Đáp án đề cương ôn tập môn Toán 9 học kỳ II năm 2008- 2009

I. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH a) Vậy hệ phương trình có nghiệm b) c) Vậy hệ phương trình vô nghiệm d) Vậy hệ phương trình vô nghiệm e) (1) Đặt Ta có: ( 1 ) Suy ra Vậy hệ phương trình có nghiệm f) (2) Đăt x2 = t Ta có (2) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: ; h) (3) * Trường hợp Ta có: Ta có: (3) (Thoả mãn điều kiện) * Trường hợp: y < 0 Ta có: Ta có: (3) Vậy hệ phương trình có nghiệm II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PT BẬC HAI a) b) c) d) e) f) Vậy phương trình vô nghiệm (Vì g) Vậy tập nghiệm của phương trình: h) i) Ta có: Phương trình có hai nghiệm: j) Ta có: Phương trình có hai nghiệm: k) Ta có: Phương trình có hai nghiệm: l) Ta có: Phương trình có hai nghiệm: m) Ta có: Phương trình có hai nghiệm: n) Phương trình có nghiệm kép x = 3 o) Ta có: Phương trình có hai nghiệm: p) Ta có: Phương trình có hai nghiệm: q) r) (1) Đặt Ta có: (1) (2) Phương trình (2) có hai nghiệm: Phương trình có hai nghiệm: s) (1) Điều kiện: Ta có: Phương trình (2) có hai nghiệm: Vậy Phương trình (1) có hai nghiệm: t) (1) Điều kiện: Ta có: Phương trình (2) có hai nghiệm: Vậy phương trình (1) có một nghiệm x = -5 u) (1) Điều kiện: Ta có: Theo định lí Vi-ét ta có: Phương trình (2) có hai nghiệm: Vậy phương trình (1) có một nghiệm x = 2 v) (1) Điều kiện: Phương trình (2) có hai nghiệm: Vậy phương trình (1) có hai nghiệm: ; III. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI a) (1) Ta có: * Nếu Thì phương trình (1) có nghiệm kép: * Nếu Thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: * Nếu Thì phương trình (1) vô nghiệm b) (1) Xét trường hợp: Ta có: (1) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Xét trường hợp: * Nếu Thì phương trình (1) có nghiệm kép: * Nếu Thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: * Nếu Thì phương trình (1) vô nghiệm Tóm lai: + Khi thì phương trình (1) vô nghiệm + Khi thì phương trìmh (1) có nghiệm kép: + Khi thì phương trình (1) có hai nghiệm + Khi thì phương trình (1) có hai nghiệm: c) Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt: IV. VẬN DUNG HỆ THỨC VI-ÉT TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC THEO CÁC NGHIỆM Bài 1: Ta có: Phương trình (1) có hai nghiệm Goi là nghiệm của pt cần tìm Theo định lý Vi–ét, ta có: Ta có: Do đó: Vậy là nghiệm của phương trình: Bài 2: a) Ta có: Xét phương trình Phương trình (2) vô nghiệm. Do đó: Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt Cách 2: Ta có: Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt b) Thay x = –4 vào (1) ta được: Phương trình (3) có hai nghiệm: * Thay vào (1) ta đuợc: Phương trình (4) có hai nghiệm: Thay vào (1) ta đuợc: Phương trình (5) có hai nghiệm: Vậy phương trình có nghiệm x = – 4 khi m=2 và nghiệm kia là x = 5 Hoặc phương trình (1) có nghiệm x = – 4 khi m = – 10 và nghiệm kia là x = 29 c) Áp dụng định lý Vi – ét vào (1). Ta có: Mà Do đó, Ta có: 5 – 2m = –11 Thay m = 8 vào (*) ta đựoc: là nghiệm của phương trình: Phương trình (6) có 2 nghiệm: Vậy phương trình có tổng hai nghiệm bằng –11 khi m = 8 .Hai nghiệm đó là: Bài 3: . a) Ta có: Vậy phương trình có hainghiệm phân biệt . b) Theo định lý Vi – ét, ta có: Ta có: Mà Do đó: Bài 4: a) Phương trình (1) có nghiệm: b) Với Theo định lý Vi –ét, ta có: Do đó, ta có hệ phương trình: Suy ra: 3.1 = m +1 Vậy phương trình có hai nghiệm thoả mãnkhi m = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm thoả mãn khi m = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm thoả mãn khi m = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm thoả mãn khi m = 3 hoặc m = – 5 Do đó: Không tồn tại giá trị của m để : Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn Bài 5: Ta c ó: a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt b)Phương trình có nghiệm kép c) Phương trình vô nghiệm d) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu e) Phương trình có hai nghiệm trái dấu. f) Phương trình có hai nghiệm dương g) Phương trình có hai nghiệm âm. h) Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà giá trị tuyệt đối của nghiệm âm lớn hơn nghiệm dương Bài 6: a) Thay m = 2 vào phương trình (1) ta được Đặt Ta có: pt (2) Phương trình (3) có hai nghiệm: * Với Vậy khi m = 2 phương trình (1) có 4 nghiệm: b) Đặt Ta có: (1) Theo định lý Vi – ét, ta có: Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt dương Vậy khi m > 0 thì pt (1) có 4 nghiệm phân biệt V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG (d) VÀ PARAPOL (P) Bài 1: b) Phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: Ta có: Vậy (P) và (d) cắt nhau tại một điểm duy nhất. c) Hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là nghiệm của phương trình (1) Tung độ giao điểm của (P) và (d) là: y = x2 = 12=1 Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là:A( 1;1) Bài 2: (d): y = ax + b a) Ta có: (d) đi qua A( –1; 3) (d) đi qua B(2 ;0) Do đó, ta có hệ phương trình: Do đó: (d) : y = 3x + 6 b) Hòanh độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: mx2 = 3x + 6 (P) tiếp xúc với (d) Thay vào (1). Ta có: Tung độ giao điểm của (P) và (d) là: y = 18 Vậy toạ độ giao điểm tiếp xúc của (P) và (d) là: C( 4; 18) Bài 3: b) Phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: Ta có: (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B Vậy khi thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B Thay m = 2 vào phương trình (1), ta được: Ta có: Phương trình (2) có hai nghiệm: Tung độ giao điểm của (P) và (d) là: Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là:A( 1;1) B( – 2; 4) c) (d) tiếp xúc với (P) Bài 4: a) Ta có: (P) đi qua điểm A( 2; 1) Do đó: (P): b) Phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: Ta có: (d) không cắt (P) c)Ta có: (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt d) Ta có: (d) cắt (P) tại một điểm duy nhất e) Ta có: (d) tiếp xúc với (P) khi m = – 4 Thay m = – 4 vào phương trình (1), ta được: Tung độ giao điểm của (d) và (P) là: y = Vậy toạ giao điểm tiếp xúc của (P) và (d) là: A( 2; 1) f) Ta có: (P) và (d) có ít nhất một điểm chung g) Thay m = – 3 vào phương trình (1), ta được: Phương trình (2) có hai nghiệm: Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: Tung độ giao điểm của (d) và (P) là: Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là: Bài 5: a) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: Ta có: Thay m = vào (1), ta được: Phương trình (2) có 2 nghiệm: Tung độ giao điểm của (d) và (P) là: Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = là: b) Ta có: (P) và (d) có ít nhất một điểm chung Bài 6: a) Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Vậy toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d) là: A( –1; 1) , B( 2; 4) c) Ta có: AH xx’; BK x’x AH // BK Suy ra tứ giác AHBK là hình thang vuông Ta có: HK = Ta có: Bài 7: (P): y = ax2 a) Ta có:(P) qua