Đề cương ôn tập Bài tập hình học tổng hợp

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và tại C cắt d theo thứ tự ở D và E. a) Tính b) Chứng minh : DE = BD + CE c) Chứng minh : BD.CE = R2 (R là bán kính đường tròn (O)). d) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE. 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. a) Chứng minh : . b) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Tính độ dài DE biết rằng DH = 2cm ; HA = 6cm. 3. Cho nửa đường tròn tâm O với đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn đã cho, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N. Chứng minh rằng : a) CD = AC + BD. b) MN // AC c) AD. MN = CM. DB. d) Hỏi rằng : M ở vị trí nào trên nửa đường tròn đã cho thì tổng AC + BD có giá trị nhỏ nhất ? 4. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một điểm M trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q. a) Chứng minh rằng khi điểm M chuyển động trên cung BC thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi. b) Cho biết và bán kính của đường tròn (O) bằng 6cm. Tính độ dài của hai tiếp tuyến AB và diện tích của phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC. 5. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK. a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn (O). b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Tính bán kính đường tròn (O), biết AB = AC = 20 cm ; BC = 24 cm. 6. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A ; AH) đó. Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E. a) Chứng minh rằng DBEC là tam giác cân. b) Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. c) Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A ; AH). d) Chứng minh BE = BH + DE. 7. Cho tam giác vuông ABC (). a) Nêu cách dựng đường tròn (O) qua A và tiếp xúc với BC tại B và nêu cách dựng đường tròn (O') qua A và tiếp xúc với BC tại C. b) Hỏi rằng hai đường tròn (O) và (O') có vị trí tương đối với nhau như thế nào ? c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O'). d) Cho AB = 36 cm ; AC = 48 cm. Tính độ dài BC và các bán kính của các đường tròn (O) và (O'). 8. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC . Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp. b) Tính góc . c) Chứng minh rằng : KC. KD = KH. KB. d) Khi điểm E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào ? 9. Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng: a) Tứ giác OMNP nội tiếp được. b) Tứ giác CMPO là hình bình hành . c) Tích CM. CN không phụ thuộc vị trí của điểm M. d)* Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định. 10. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật. b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh : AE. AB = AF. AC. d)* Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn. 11. Cho đường tròn (O ; R) đường kính Ab. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R. Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O) tại M. a) Chứng minh rằng BM // OP. b) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh rằng tứ giác OBNP là hình bình hành. c) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng. 12. Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm bất kỳ M trên nửa đường tròn (M khác A, B. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, người ta kẻ tia tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I; tia phân giác của góc cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. a) Chứng minh rằng IA2 = IM. IB b) Chứng minh rằng BAF là tam giác cân. c) Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi. d) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp được đường tròn. 13. Cho tam giác vuông ABC (). Trên cạnh AC lấy một điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của góc . b) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. c) Chứng minh DM là tia phân giác của góc . d) Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp DADE. 14. Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh rằng : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. b) Tứ giác ADEC và àBC nội tiếp được. c) AC song song với FG. d)* Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy. 15. Cho hình thoi ABCD. Gọi M, N heo thứ tự là trung điểm của AB và CD; giao điểm của AN và DM là K ; giao điểm của BN và CM là L. a) Chứng minh rằng K, L theo thứ tự là trung điểm của AN và DM ; của CM và BN. b) Chứng minh rằng bốn đường thẳng AC, BD, MN và KL đồng quy. 16. Cho hai đường tròn (O ; 3cm) và (O' ; 1cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC ( B ẻ(O); C ẻ(O')). a) Chứng minh rằng : . b) Tính độ dài BC. c) Tính diện tích hình giới hạn bởi hai tiếp tuyến BC và các cung AB, AC của hai đường tròn. 17. Cho các điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10cm ; CB = 40cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I) , (K). a) Chứng minh rằng EC = MN. b) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I) , (K). c) Tính độ dài MN. d) Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn. 18. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A. Trên đường thẳng d lấy một điểm K. a) Chứng minh BC ^ KH. b) Kẻ AI là đường cao của tam giác KAH. Chứng minh rằng AI ^ (KBC). c) Cho AB = 15cm, AC = 20cm, AK = 16cm. Tính độ dài của các đoạn thẳng BC, KH, IH, IK và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (KBC). 19. Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Một đường thẳng d vuông góc với mp(ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên đường thẳng d, nối SA, SB, SC và SD. a) Chứng minh rằng AC ^ mp(SBD). b) Chứng minh rằng : mp(SAC) ^ mp(ABCD) và mp(SAC) ^ mp(SBD). c) Tính SO biết AB = a và SA = . d) Tính diện tíc xung quanh và thể tích của hình chóp S.ABCD. 20. Cho tam giác đều ABC có độ dài mmõi cạnh là a. Đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Trên đường thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC. a) Chứng minh rằng: SA = SB = SC. b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp S.ABC ;( cho biết SG = 2a) 21. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau ở A và B. Một đường thẳng di động xung quanh điểm A cắt đường tròn (O) ở C và cắt đường tròn (O') ở D. Gọi M, N là trung điểm của AC và AD. a) Chứng minh rằng . b) Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng đường vuông góc với CD ở I đi qua một điểm cố định. 22. Cho tam giác ABC. Các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K. a) Chứng minh . b) Tứ giác BHCK là hình gì ? c) Kéo dài KH cho cắt đường tròn tại M. Chứng minh rằng 5 điểm M, E, A, H, D cùng nằm trên một đường tròn. 23. Cho hình chữ nhật ABCD trong đó AB = 2AD. Gọi M là trung điểm của AB. a) Tam giác DMC là tam giác gì ? b) Gọi N là trung điểm của DC, E là giao điểm của DM với AN, F là giao điểm của CM với BN. Tứ giác EMFN là hình gì ? c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng DC. d) Đường thẳng song song với NB kẻ từ A cắt đường thẳng song song với NA kẻ từ B ở K. Chứng minh rằng M, N, K thẳng hàng. 24. Từ điểm B bất kỳ trên đường tròn (O), kẻ đường vuông góc BH với tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A cho trước của đường tròn. a) Chứng minh BA là đường phân giác của góc . b) Khi B di động trên đường tròn, chứng minh đường phân giác ngoài của góc đi qua một điểm cố định. c) Khi B di động, thì giao điểm M của BH với đường phân giác của góc chạy trên đường nào ? 25. Cho đường tròn (O) và tiếp tuyến tại A với đường tròn đó. Từ một điểm M bất kỳ trên tiếp tuyến này ta kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn. a) Chứng minh rằng tứ giác OAMB nội tiếp được. Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp DMAB chạy trên đường nào khi M di động ? b) Gọi H là trực tâm của DMAB. Chứng minh OAHB là hình thoi. c) Đường thẳng OM cắt đường tròn ở K và J. Vị trí của những điểm này đối với DMAB như thế nào ? 26. Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên đoạn OC lấy một điểm B và vẽ đường tròn (O') đường kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ dây cung vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại D và E. Nối DC cho cắt đường tròn (O) tại I. a) Tứ giác ADBE là hình gì ? vì sao ? b) Chứng minh: BI // AD. c) Chứng minh : I, B, E thẳng hàng và MD = MI. d) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng MI với đường tròn (O'). 27. Cho tam giác ABC, I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác, J là giao điểm của các đường phân giác của và , M là trung điểm của cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (M khác phía đối với A). a) Chứng minh I, M, J thẳng hàng. b) Chứng minh các DMBI và DMBJ cân. c) Xác định tâm đường tròn đi qua 4 điểm B, I, C, J. 28. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường phân giác trong của các góc, , cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại M, N, P. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp DABC. a) Chứng minh rằng các tam giác NAI và PAI cân. b) Chứng minh rằng I là trực tâm của DMNP. c) Chứng minh: 29. Cho tam giác ABC (AB = AC). Các đường tròn đường kính AC, AB cắt AC ở K. Một đường thẳng xy qua A cắt đường tròn thứ nhất ở D, cắt đường tròn thứ hai ở E. a) Chứng minh BK, CH, AN đồng quy (N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn) b) Chứng minh D và E là hình chiếu vuông góc của B và C trên xy. c) Chứng minh DNDE cân. 30. Cho DABC (; AC > AB). Một điểm P di chuyển trên BC. Kẻ nửa đường thẳng vuông góc với BC tại P cắt AC tại M, cắt đường thẳng AB tại E, cắt đường tròn ngoại tiếp DABC tại N. a) Chứng minh rằng: . b) Tìm vị trí của P để tích PM. PE đạt giá trị lớn nhất. 31. Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB, một dây CD cắt đường kính AB tại E ( EạA, EạB). Một tiếp tuyến d của đường tròn tại B cắt AC, AD lần lượt ở M và N. a) Chứng minh rằng hai tam giác ACB và ABM đồng dạng. b) Chứng minh: AC. AM = AD. AN. c) Tiếp tuyến tại điểm C của đường tròn cắt d tại I.Chứng minh rằng I là trung điểm của MB. d) Hãy xác định vị trí của dây CD để tam giác AMN đều. 32. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt ở E và F. a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b) Chứng minh : AE. AB = AF. AC. c) Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC. d) Chứng minh rằng nếu diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC vuông cân. 33. Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn. a) Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh . c) Chứng minh : BI // MN. d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. 34. Cho tam giác PBC. Gọi A là chân đường cao kẻ từ đỉnh P xuống cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh PB và PC lần lượt ở M và N. Nối N với A cắt đường tròn đường kính BC tại điểm thứ hai là E. a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn ấy ? b) Chứng minh EM ^ BC. c) Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh: AM. AF = AN. AE. 35. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và M là điểm thuộc nửa đường tròn ấy (M khác A và B). Từ A, B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn ấy. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. Đường thẳng MN cắt AB tại K. 1. Chứng minh rằng: a) CD = AC + BD. b) MN ^ AB. c) MN = NK. 2. Giả sử M chuyển động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB. a) Chứng minh MA2 + MB2 không đổi. b) Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác ABM đạt giá trị lớn nhất. 36. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C, D là 2 điểm thuộc nửa đường tròn trên sao cho CD = R. AD cắt BC tại H ; đường AC và BD kéo dài cắt nhau tại E. a) Chứng minh tứ giác ECHD nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh: EH ^ AB. c) Chứng minh: . d) Gọi I là trung điểm của EH. Chứng minh DI là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính AB. 37. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua một điểm M (khác A, B) thuộc nửa đường tròn đã cho kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax ở C, cắt By ở D. a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh: CD = AC + BD. c) Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // AC. 38. Cho tam giác ABC (AC > AB) có AM là trung tuyến, N là điểm bất kỳ trên đoạn AM. Vẽ đường tròn (O) đường kính AN. a) Đường tròn (O) cắt đường phân giác trong AD của góc A tại F, cắt đường phân giác góc ngoài của A tại E. Chứng minh FE là đường kính đường tròn (O). b) Đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại K, H. Đoạn KH cắt AD tại I. Chứng minh tam giác AKF đồng dạng với tam giác KIF. c) Chứng minh: FK2 = FI. FA. d) Chứng minh: NH. CD = NK. BD 39. Cho tam giác cân ABC (AB = BC), D là một điểm trên đáy BC. Các đường tròn qua D, lần lượt tiếp xúc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC. b) Tích AD. AK không đổi khi D chạy trên đáy BC. 40. Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ 2 hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. Chứng minh : a) Bốn điểm C, P, K, B cùng thuộc một đường tròn. b) AI. BK = AC. CB. c) Tam giác APB vuông. 41. Từ đỉnh A của một hình vuông ABCD ta kẻ hai tia tạo với nhau một góc 450. Một tia cắt cạnh BC ở E, cắt đường chéo BD ở P. Tia kia cắt cạnh CD tại F, cắt đường chéo BD tại Q. Chứng minh rằng: a) Các điểm A, B, E, Q cùng thuộc một đường tròn. Các điểm A, D, F, P cùng thuộc một đường tròn. b) Các điểm P, Q, E, F, C cùng thuộc một đường tròn. c) 42. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và H là trực tâm. AH kéo dài cắt đường tròn (O) ở E. Kẻ đường kính AOF. a) Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân. b) Chứng minh c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, F thẳng hàng. 43. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở E và F. a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp. b) AM cắt OE ở P; BM cắt OF ở Q. Tứ giác MPOQ là hình gì ? vì sao ? c) Kẻ MH vuông góc với AB (H ẻ AB). K là giao điểm của MH và EB, hãy so sánh MK với KH. d) Cho AB = 2R và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF. Chứng minh rằng: 44. Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, I nằm giữa A và O sao cho . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh DAME đồng dạng với DACM và AM2 = AE. AC c) Chứng minh: AE. AC AI. IB = AI2. d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp D CME là nhỏ nhất. 45. Cho đường tròn (O) với dây BC cố định (BC < 2R) và điểm A trên cung lớn BC (A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung BC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường kính AA'. a) Chứng minh : HE ^ AC b) Chứng minh: DHEF đồng dạng với DABC. c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp DHEF cố định, khi A di chuyển. ------------------------------------------------------------ Chúc các em học tốt !