Đề cương học kì I Toán 9 (Hình học)

ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ I TOÁN 9 (HÌNH HỌC) Chương I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông: A c h b c’ b’ B H C a Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền: ĐỊNH LÍ 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền. Công thức: b2 = ab’, c2 = ac’ Một số hệ thức liên quan tới đường cao: ĐỊNH LÍ 2 Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. Công thức: h2 = b’c’ ĐỊNH LÍ 3 Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng. Công thức: bc = ah ĐỊNH LÍ 4 Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông. Công thức: II. Tỉ số lượng giác của góc nhọn: Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn: Định nghĩa: cạnh đối cạnh kề cạnh huyền Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc , kí hiệu sin . Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc , kí hiệu cos . Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kế được gọi là tang của góc , kí hiệu tg (hay tan ). Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc , kí hiệu cotg (hay cot ). Công thức: cạnh đối cạnh đối sin = tg = cạnh huyền cạnh kề cạnh kề cạnh kề cos = cotg = cạnh huyền cạnh đối Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: ĐỊNH LÍ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia. Bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt: Tỉ số lượng giác 30o 45o 60o sin cos tg cotg Các hệ thức cơ bản: Cho < 90o, ta có: 0 < sin < 1 0 < cos < 1 sin2 + cos2 = 1 tg .cotg = 1 sin cos tg = cotg = cos sin 1 1 sin2 = cos2 = 1 + cotg2 1 + tg2 III. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: ĐỊNH LÍ Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề. Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề. CÁC HỆ THỨC: A c b B C a b = a.sin B = a.cos C b = c.tg B = c.cotg C c = a.sin C = a.cos B c = b.tg C = b.cotg B Chương II: ĐƯỜNG TRÒN I. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn: Nhắc lại về đường tròn: Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R. R O A Cách xác định đường tròn: + Khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó. + Khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó. + Khi biết ba điểm thuộc đường tròn. Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng. Tâm đối xứng của đường tròn: Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. Trục đối xứng của đường tròn: Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. II. Đường kính và dây của đường tròn: So sánh độ dài của đường kính và dây: ĐỊNH LÍ 1 Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây: ĐỊNH LÍ 2 Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. ĐỊNH LÍ 3 Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. III. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: ĐỊNH LÍ 1 Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. ĐỊNH LÍ 2 Trong hai dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. IV. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: 1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và đường tròn mà ta có ba vị trí tương đối giữa chúng. a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau: - Số điểm chung: 2. - a: cát tuyến. O - d < R. R d a A H B b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau: - Số điểm chung: 1. - a: tiếp tuyến. - d = R. - H: tiếp điểm. O ĐỊNH LÍ Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một d R đưòng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi a qua tiếp điểm. H ĐỊNH NGHĨA: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó. c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau: - Số điểm chung: 0. - d < R. O d R a H 2. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn: Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau thì d < R và ngược lại. Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau thì d = R và ngược lại. Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau thì d > R và ngược lại. Bảng tóm tắt: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d < R Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d = R Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d < R V. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn: a) Nếu một đường thẳng và một đuờng tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. b) Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. ĐỊNH LÍ: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. VI. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Định lí về hai tiép tuyến cắt nhau: ĐỊNH LÍ: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. 2. Đường tròn nội tiếp tam giác: Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. 3. Đường tròn bàng tiếp tam giác: Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. VII. Vị trí tương đối của hai đường tròn: Ba vị trí tương đối của hai đường tròn: Hai đường tròn có hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung đó gọi là hai giao điểm. Đoạn thẳng nối hai điểm đó gọi là dây chung. Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm. Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là hai đuờng tròn không giao nhau. Tính chất đường nối tâm: ĐỊNH LÍ Nếu hai đường tròn cắt nhua thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đuờng nối tâm là đường trung trực của dây chung. Nếu hai đuờng tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính: Vị trí tương đối của hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; r) (R r) Số điểm chung Hệ thức giữa OO’ với R và r Hai đường tròn cắt nhau 2 R – r < OO’ < R + r Hai đường tròn tiếp xúc nhau: - Tiếp xúc ngoài - Tiếp xúc trong 1 OO’ = R + r OO’ = R – r Hai đường tròn không giao nhau: - (O) và (O’) ở ngoài nhau - (O) đựng (O’) 0 OO’ > R + r OO’ < R – r Tiếp tuyến chung của hai đường tròn: ĐỊNH NGHĨA Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó. Tiếp tuyến chung ngoài không cắt đoạn nối tâm. Tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối tâm.