A(1; –1) Vậy (P): y = – x2 b) Ta có: B (P). Do đó: Tung độ của B là: y = – (–2)2 = – 4. Vậy B(–2;– 4) Gọi đường thẳng AB có dạng (d’): y =x + b Ta có: A(1; –1) (d’) Ta có: B(–2; –4) (d’) Ta có hệ phương trình: Vậy phương trình đường thẳng AB là: (d’): y = x –2 Hay (d’): x – y –2 = 0 * Ta có: D thuộc trục tung. Do đó: Mà D (d’): y = x –2 y = –2 Vậy tọa giao điểm D của đường thẳng AB và trục tung là D(0; –2) c) Gọi đường thẳng qua O và song song với AB có dạng: (d) y = ax + b Ta có: (d) đi qua O(0;0) nên b = 0 Suy ra (d): y = ax Mà (d) // (d’)Do đó: a = 1 Vậy (d): y = x Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P) là nghiệm của phương trình: –x2 = x Mà C khác O, Do đó: Tung độ giao điểm của (d) và (P) là: Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P) là: C( –1; –1) VI. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁH LẬP HEÄ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Gọi số sách của giá thứ nhất và giá thứ hai lần lượt là x và y (Cuốn) (x,y) Số sách ở giá thứ nhất sau khi chuyển là: x –50 (Cuốn) Số sách ở giá thứ nhất sau khi chuyển là: y + 50 (Cuốn) Vì hai giá sách có 450 cuốn nên ta có phương trình: x + y = 450 Vì sau khi chuyện sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai bằng số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình: y + 50 = ( x –50 ) Do đó, ta có hệ phương trình: Vậy số sách lúc đầu ở giá thứ nhất và thứ hai lần lượt là 300 (Cuốn) và 150 (Cuốn) Bài 2: Gọi vận tốc của người đi xe đạp lúc lên dốc và lúc xuống dốc lần lượt là: x và y ( Km/h) ( x,y >0 ) Thời gian người đi xe đạp đi từ A đến B là: (Km/h) Thời gian người đi xe đạp đi từ A đến B là: (Km/h) Ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình ta được: Vậy vận tốc của người đi xe đạp lúc lên dốc và lúc xuống dốc lần lượt là:(Km/h) và ( Km/h) Bài 3:Gọi vận tốc của ôtô là x (Km/h)( x > 0 ) Gọi thời gian của ôtô là y (h) ( y > 0 ) Quãng đường AB là: x.y (Km/h ) Giả thuyết 1: Tăng vận tốc 20 Km/h: x + 20 ( Km/h ) Thời gian giảm 1 giờ: y – 1 (h) Giả thuyết 2: Giảm vận tốc 10 Km/h : x – 10 ( Km/ h ) Thời gian tăng 1 giờ: y + 1 (h) Quãng đường ôtô đi được theo giả thuyết 1: ( x + 20 )( y – 1) = xy Quãng đường ôtô đi được theo giả thuyết 2: ( x – 10 )( y + 1) = xy Ta có hệ phương trình: Vậy vận tốc của ôtô là 40 (Km/h), thời gian của ôtô là 3 (Km/h) Bài 4:Ta có: 1 giờ 40 phút = ( h) Gọi vận tốc của ca nô xuôi dòng và vận tốc của ca nô ngược dòng lần lượt là: x (Km/h) và y (Km/h) ( x > 9, y > 3 ) Vì vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngược dòng là 9 Km/h nên ta có phương trình: x – y = 9 (1) Quãng đường ca nô xuôi dòng đi được là: (Km) Quãng đường ca nô ngược dòng đi được là: (Km) Vì hai ca nô cùng khởi hành từ hai địa điểm A và B cách nhau 85 Km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau (h) nên ta có phương trình: Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Vậy vận tốc thực của ca nô xuôi dòng là: 30 – 3 = 27 (Km/h) Vận tốc thực của ca nô ngược dòng là: 21 + 3 = 24 (Km/h) Bài 5: Gọi vận tốc của người đi từ A và B lần lượt là: x (Km/h) và y (Km/h) ( x, y > 0 ) * Khi đi cùng chiều: Quãng đường người đi từ A là: 6x (Km/h) Quãng đường người đi từ B là: 6y (Km/h) Vì A và B cáh nhau 120 Km và hai người gặp nhau sau 6 giờ nên ta có phương trình: 6x – 120 = 6y * Khi đi ngược chiều: Quãng đường người đi từ A là: 2x (Km/h) Quãng đường người đi từ B là: 2y (Km/h) Vì A và B cáh nhau 120 Km và hai người