Dạy giải bài tập về Véc tơ trong Hình học lớp 10

Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 1 KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV : Giáo viên HS : Học sinh HH : Hình học PPVT : Phương pháp véc tơ SGK, SBT : Sách giáo khoa,sách bài tập THPT : Trung học phổ thông Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 2 MỤC LỤC A. MỞ ðẦU ...................................................................................................... 3 1. Lý do chọn ñề tài ........................................................................................ 3 2. Nhiệm vụ của ñề tài.................................................................................... 4 3. ðối tượng nghiên cứu................................................................................. 4 4. Phạm vi nghiên cứu.................................................................................... 4 B. NỘI DUNG ................................................................................................... 5 1. Cơ sở lý luận .............................................................................................. 5 2. Cơ sở khoa học........................................................................................... 7 3. Thực trạng .................................................................................................. 7 4. Áp dụng trong thực tế dạy học.................................................................... 8 4.1. Áp dụng quy trình 4 bước trong dạy giải bài tập toán GV.................... 9 4.2. Trước khi giải các bài tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học sinh các kiến thức và bài tập cơ bản sau ................................................... 10 4.3. Hệ thống bài tập ................................................................................ 12 4.4. Chỉ ra những khó khăn sai lầm của học sinh gặp phải khi giải toán hình học phẳng bằng PPVT ...................................................................... 24 C. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN ................................................................ 27 KẾT LUẬN..................................................................................................... 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 29 Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 3 A. MỞ ðẦU 1. Lý do chọn ñề tài Một trong những mục ñích dạy toán ở trường phổ thông là: Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức khoa học của nhân loại ñược tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công cụ ñể nhận thức và hành ñộng ñúng ñắn trong các lĩnh vực hoạt ñộng cũng như trong học tập hiện nay và sau này. Trong ñường lối ñổi mới giáo dục của ðảng và nhà nước ta cũng ñã khẳng ñịnh: “Phải ñổi mới phương pháp giáo dục ñào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện ñại vào quá trình dạy học, ñảm bảo ñiều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”. Như vậy, quan ñiểm chung về ñổi mới phương pháp dạy học ñã khẳng ñịnh, cốt lõi của việc ñổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ ñộng, chống lại thói quen học tập thụ ñộng. Làm cho học sinh nắm ñược một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện ñại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức ñó vào những tình huống cụ thể, vào ñời sống, vào lao ñộng sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác. Việc giải bài tập toán là hình thức tốt nhất ñể củng cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức ñã học vào những vấn ñề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn ñề mới, là hình thức tốt nhất ñể giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức ñộ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức ñã học. Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con người học sinh về nhiều mặt. Việc giải một bài toán cụ thể không những nhằm một dụng ý ñơn nhất nào ñó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như học sinh ñã dùng ñúng phương pháp ñể giải ñúng một vấn ñề toán và cao hơn là một vấn ñề nào ñó ngoài thực tế mang tính lôgic toán. Thực tiễn dạy học cho thấy: Việc sử dụng phương pháp véctơ trong nghiên cứu hình học, học sinh có thêm những công cụ mới ñể diễn ñạt, suy luận ñể giải toán, tránh ñược ảnh hưởng không có lợi của trực giác, từ ñó cho thấy bất kỳ một vấn ñề gì ñều ñược xem xét và giả quyết trên quan ñiểm khoa học, với những cách tiệm cận vấn ñề khác nhau sẽ ñưa ra các phương pháp khác Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 4 nhau ñều ñúng ñắn. ðây cũng là dịp tốt ñể học sinh làm quen với ngôn ngữ toán học cao cấp, từ ñó giáo dục học sinh cách nhìn cởi mở khoa học ñối với mọi môn học liên quan. Thế nhưng việc sử dụng không thành thạo phương pháp trên, cụ thể là lúng túng và giải sai bài tập ñã làm học sinh gặp nhiều khó khăn, hạn chế tới kết quả học tập trong phạm vi chuyên ñề sử dụng “phương pháp véc tơ” ñể giải toán hình học. Với những lí do trên, tôi chọn ñề tài nghiên cứu “Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh”. 2. Nhiệm vụ của ñề tài 2.1. Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải bài tập toán theo hướng hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. 2.2. Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ năng hình học 10 của Bộ GD-ðT và xuất phát từ thực tiễn giảng dạy nghiên cứu phương pháp dạy học bài tập hình học 10 qua phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. 3. ðối tượng nghiên cứu 3.1. Phương pháp giải bài tập hình học phẳng bằng phương pháp véc tơ 3.2. Các bài tập hình học phẳng bằng phương pháp véc tơ hình học lớp 10 4. Phạm vi nghiên cứu Bài tập hình học phẳng bằng phương pháp véc tơ trong chương I+II SGK hình học 10 theo chương trình cơ bản và nâng cao. Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 5 B. NỘI DUNG 1. Cơ sở lý luận Theo phương pháp dạy học toán mỗi bài tập toán ñặt ra ở một thời ñiểm nào ñó của quá trình dạy học ñều chứa ñựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Các chức năng ñó là: - Chức năng dạy học. - Chức năng giáo dục. - Chức năng phát triển. - Chức năng kiểm tra. Các chức năng ñều hướng tới việc thực hiện các mục ñích dạy học: - Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai ñoạn khác nhau của quá trình dạy học. - Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất ñạo ñức của người lao ñộng mới. - Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, ñặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học. - Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm ñánh giá mức ñộ kết quả dạy và học, ñánh giá khả năng ñộc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình ñộ phát triển của học sinh. Hiệu quả của việc dạy toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách ñầy ñủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa ñã có dụng ý ñưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình. Trong các bài toán có nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào ñể giải tất cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán. Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 6 trọng bằng làm thế nào ñể giải ñược bài toán. ðể làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán. Theo Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường ñược tiến hành theo 4 bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán ðể giải ñược một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán ñó và có hứng thú với việc giải bài toán ñó. Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi ñộng cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quát. Tiếp theo phải phân tích bài toán ñã cho: - ðâu là ẩn số, ñâu là dữ kiện. -Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần). -Phân biệt các thành phần khác nhau của ñiều kiện, có thể diễn ñạt các ñiều kiện ñó dưới dạng công thức toán học ñược không? Bước 2: Xây dựng chương trình giải. Phải phân tích bài toán ñã cho thành nhiều bài toán ñơn giản hơn. Phải huy ñộng những kiến thức ñã học (ñịnh nghĩa, ñịnh lí, quy tắc...) có liên quan ñến những ñiều kiện, những quan hệ trong ñề toán rồi lựa chọn trong số ñó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm, dự ñoán kết quả. Xét vài khả năng có thể xảy ra, kể cả trường hợp ñặc biệt. Sau ñó, xét một bài toán tương tự hoặc khái quát hóa bài toán ñã cho. Bước 3 Thực hiện chương trình giải. Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. - Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải. - Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp ñể giải một loại bài toán nào ñó. - Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể). - Khai thác kết quả có thể có của bài toán. - ðề xuất bài toán tương tự, bài toán ñặc biệt hoặc khái quát hóa bài toán. Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa quan trọng. Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 7 Trong nhiều trường hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở ñầu cho một bài toán khác. Vì vậy "Cần phải luyện tập cho học sinh có một thói quen kiểm tra lại bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là những bài toán có ñặt ñiều kiện hoặc bài toán ñòi hỏi phải biện luận. Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực hiện một cách thường xuyên”. 2. Cơ sở khoa học Xuất phát từ các yêu cầu ñối với học sinh về kiến thức cơ bản và kỹ năng cơ bản trong chương I, II- SGK HH cơ bản và nâng cao là: - Về kiến thức cơ bản: nắm ñược khái niệm véctơ, hai véctơ bằng nhau, hai véctơ ñối nhau, véctơ không, quy tắc ba ñiểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung ñiểm, ñịnh nghĩa và tính chất của phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với số thực, tích vô hướng của hai véctơ. - Về kĩ năng cơ bản: biết dựng một véctơ bằng véctơ cho trước, biết lập luận hai véctơ bằng nhau, vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba ñiểm ñể dựng véctơ tổng và giải một số bài toán, biết xác ñịnh số thực k ñối với hai véc tơ cùng phương a,b r r sao cho b ka= r r , vận dụng tính chất cơ bản của tích vô hướng, ñặc biệt ñể xác ñịnh ñiều kiện cần và ñủ của hai véctơ (khác véctơ- không) vuông góc với nhau, vận dụng tổng hợp kiến thức về véctơ ñể nghiên cứu một số quan hệ hình học như: tính thẳng hàng của ba ñiểm, trung ñiểm của ñoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, giao ñiểm hai ñường chéo của hình bình hành 3. Thực trạng Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh không nắm vững kiến thức các khái niệm, ñịnh lí, qui tắc, không trở thành cơ sở của kỹ năng. Muốn hình thành ñược kỹ năng, ñặc biệt là kỹ năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt ñộng và bằng hoạt ñộng tự giác, tích cực, sáng tạo ñể học sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Học ñi ñôi với hành, giáo dục kết hợp với lao ñộng sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”. Trong chương trình hình học lớp 10 học sinh ñược học về véctơ, các phép toán trên véctơ, các tính chất cơ bản của tích vô hướng và những ứng Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 8 dụng của chúng, ñặc biệt là những hệ thức quan trọng trong tam giác: ðịnh lý Côsin, ñịnh lý Sin, công thức trung tuyến, các công thức tính diện tích tam giác...học sinh phải biết tận dụng các kiến thức cơ bản nói trên ñể giải một số bài toán hình học và bài toán thực tế. PPVT có nhiều tiện lợi trong việc giải các bài tập hình học. Tuy vậy, khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp phải một số khó khăn, và không tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán hình học lớp 10. Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải ñó là lần ñầu tiên làm quen với ñối tượng mới là véctơ, các phép toán trên các véctơ. Các phép toán trên các véctơ lại có mmọt số tính chất tương tự như ñối với các số mà học sinh ñã học trước ñó, do ñó học sinh chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm và các phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong khi sử dụng PPVT. Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT là do thoát ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của bài toán. Vì học sinh có thói quen giải bài toán hình học là phải vẽ hình nên khi sử dụng PPVT ñể giải một số bài tập không sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn hơn. Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông thường sang “ngôn ngữ véctơ” và ngược lại. Vì vậy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển tương ñương những quan hệ hình học từ cách nói thông thường sang dạng véctơ ñể có thể vận dụng công cụ véctơ trong giải toán. 4. Áp dụng trong thực tế dạy học Ở lớp 10 học sinh (học theo chương trình cơ bản hoặc nâng cao) học sinh ñược học về véc tơ, các phép toán trên véc tơ (phép cộng, phép trừ, phép nhân véc tơ với số thực, tích vô hướng của hai véc tơ), sau ñó là trục, hệ trục toạ ñộ, toạ ñộ của ñiểm, toạ ñộ của véc tơ và một vài ứng dụng ñơn giản của phương pháp toạ ñộ. Tuy học sinh ñược học cả hai phương pháp: Véc tơ và toạ ñộ, phương pháp chủ yếu vẫn là phương pháp véc tơ. Bởi vì, các hệ thức lượng trong tam giác và trong ñường tròn ñược xây dựng nhờ véc tơ cùng các phép toán, ñặc biệt là tích vô hướng của hai véc tơ ñược ñịnh nghĩa theo một ñẳng thức véc tơ... ðể giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT ñể giải các bài toán, ñối với học sinh lớp 10 khi giảng dạy GV cần lưu ý những vấn ñề sau: Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 9 1 1( ) (2 ) 2 2 OI OM ON k OA OB= + = + uur uuuur uuur uuur uuuur 4.1. Áp dụng quy trình 4 bước trong dạy giải bài tập toán GV cần hình thành cho học sinh các bước giải bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ theo các bước như sau: Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình bốn bước giải bài toán bằng PPVT. Quy trình bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT. Bước 1: Chọn các véc tơ cơ sở. Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véc tơ và các phép toán véc tơ ñể biểu diễn, chuyển ngôn ngữ từ hình học thông thường sang ngôn ngữ véc tơ. Bước 3: Giải bài toán véc tơ. Bước 4: Kết luận, ñánh giá kết quả. Giáo viên cần tận dụng các cơ hội ñể rèn luyện cho học sinh khả năng thực hiện bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT thông qua các bài tập, có thể minh hoạ quy trình bốn bước trên bằng ví dụ sau: Bài toán: Cho góc xOy và hai ñiểm di chuyển trên hai cạnh của góc. M thuộc Ox, N thuộc Oy, luôn luôn thoả mãn OM = 2ON. Chứng minh rằng trung ñiểm I của MN luôn thuộc ñường thẳng cố ñịnh. Hướng dẫn giải: Bước 1: Lấy ñiểm A ∈ Ox, B ∈Oy sao cho OA = OB, và chọn hai véc tơ ,OA OB uuur uuur làm hai véc tơ cơ sở. Mọi véc tơ trong bài toán ñều phân tích ñược (hoặc biểu thị ñược) qua hai véc tơ nàu. Bước 2: Giả thiết cho OM = 2ON, nên nếu ON kOB= uuur uuur , thì 2OM kOA= uuuur uuur . ðiều phải chứng minh là I thuộc một ñường thẳng cố ñịnh (dễ thấy ñường thẳng này ñi qua O) tương ñương OI pv=uur r , với vr là một véc tơ cố ñịnh nào ñó. Bước 3: Do I là trung ñiểm của MN, nên ta có ðặt 1 ,2 2 k p OA OB v= + = uuur uuur r , ta ñược ñiều phải chứng minh. Bước 4: Nhận xét: Nếu lấy ' 2OA OA= uuur uuur thì 'v OA OB= + ⇒ uuurr uuur ñường thẳng cố ñịnh ñó ñi qua trung ñiểm A’B. * Có thể tổng quát hoá bài toán theo hai cách: - Thay cho giả thiết OM = 2ON bằng OM = m.ON (m là một hằng số). O B N y x A 'A I Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 10 - Thay cho kết luận: Trung ñiểm I của MN thuộc một ñường thẳng cố ñịnh bằng kết luận: Mỗi ñiểm chia MN theo tỷ số IM p IN q = (p, q là hằng số dương) ñều thuộc một ñường thẳng cố ñịnh. Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán bằng PPVT, giáo viên cần chú ý ñến những tri thức phương pháp: Ở bước 1: Nên chọn các véc tơ cơ sở sao cho các véc tơ trong bài toán phân tích theo chúng thuận lợi nhất. Qua mỗi bài toán học sinh sẽ thấy việc chọn các véc tơ cơ sở như thế nào. Ở bước 2: Cần rèn luyện cho học sinh chuyển ñổi ngôn ngữ một cách thành thạo. Cách chuyển ñổi như thế nào ta có thể thấy qua từng nhóm bài toán sẽ ñược trình bày dưới ñây. Ở bước 3: Cần nắm vững các phép toán véc tơ. ðồng thời, thông qua các bài tập cụ thể, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ ñược tính ưu việt của PPVT. ðặc biệt các bài tập về tìm tập hợp ñiểm, các bài tập về chứng minh 3 ñiểm thẳng hàng, chứng minh hai ñường thẳng song song, hai ñường thẳng vuông góc,... là những dạng toán có nhiều cơ hội ñể làm rõ vấn ñề này. 4.2. Trước khi giải các bài tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học sinh các kiến thức và bài tập cơ bản sau (vì ñây là các tri thức phương pháp ñể giải các bài tập sau này). A - ðiều kiện cần và ñủ ñể hai véc tơ không cùng phương Bài toán 1: (Bài 12-trang 17-SBT-HH10-nâng cao) Chứng minh rằng hai véc tơ a r và b r cùng phương khi và chỉ khi có cặp số m, n không ñồng thời bằng 0 sao cho 0ma mb+ = r r r . Suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñể a r và b r cùng phương là có cặp số m, n không thời bằng 0 sao cho 0ma mb+ = r r r . B-Tâm tỉ cự của hệ ñiểm {A1, A2,.......An} ứng với các hệ số { 1α , 2α ,..... nα } (n ≥ 2). Bài toán 2: Cho hai ñiểm A, B phân biệt và hai số ,α β không ñồng thời bằng không. Chứng minh rằng: a) Nếu α β+ = 0 thì không tồn tại ñiểm M sao cho 0MA MBα β+ =uuur uuur r . b) Nếu α β+ ≠ 0 thì tồn tại duy nhất ñiểm M sao cho 0MA MBα β+ =uuur uuur r . Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 11 Bài toán 3: Cho hai ñiểm A, B và hai số thực ,α β . Chứng minh: Nếu α β+ = 0 thì véc tơ v MA MBα β= +r uuur uuur không ñổi, không phụ thuộc vào vị trí ñiểm M Bằng phương pháp quy nạp ta có thể chứng minh ñược kết quả tổng quát: - Cho n ñiểm A1, A2,.....An và n số thực 1α , 2α ,..... nα sao cho 1α + 2α +.....+ 0nα ≠ . Khi ñó tồn tại duy nhất ñiểm I sao cho: 1 1 2 2 .... 0n nIA IA IAα α α+ + + = uur uuur uuur r (1). ðiểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ ñiểm {A1, A2,.......An} ứng với các hệ số { 1α , 2α ,..... nα } (n ≥ 2). Từ (1), với ñiểm M tùy ý ta có: 1 1 2 2 1 2.... ( .... )n n nMA MA MA MIα α α α α α+ + + = + + + uuuur uuuur uuuur uuur Công thức này thường xuyên ñược sử dụng trong những bài toán có liên quan tới tâm tỉ cự. Ta gọi nó là công thức thu gọn. Với n = 3 và 1α = 2α = 3 1α = , ta thấy ñây là tính chất trọng tâm của tam giác ñược trình bày dưới ñây. Bài toán 4: Cho tam giác ABC và 3 số , ,α β γ không ñồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: a. Nếu 0α β γ+ + ≠ thì tồn tại duy nhất ñiểm I sao cho 0IA IB ICα β γ+ + =uur uur uur r . b. Nếu 0α β γ+ + = thì không tồn tại ñiểm M sao cho 0MA MB MCα β γ+ + =uuur uuur uuuur r . C-Tính chất trung ñiểm. Bài toán 5: M là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB khi và chỉ khi 0MA MB+ = uuur uuur r Hoặc với ñiểm M bất kỳ ta có 2MA MB MI+ = uuur uuur uuur . D-Tính chất trọng tâm tam giác. Bài toán 6: Cho tam giác ABC. CMR ñiểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r hoặc với ñiểm M bất kỳ ta có 3GA GB GC MG+ + = uuur uuur uuur uuuur . E-ðiều kiện cần và ñủ ñể ba ñiểm phân biệt A, B, C thẳng hàng. Bài toán 7: Ba ñiểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi thoả mãn một trong các ñiều kiện sau: Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 12 1. Tồn tại một số k khác 0 sao cho AB k AC= uuur uuur 2. Cho một ñiểm I và một số t nào ñó sao cho (1 )IA tIB t IC= + − uur uur uur là ñiều kiện cần và ñủ ñể ba ñiểm phân biệt A, B, C thẳng hàng. F-Công thức ñiểm chia. Bài toán 8: Cho ñoạn thẳng AB, số thực k khác 0 và 1. Ta nói ñiểm M chia ñoạn AB theo tỉ số k nếu MA kMB= uuur uuur . CMR với ñiểm C bất kỳ ta có: 1 1 1 kCM CA CB k k = − − − uuuur uuur uuur (*). Ta gọi (*) là công thức ñiểm chia G-Công thức hình chiếu. Cho hai véc tơ ,OA OB uuur uuur . Gọi B’ là hình chiếu của B trên ñường thẳng OA khi ñó: '. .OAOB OAOB= uuuruuur uuur uuur . Véc tơ 'OB uuur gọi là hình chiếu của OA uuur trên ñường thẳng OA; Công thức ' . .OAOB OAOB= uuuruuur uuur uuur gọi là công thức hình chiếu. 4.3. Hệ thống bài tập. Trong thực tế giảng dạy và học tập, không phải lúc nào giải bài tập cũng làm theo 4 bước như trên, không phải lúc nào cũng phân tích các véc tơ theo hai véc tơ cơ sở cho trước, mà có thể giải quyết bài toán một cách linh hoạt. Việc rèn luyện cho học sinh thông qua một hệ thống bài tập ñã ñược phân loại sẽ ñem lại hiệu quả cao trong dạy học. Việc ñưa ra hệ thống bài tập ñã ñược phân loại nhằm giúp học sinh có kinh nghiệm giải toán và rèn luyện các kỹ năng: - Chuyển bài toán sang ngôn ngữ véc tơ. - Phân tích một véc tơ thành một tổ hợp véc tơ. - Kỹ năng biết cách ghép một số véc tơ trong một tổ hợp véc tơ. - Biết khái quát hoá một số những kết quả ñể vận dụng vào bài toán tổng quát hơn. ðặc biệt biết vận dụng quy trình bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT vào giải các bài tập hình học. * Giáo viên có thể sử dụng hệ thống bài tập ñã phân dạng này trong các tình huống dạy học khác nhau như: Làm bài tập về nhà, bài tập phân hoá, dùng ñể bồi dưỡng HS khá giỏi, dùng ñể kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm... góp phần Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 13 bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh (chủ yếu là bồi dưỡng học sinh khá giỏi). Dạng 1: Chứng minh ba ñiểm thẳng hàng. ðối với dạng toán trên ta có thể dùng ñiều kiện cùng phương của hai véc tơ ñể giải toán. Véc tơ b r cùng phương với véc tơ ( 0)a a ≠ r r khi và chỉ khi có số k sao cho b ka= r r . * Từ ñó ứng dụng vào dạng toán: Cho 3 ñiểm A, B, C thoả mãn một ñiều kiện xác ñịnh. Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng. Phương pháp: - Hãy xác ñịnh véc tơ ,AB AC uuur uuur - Chỉ ra rằng hai véc tơ ñó cùng phương, nghĩa là hãy chỉ ra số thực k sao cho AB k AC= uuur uuur . Ví dụ: (Bài 19-tr8-SBT HH10 nâng cao) Cho tam giác ABC. Các ñiểm M, N, P lần lượt chia các ñoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỷ số lần lượt là m, n, p (ñều khác 1). Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi mnp = 1 (ðịnh lý Mênêlauýt). Hướng dẫn giải: (Theo quy trình 4 bước giải bài toán HH bằng PPVT) Bước 1: GV chọn véc tơ cơ sở. HS: Chọn hai véc tơ ,CA CB uuur uuur làm hai véc tơ cơ sở. Mọi véc tơ xuất hiện trong bài toán ñều phân tích ñược theo hai véc tơ này. Bước 2: GV: Các ñiểm M, N, P lần lượt chia các ñoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỷ số lần lượt là m, n, p (ñều khác 1) tương ñương với các ñẳng thức véc tơ nào? HS: ; ;MA mMB NB nNC PC pPA= = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur . A P CBN M Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Alex Le 2013 0280 878 616 14 GV: ðiều p