Đề biên soạn theo định hướng ra đề của Bộ GD&ĐT môn Toán - Đề 6

Đề 6: ( Biên soạn theo định hướng ra đề của Bộ GD&ĐT năm học 2008 – 2009) Bài 1: 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận của của đồ thị đó. Bài 2: 1). Giải phương trình. 2). Chứng minh hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt. Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 4x -3y +11z – 26 = 0 và hai đường thẳng (d1): ; (d2): . 1). Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau. 2). Viết phương trình đường thẳng (D) nằm trên (P), đồng thời cắt cả (d1) và (d2). Bài 4: 1). Tính tích phân: . 2). Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) = cos(3x - 2). Bài 5: Với mọi số thực dương a; b; c thõa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 6: 1) Giải bất phương trình: . 2) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm Bài 7: 1). Tính gọn biểu thức S = . 2). CMR, thõa mãn ta luôn có: . Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên A'A = A'B=A'C = a. Chứng minhBB'C'C là hình chữ nhật và tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'. -----------------------------------------------------------Hết--------------------------------------------------------------- HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: 1). . (Các bước khảo sát HS tự thực hiện) TCĐ: x = -1; TCN: y = 2; BBT: 2) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0; y0)Î(C) với x0 ≠ -1 (1) Giao điểm của hai tiệm cận là: I(-1; 2). Thay tọa độ của I vào phương trình (1) ta được: (VN). Kết luận không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm I của hai tiệm cận. Bài 2: 1). Giải phương trình.(2) Điều kiện: sinx ≠ 0 Ta có: (2) Û 2). Hệ phương trình viết lại . (3) Nhận xét: Vai trò của x, y, z là bình đẳng trong hệ và mỗi vế của từng phương trình của hệ. Đặt: f(t) = t3 +t2+2t và g(t) = 2t3 + 1 với t Î R. Hệ phương trình viết lại: Ta có: và . Do đó f(t), g(t) là các hàm số liên tục và đồng biến trên R. Không mất tính tổng quát, gọi x = Max{x,y,z}, ta có đánh giá sau: Suy ra x = y = z. Vậy hệ (3) tương đương: . Xét hàm số h(x) = x3 - x2 -2x + 1 liên tục trên [-2; 2]Ì R, ta có: h(-2)=-7; h(0) = 1; h(1) = -1; h(2) = 1 Áp dụng tính chất hàm liên tục -- > h(x) = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt (do h(x) bậc 3) --- > (đpcm). Bài 3: 1) Ta có: * M(0; 3; - 1) Î(d1) ; N(4; 0; 3) Î(d2) Þ * VTCP của (d2) là và VTCP của (d1) là Þ . * Xét Þ (d1) và (d2) chéo nhau. 2) Nhận xét: Vì D nằm trên (P) và cắt cả d1, d2 nên D qua giao điểm của d1, d2 với (P). Tọa độ giao điểm A của d1 và (P) là nghiệm của hệ: Þ A (-2; 7; 5) Tọa độ giao điểm B của d2 và (P) là nghiệm của hệ: Þ B( 3; -1; 1) Phương trình đường thẳng D: Bài 4: 1). Ta có . Đặt t = sinx Þ dt = cosx.dx, khi x = 0 Þ t = 0; x = I= 2). Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) = cos(3x - 2). ( dùng quy nạp để chứng minh) ; Giả sử, Kết luận: Bài 5: Với mọi số thực dương a; b; c thõa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Áp dụng BĐT Couchy ta có: . Dấu " = " xảy ra Û 2a = b + c. Tương tự: Suy ra: . Dấu bằng xảy ra Û a = b = c = . Kết luận: minP = Bài 6: 1) Giải bất phương trình: (4). Điều kiện: 0 < x ≠ 1. Đặt t = Bất phương trình (4) Û 2). Tìm m để phương trình có 4 nghiệm Ta có : Xét hàm số: ° ° ° Bảng biến thiên: x -¥ 0 1 2 +¥ + + 0 - - - 0 + - + 0 - y +¥ +¥ 1 0 0 ° Từ bảng biến thiên ta suy ra: (1) có 4 nghiệm Kết luận : giá trị m cần tìm: -1 < m < 0. Bài 7: 1). Tính gọn biểu thức S = . Ta có: S = . 2). CMR, thõa mãn ta luôn có: . Ta có: (5) = ( điều phải chứng minh) Bài 8: Gọi O là tâm của tam giác đều ABC Þ OA = OB = OC Còn có A'A =A'B =A'C Þ A'O là trục của đường tròn ngoại tiếp DABC Þ A'O ^(ABC) Þ AO là hình chiếu vuông góc của AA' lên (ABC); mà AO ^BC Þ AA' ^BC Þ BB'^BC , do đó BB'C'C là hình chữ nhật. Vì A'O ^(ABC) Þ A'O ^CO. Trong DA'OC vuông tại O,ta có: Vậy thể tích V của khối lăng trụ là: (đvtt) --------------------------------------------------------Hết-------------------------------------------------------------