gặp nhau sau 2 giờ nên ta có phương trình: 2x + 2y = 120 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Vậy vận tốc của người đi từ A và B lần lượt là: 40 (Km/h) và 20 (Km/h) Bài 7: Gọi số chi tiết máy trong tháng giêng của tổ thứ nhất và tổ thứ hai sản xuất được lần lượt là x (Chi tiết) và y (Chi tiết) ( x, y > 0, x, y ) Vì trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy nên ta có phương trình: x + y = 720 (1) Trong tháng 2, số chi tiết máy tổ thứ nhất vượt mức là: ( Chi tiết ) Trong tháng 2, số chi tiết máy tổ thứ hai vượt mức là: ( Chi tiết ) Trong tháng 2,số chi tiết máy của hai tổ vượt mức là: 819 – 720 = 99 ( Chi tiết ) Do đó, ta có pt: Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Vậy số chi tiết máy trong tháng giêng của tổ thứ nhất và tổ thứ hai sản xuất được lần lượt là 420 (Chi tiết) và 300 (Chi tiết) Bài 8: Gọi số phần việc đội A và đội B làm được trong một ngày lần lượt là x (Công việc) và y (Công việc) (x, y >0 ) Năng suất cả hai đội dự định làm trong một ngày là: x + y = (Công việc) (1) Năng suất hai đội làm việc trong 8 ngày là: 8x +8y (Công việc) Năng suất dội hai làm việc còn lại trong 3 ngày là: 3.2x = 6x (Công việc) Theo đề ta có phương trình: 8x + 8y +6x = 1 Hay 14x + 8y = 1 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Thời gian đội A làm một mình để hoàn thành công việc là: (Ngày) Thời gian đội B làm một mình để hoàn thành công việc là: (Ngày) VII. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Bài 1: Gọi số học sinh của lớp 9A là x (Học sinh) Số kilogram giấy vụn mỗi HS nhặt được theo chỉ tiêu là: (Kg) Số HS thực tế phải nhặt là: (Học sinh) Tổng số giấy vụn thực tế phải nhặt là: 105 + 19 = 124 ( Kg) Số giấy vụn mỗi học sinh nhặt theo thực tế là: (Kg) Vì mỗi bạn góp nhiều hơn chỉ tiêu là 1 Kg Nên ta có phương trình: Vậy số học sinh của lớp 9A là 35 (Học sinh) Bài 2: Ta có: 3 giờ 30 phút = (h) Gọi vận tốc dòng nước là x (Km/h) (x > 0) Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng là: 20 + x (Km/h) Vận tốc ca nô lúc ngược dòng là: 20 – x (Km/h) Thời gian ca nô đã đi lúc xuôi dòng là: (h) Thời gian ca nô đã đi lúc ngược dòng là: (h) Vì ca nô xuôi dòng và ngược dòng là (h) Nên ta có phương trình: Vậy vận tốc dòng nước là: 2 (Km/h) hoặc (Km/ Bài 3: Gọi vận tốc ca nô lúc ngược dòng là: x (Km/h) (0 < x 9) Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng là: x + 6 (Km/h) Thời gian ca nô ngược dòng là: (Km/h) Thời gian ca nô xuôi dòng là: (Km/h) Vì thời gian ca nô lúc xuôi dòng nhiều hơn thời gian ca nô lúc ngược dòng là 2 giờ nên ta có phương trình: Vậy vận tốc ca nô lúc ngược dòng là:9 (Km/h) Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng là:15 (Km/h) Bài 4: Gọi vận tốc của người đi xe đạp là: x (Km/h) ( x > 0) Vận tốc của người đi mô tô là: x + 40(Km/h) Thời gian người đi xe đạp hết quãng đường AB là: (h) Thời gian người đi mô tô hết quãng đường AB là: (h) Vì người đi xe đạp đi trước người đi mô tô 1 giờ nên ta có phương trình: Vậy vận tốc của người đi xe đạp là: 10 (Km/h) Vận tốc của người đi mô tô là: 50 (Km/h) Bài 5: Gọi vận tốc của người đi xe đạp là: x (Km/h) ( x > 0) Vận tốc của người đi ô tô là: x + 25 (Km/h) Thời gian người đi xe đạp hết quãng đường AB là: (h) Thời gian người đi ô tô sau khi đi được 12 Km từ A đến B là: (h) Thời gian người đi ô tô từ B về A là:(h) Tổng thời gian người đi ôtô đã đi ( cùng lúc xe đạp xuất phát) là: (h) Hay (h) Vì ôtô đến A sớm hơn xe đạp 30 phút = Nên ta có phương trình: Vậy vận tốc của người đi xe đạp là: 15(Km/h), vận tốc của người đi ô tô là: 40 (Km/h) Bài 6: Gọi vận tốc lúc đầu của người đi xe đạp là x (Km/h) ( x > 0 ) Thời gian người đi xe đạp dự định đi hết quãng đường AB là: (h) Quãng đường người đi xe đap đi được trong 1 giờ là: 1.x = x (Km/h) Vận tốc của người đi xe đạp sau khi đã đi 1 giờ là: x – 2 ( Km/h) Quãng đường còn lại sau khi người đi xe đạp đi được 1 giờ là: 20 – x ( Km) Thời gian thực tế người đi xe đạp đi hết quãng đường AB là: Vì người đi xe đạp đến B chậm hơn dự định 15 phút = nên ta có phương trình: Vậy vận tốc lúc đầu của người đi xe đạp là: 10 (Km/h PHẦN HÌNH HỌC Bài 1: a) Xét ( O; ) có: EN AB (gt) MA = MB ( Định lý liên hệ giữa đkính- cung và dây) Mà ME = MN (gt) Do đó: AEBN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hbhành) Mặt khác: EN AB (gt) Do đó: AEBN là hình thoi ( Dấu hiệu nhận biết hình thoi) b) Xét ( O’; ) có: ( Góc nội tiếp chắn nửa đtròn) Suy ra: Mà M, K cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ BF Do đó: Tứ giác MBFK nội tiếp đtròn đkính BF ( Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đtròn) c) Xét ( O; ) có: Ta có: EN = Diện Tích quạt tròn OenA là: Bài 2: a) Xét nửa ( O; ) có: (Góc nội tiếp chắn nửa đtròn đkính CH) Xét nửa ( O’; ) có: (Góc nội tiếp chắn nửa đtròn đkính AH) Xét tứ giác BMNH có: Suy ra: BMNH là hình chữ nhật ( Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) b) Ta có: Xét nửa ( O; ) có: Do đó: Suy ra: Tứ giác CMNA nội tiếp được đtròn ( Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) c) Xét hai tam giác vuông: có: Do đó: ( g – g ) d) Xét nửa ( O; ) có: Ta có: OC = CH = .8 = 4 (cm) Diện tích hình quạt COM là: Bài 3: a) Ta có: AB CD (gt) Mà d // CD (gt). Do đó: d AB (Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song) Ta có: ( Định lý cơ bản của tia tiếp tuyến ) Suy ra: Mà E, F cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ IO Do đó: Tứ giác OEFI nội tiếp đtròn đkính IO ( Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đtròn) b) Ta có: d // CD (gt) ( Cặp góc đồng vị ) Ta có: OC = OF = R Mặt khác: ( Hai góc nội tiếp cùng chắn ) Do đó: Suy ra: CF // OI ( Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) Xét tứ giác OIEC có: EI // CO ( gt ); CE // OI ( cmt ) Do đó: Tứ giác OIEC là hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết hình bình hành) c) Xét ( O; R) có: Xét có: OF = OD = R , Suy ra: đều Ta có: OD = CD = .10 = 5 (cm) Diện tích đều cạnh OD = 5cm là: Diện tích hình quạt FOD là: Vậy diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây FD và là: Sviên phân = Squạt FOD – SFOD = d) Ta có: CEIO là hình bình hành (cmt) EI = CO = OD Mà EI // OD (cmt). Do đó: DIEO là hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết hình bình hành) Mặt khác: (gt) Vậy DIEO là hình chữ nhật ( Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật ) Suy ra: DI OD Vẽ hai tiếp tuyến Ay và Bz với (O) cắt đường thẳng DI lần lượt tại M và N Vì E di chuyển trên AB nên: Khi E A thì F A, I M Khi E B thì F B, I N Vậy khi E di chuyển trên AB thì I di chuyển trên đoạn MN và cách AO một khoảng bằng R Bài 4: a) Xét tứ giác AEHF có: Suy ra: Tứ giác AEHF nội tiếp đtròn đkính AH ( Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) Ta có: I là tâm của đtròn ngoại tiếp tứ giác AEHF Suy ra: I là trung điểm của AH b) Xét cân tại A có: AG là đường cao (gt) Suy ra: AG là phân giác của ( tính chất tam giác