: A = {(0, 1)n : n ∈ Z} = {(0, n) : n ∈ Z} Bây giờ ta kiểm tra A thỏa điều kiện chuẩn tắc: ∀(k1, k2) ∈ X, ∀(0, n) ∈ A: 2 (k1, k2)(0, n)(k1, k2) −1 = (k1, k2)(0, n)(−k1, (−1)k1+1k2) = (0,m) ∈ A (với m = (−1)k1n; tuy nhiên giá trị m có thể không phải tính cụ thể vì đòi hỏi phần tử thuộc A chỉ cần thành phần đầu bằng 0 là đủ !) Kết luận: A C X Ví dụ 3. Cho nhóm X như ví dụ 2, và cho tập B = {(n, 0) : n ∈ Z} ⊂ X Chứng minh rằng B là nhóm con không chuẩn tắc của X. GIẢI: Để kiểm tra B ⊂n X, ta có thể dùng tiêu chuẩn 2 • ∀(n, 0), (m, 0) ∈ B ta có: (n, 0)(m, 0) = (n+m, 0) ∈ B • ∀(n, 0) ∈ B : (n, 0)−1 = (−n, 0) ∈ B Vậy B ⊂n X Để chỉ ra B không thỏa điều kiện chuẩn tắc ta chỉ ra tồn tại các phần tử (1, 1) ∈ X và (1, 0) ∈ B mà: (1, 1)(1, 0)(1, 1)−1 = (1 + 1, 1)(−1, 1) = (1, 1 + (−1)21) = (1, 2) /∈ B Vậy : B là nhóm con không chuẩn tắc của X. Khái niệm nhóm con chuẩn tắc còn có thể được định nghĩa nhờ vào các lớp ghép trái và lớp ghép phải Ta nhắc lại các khái niệm lớp ghép theo nhóm con để dùng cho các ví dụ tiếp theo. Cho nhóm X, A ⊂n X và x ∈ X. Khi đó: - Lớp ghép trái xA = {xa : a ∈ A} - Lớp ghép phải Ax = {ax : a ∈ A}. Về mối quan hệ giữa các lớp ghép theo nhóm con ta có vài kết quả cần ghi nhớ để sử dụng: • Nếu y ∈ xA thì yA = xA. • Hai lớp ghép xA và yA thì hoặc xA ∩ yA = ∅ hoặc xA ≡ yA. Khái niệm nhóm con chuẩn tắc định nghĩa trên cơ sở các lớp ghép là : ” Nhóm con A ⊂n X là nhóm con chuẩn tắc của X nếu với mọi x ∈ X thì xA = Ax”. Hiển nhiên là định nghĩa mới này hoàn toàn tương đương với định nghĩa ban đầu, độc giả có thể xem các chứng minh trong các tài liệu về đại số đại cương, ở đây ta chỉ nhắc lại để sử dụng. Ví dụ 4. Cho nhóm X và các nhóm con chuẩn tắc của X là A,B. Chứng minh AB = BA và AB C X GIẢI: Ta có AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B} = ⋃ a∈A {ab : b ∈ B} = ⋃ a∈A aB = ⋃ a∈A Ba = ⋃ a∈A {ba : b ∈ B} = BA Để chứng minh AB C X, truớc hết ta cần chỉ ra AB ⊂n X 3 Hiển nhiên AB 6= ∅ và để kiểm tra AB ⊂n X ta dùng tiêu chuẩn 3: ∀a1b1, a2b2 ∈ AB thì (a1b1)(a2b2) −1 = a1(b1b−12 )a −1 2 = a1a −1 2 b ∈ AB (do b1b −1 2 a −1 2 ∈ Ba−12 = a−12 B nên ∃b ∈ B mà b1b−12 a−12 = a−12 b). Cuối cùng với ∀x ∈ X: x(AB) = (xA)B = (Ax)B = A(xB) = A(Bx) = (AB)x Vậy: AB C X Nhận xét 1: Để chứng minh AB = BA và AB ⊂n ta chỉ cần sử dụng tính chuẩn tắc của một nhóm con B (hoặc A) là đủ. Nhận xét 2: Ví dụ này hoàn toàn có thể giải bằng định nghĩa ban đầu, tuy nhiên định nghĩa mới giúp ta tiết kiệm ngôn ngữ trình bày hơn. Ví dụ 5. Cho nhóm X và A ⊂n X sao cho tập thương X/A = {xA : x ∈ X} chỉ gồm có hai lớp ghép trái. Chứng minh rằng A C X. GIẢI: Theo giả thiết của bài toán ta có: X = A ∪ (X \ A) trong đó lớp ghép trái X \ A = xA với bất kì x /∈ A. Ta chứng minh A thỏa điều kiện chuẩn tắc: - Nếu x ∈ A và a ∈ A thì hiển nhiên xax−1 ∈ A - Nếu x /∈ A và a ∈ A mà xax−1 /∈ A, tức xax−1 ∈ x \ A Suy ra: ax−1 ∈ A, do đó x−1 ∈ A và x ∈ A. Điều vô lí này chứng tỏ xax−1 ∈ A. Vậy ∀x ∈ X,∀a ∈ A : xax−1 ∈ A, tức A C X 4 BÀI TẬP 1. Trong nhóm X = {[ a b 0 c ] : ac 6= 0 } , chứng minh các bộ phận B = {[ a b 0 1 ] : a 6= 0 } và C = {[ 1 b 0 1 ] : b ∈ R } là các nhóm con chuẩn tắc. 2. Cho nhóm X. Ta gọi tâm của nhóm X là C(X) = {a ∈ X : ax = xa, ∀x ∈ X} Chứng minh C(X) C X. 3. Trong nhóm nhân M∗n _ các ma trận vuông cấp n không suy biến, chứng minh rằng các bộ phận sau là các nhóm con chuẩn tắc: (a) M1n = {A ∈M∗n : detA = 1} (b) M±1n = {A ∈M∗n : detA2 = 1} (c) M+n = {A ∈M∗n : detA > 0} 4. Cho X là nhóm và x, y ∈ X. Hoán tử của x và y là [x, y] = x−1y−1xy. Gọi A là nhóm con của X được sinh bởi tập tất cả các hoán tử [x, y] với mọi cặp x, y ∈ X. Chứng minh A C X. 5. Cho X là nhóm, A C X và B ⊂n X. Chứng minh AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B} là một nhóm con của X. 6. Trong nhóm S4 _ các phép thế bậc 4 cho tập K = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} trong đó e là phép thế đồng nhất. Chứng minh rằng K C S4 5