cân) Xét hai tam giác vuông: có: Do đó: ( g – g ) c) Xét tứ giác ABGE có: Mà: E và G cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là AB Do đó: Tứ giác ABGE nội tiếp đtròn đkính AB ( Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) ( Hai góc nội tiếp cùng chắn ) Mà: ( AG là phân giác ) Do đó: Ta có: . Do đó: Mà EI là bán kính của ( I; ). Do đó: GE là tiếp tuyến của ( I;) d) Xét ( I; ) có: Ta có: IE = 2 (cm) Diện tích hình quạt IFHE là: Bài 5: a) Ta có: ( Vì ngoại tiếp ( O; R) ) Suy ra: Tứ giác BDOE nội tiếp đtròn đkính OB ( Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) b) Ta có: đều ngoại tiếp ( O; R) O là trọng tâm Gọi F là tiếp điểm trên cạnh AC OF = OI = ( T/c ba đường trung tuyến trong tam giác) Do đó: BI = . Suy ra: IO = IB. Vậy I là tâm đtròn ngoại tiếp tứ giác BDOE. c) Ta có: BO = 2.IO = 2R = 2.2 = 4 (cm); OD = R = 2 (cm) Xét vuông tại D có: ( Định lý Pytago) Diện tích hình tròn (O; R) là: S1 = Diện tích đều cạnh AB = là: S2 = Ta có: O là trọng tâm . Do đó: SBDOE = SADOF = SCFOE Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đoạn thẳng BD, BE và là: Bài 6: a) Ta có: ( Tính chất cơ bản của tiếp tuyến) . Do đó: Tứ giác ABOC nội tiếp đtròn đkính OA ( Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) b) Xét (O; R ) có: ( Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ) Xét và có: , là góc chung Do đó: ( g – g) (1) Xét vuông tại C có: ( Định lý Pytago) (2) Từ (1) và (2) suy ra: AD.AE = OA2 – R2 c) Ta có: Tứ giác ABOC nội tiếp đtròn đkính OA (cmt) ( Định lý tứ giác nội tiếp ) ( Định nghĩa số đo cung ) Diện tích hình quạt OBC là: ( đvdt) Bài 7: a) Xét nửa ( O; ) có:( Góc nội tiếp chắn nửađtròn đkính AB ) Suy ra: Tứ giác ECFD nội tiếp đtròn đkính EF ( Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp ) Hay bốn diểm E, C, F, D cùng thuộc một đtròn b) Xét đtròn đkính EF có: ( Hệ quả góc nội tiếp ). Xét nửa ( O; ) có: ( Hệ quả góc nội tiếp ) Suy ra: (đpcm) Bài 8: a)* Xét nửa ( O; ) có: ; ( Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) Mà .Do đó: Hay BE là phân giác (1) Ta có: ( Góc nội tiếp chắn nửa đtròn đkính AB) Hay BE là đường cao trong (2) Từ (1) và (2) suy ra: cân tại B ( Tính chất tam giác cân ) * Xét cân tại B có: BE là đường phân giác. Do đó: BE là đường trung tuyến của (Tính chất tam giác cân ) Suy ra: EA = ED Mà OA = OB = R(O) . Do đó: OE là đường trung bình của OE // BD b) * Xét có: (cmt) Ta có: ( Góc nội tiếp chắn nửa đtròn đkính AB) Mà . Do đó: I là trực tâm Vậy: ( Tính chất ba đường cao trong tam giác ) * Ta có: Ax AB ( Tính chất cơ bản của tiếp tuyến ) Mà ( cmt ) Do đó: DI // Ax ( Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song ) c) Ta có: BD = BA ( Không đổi ) (gt) Mà B cố định. Do đó: D thuộc ( B; BA ) Qua B vẽ tia tiếp tuyến By với nửa (O), cắt (B; BA) tại F Vì C di chuyển trên nửa (O; ) nên: Khi C A thì D A ; Khi C B thì D F Vậy khi C di chuyển trên nửa (O; ) thì D di chuyển trên đường tròn (B; BA) Hay D di chuyển trên Bài 9: a) Xét ( O) có: ( Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ) Xét (O’) có: ( Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ) Ta có: BC BO, BC CO’(BC là tiếp tuyến chung của (O), (O’)) BO // CO’ ( Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song ) ( Cặp góc trong cùng phía ) Do đó: Suy ra: Vậy vuông tại A b) Ta có: MB và MA là hai tiếp tuyến của (O) Ta có: MC và MA là hai tiếp tuyến của (O) Từ (1), (2) kết hợp với là hai góc kề bù suy ra: OM O’M c) Ta có: MB = MA (cmt) Mà OB = OA = R(O). Do đó: MO là đường trung trực của AB MO AB Xét tứ giác MEAF có: Suy ra: MEAF là hình chữ nhật ( Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật ) Bài 10: a) Ta có: ( Góc nội tiếp chắn nửa đtròn ) Do đó: Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Xét (O) có: ( Góc nội tiếp chắn nửa đtròn đkính AC) CM MN (1) Xét (O) có: ( Góc nội tiếp chắn nửa đtròn đkính AD) CM MN (2) Từ (1) và (2) suy ra: CM // DN CMND là hình thang Mà (cmt). Do đó: CMND là hình thang vuông c) Xét hình thang vuông CMND có: PM = PN, QC = QD (gt) PQ là đường trung bình của hình thang vuông CMND PQ MN Hay Xét tứ giác APQB có: Suy ra: Tứ giác APQB nội tiếp đtròn đkính AQ ( Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đtròn) Hay bốn điểm A, P, Q, B cùng thuộc đtròn đkính AQ Bài 11: a) Xét có: OA = OB = R; CA = CD (gt) Suy ra: OC là đường trung bình của OC // BD ( Cặp góc so le trong ) (1) Ta có: OB = OC = R Suy ra: cân tại O (2) Từ (1) và (2) suy ra: Hay BC là phân giác của Xét có: BC vừa là phân giác của , vừa là đường trung tuyến ( CA = CD ) Do đó: cân tại B ( Tính chất tam giác cân ) b) Ta có: (gt) Suy ra: nội tiếp đtròn đkính EC Mà A, C, E (O). Do đó: CE là đkính (O) Hay C, O, E thẳng hàng c) Xét có: OA = OB = R, EA = EF (gt) Suy ra: OE là đường trung bình của OE // FB Hay CE // FB Mà CE // BD (cmt). Do đó: F, B, D thẳng hàng ( Tiên đề Ơclíc ) Bài 12: a) Ta có: ( Góc nội tiếp chắn nửa đtròn đkính CD) Do đó: vuông tại E Ta có: AE và AC là hai tiếp tuyến của nửa đtròn (O) AE = AC và OA là phân giác của (T/c hai ttuyến cắt nhau) Ta có: BE và BD là hai tiếp tuyến của nửa đtròn (O) BE = BD và OB là phân giác của (T/c hai ttuyến cắt nhau) Mà Do đó: AO BO ( Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù ) Vậy vuông tại O b) Ta có: AB = AE + EB Mà: AE = AC, BE = BD (cmt). Do đó: AB = AC + BD c) Gọi H là hình chiếu của E trên CD. Qua C vẽ CF // AB ( F BD) Ta có: CA, BD là tiếp tuyến của nửa (O) AC CD, BD CD AC // BD Do đó: ACFB là hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết hình bình hành ) AB = CF Mà: AB = AC + BD (cmt), CF CD = 2R ( Vì BD CD ) Do đó: AC + BD 2R Dấu “ = “ xảy ra Vậy AC + BD nhỏ nhất khi E là trung điểm của nửa đtròn (O) d) Xét vuông tại E có:(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) Mà cân ( BD = BE ) Do đó: đều. Bài 13: a)Ta có:( Góc nội tiếp chắn nửa đtròn đkính AB) Do đó: vuông tại P Ta có: MA và MP là hai tiếp tuyến của nửa đtròn (O) MA=MP và OM là phân giác của (T/c hai ttuyến cắt nhau) Ta có: NB và NP là hai tiếp tuyến của nửa đtròn (O) NB = NP và ON là phân giác của (T/c hai ttuyến cắt nhau) Mà Do đó: MO NO (Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù ) Vậy vuông tại O Xét tứ giác AMPO có: ( MA, MP là hai tiếp tuyến của nửa (O)) Do đó: Tứ giác AMPO nội tiếp đtròn đkính MO. Suy ra ( Hai góc nội tiếp cùng chắn ) Xét hai tam giac vuông: và có: (cmt) Do đó: (g – g) b) Xét vuông tại O có PO MN Suy ra PO2 = MP.NP ( Hệ thức giữa đường cao và các hình chiếu) Mà: MA = MA, NP = NB (cmt). Do đó: AM.BN = R2 c) Gọi Q là trung điểm của MN Ta có: AM.BN = R2 (cmt) Mà AM = . Do đó: BN = 2R Xét tứ giác AMNB có: MA AB, NB AB suy ra: MA // NB Do đó: AMNB là hình thang Ta có: QM = QN , OA = OB. Suy ra OQ là đường trung bình của hình thang AMNB Ta có: d) Khi quay nửa hình tròn APB quanh trục AB ta được một hình cầu có đường kính mặt cầu là AB = 2R Thể tích của hình cầu là: VCầu =