Đề cương ôn tập học kỳ II - Năm học 2010-2011 môn Toán - khối 11

1 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN - KHỐI 11 I. CẤP SỐ CỘNG* Bài 1. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 2 9 - , công sai d = 2 1 . a) Tính số hạng thứ 12 của CSC. b) Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên. c) Số 0 có phải là một số hạng của CSC này hay không ? d) Tìm n biết u1 + u2 + u3 + + un = 2 165 Bài 2. Cho dãy số (un) có un = 9 – 5n. a) Chứng minh dãy (un) là một CSC. Tìm u1 và công sai d ? b) Tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của CSC này. Bài 3. Tìm a biết ba số: 193;73;5 22 --- aaa theo thứ tự đó lập thành một CSC. Bài 4. Cho ba số dương a, b, c lập thành một CSC. Chứng minh: cbbaca + + + = + 112 Bài 5. Tìm u1 và công sai d của CSC (un) biết: a) î í ì = =+ 14 02 4 51 S uu b) î í ì = =- 75. 8 72 37 uu uu c) î í ì =++ =++ 275 27 2 3 2 2 2 1 321 uuu uuu Bài 6. Cho CSC (un). Chứng minh: )(3 23 nnn SSS -= Bài 7: Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 21 và tổng bình phương của chúng bằng 155 . II. CẤP SỐ NHÂN* Bài 1. Cho dãy số (un) có un = 22n+1. a) Chứng minh (un) là một CSN, tìm u1 và công bội q ? b) Tính tổng u6 + u7. c) Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên. Bài 2. Cho dãy số (un) xác định như sau: ïî ï í ì ³ + = == - + )2(3 2 5,4 1 1 21 n uu u uu nn n Xét dãy số (vn) xác định như sau: vn = un+1 – un . a) Chứng minh (vn) là một CSN. b) Tính u8. Bài 3. Cho 4 số a, b, c, d theo thứ tự đó lập thành một CSN. Chứng minh: a) 2222 )()()()( dabdaccb -=-+-+- . b) (a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2 Bài 4. Tìm u1 và q của CSN (un) biết: 2 a) î í ì =+- =+- 20 10 653 542 uuu uuu b) î í ì =+++ =+++ 85 15 2 4 2 3 2 2 2 1 4321 uuuu uuuu Bài 5. Cho 4 số a, b, c, d theo thứ tự đó lập thành một CSC và bốn số a – 2, b – 6, c – 7, d – 2 theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm a, b, c, d ? Bài 6. Tính tổng: 1 12 2 1 ... 22 S = - + - + + Bài 7. (Không dùng máy tính) Chứng minh rằng: 99 211 ...13131313,2 = Bài 8. Tìm số hạng tổng quát của một CSN lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3. Bài 9: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. Bai 10: Ba số khác nhau a, b, c có tổng là 30. Đọc theo thứ tự a, b, c ta được một cấp số cộng; đọc theo thứ tự b, a, c ta được một cấp số nhân. Tìm công sai của cấp số cộng và công bội của cấp số nhân đó. III. GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài 1: Tính các giới hạn sau: a) 2 2 2 3lim 3 2 1 n n n n - + + + b) 3 2 2 1lim 4 3 n n n + + + c) 3 2 3 3 2lim 4 n n n n + + + d) 4 2 lim ( 1)(2 )( 1) n n n n+ + + e) 2 4 1lim 2 1 n n n + + + f) 4 2 3 2 2 3lim 3 2 1 n n n n + - - + Bài 2: Tính các giới hạn sau: a) 1 3lim 4 3 n n + + b) 14.3 7lim 2.5 7 n n n n ++ + c) 1 24 6lim 5 8 n n n n + ++ + d) 12 5lim 1 5 n n n ++ + e) 1 2.3 7lim 5 2.7 n n n n + - + f) 1 1 2.3 6lim 2 (3 5) n n n n+ - + - Bài 3: Tính các giới hạn sau: a) 2lim( 5 4)n n+ - b) 2lim( 3 5 6)n n- + + c) 2lim( 3 6 2 )n n n- + + d) 4 3lim( 8 2 )n n n+ + - e) 2lim( 5 )n n n+ - f) 2lim( 2 8 )n n n+ + - g) 2 2lim( 4 5 4 4)n n n+ - - h) 3 3 2lim( 2 )n n n+ - i) 2lim( 4 6 2 )n n+ - Bài 4: Tính các giới hạn sau: a) 1 1 1lim ... 1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n æ ö + + +ç ÷- +è ø b) 1 1 1lim ... 1.3 2.4 ( 2)n n æ ö + + +ç ÷+è ø c) 1 1 1lim ... 1.2 2.3 ( 1)n n æ ö + + +ç ÷+è ø e) 2 1 2 ...lim 3 n n n + + + + f) 2 2 1 2 2 ... 2lim 1 3 3 ... 3 n n + + + + + + + + IV. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. Bài 1. Tìm các giới hạn sau: a) 6 3 3 lim 6x x x® + - - b) 2 3 4 3 lim 3x x x x® - + - c) 2 3 21 2 lim x x x x x®- - - + d) 2 4 1 3 lim 2x x x® + - - e) 2 2 4 lim 7 3x x x® - + - f) 3 2 1 1 lim 1x x x x x® - + - - g) 2 3 1 3 lim 1x x x x x® + + - - 3 Bài 2. Tìm các giới hạn sau: a) )123(lim 23 ++- +¥® xx x b) )32(lim 2 +-+ -¥® xxx x c) 2lim x x x x ®+¥ æ ö+ -ç ÷ è ø d) 2lim 2 1 4 4 3 x x x x ®+¥ æ ö- - - -ç ÷ è ø e) 32 3lim 1 1 x x x ®+¥ æ ö+ - -ç ÷ è ø f) lim x x x x x ®+¥ æ ö + + -ç ÷ è ø g) 2lim ( 4 2 ) x x x x ®-¥ + - h) )99(lim 2 xxx x -++ +¥® i) 2 2 1lim 2 1x x x x®+¥ + - + j) 22 1lim 2x x x x®±¥ - + - k) 2 3 2 2 1lim 3 2x x x x®+¥ + - + Bài 3. Tìm các giới hạn sau: a) 2 94 lim 2 - + -® x x x b) 3 324 lim 2 3 - +- +® x xx x c) 12 109 lim 2 1 - - - ÷ ø ö ç è æ® x x x d) 2 2 4lim 2x x x+® - - e) 22 2lim 2 5 2x x x x+® - - + f) 22 2lim 2 5 2x x x x-® - - + Bài 4. Tìm các giới hạn sau: a) 2 2 2lim 7 3x x x® + - + - b) 1 2 2 3 1lim 1x x x x® + - + - c) 2 0 2 1 1lim 16 4x x x® + - + - d) 30 1 1lim 1 1x x x® + - + - e) 23 3 2lim 3x x x x x®- + - + f) 0 9 16 7lim x x x x® + + + - g) 1 221 lim 3 1 - -+- ® x xx x h) 2 232 lim 3 2 - +-+ ® x xx x i) )14(lim 3 32 +-+ +¥® xxx x Bài 5. Tìm các giới hạn sau: a) x x x 5tan 2sin lim 0® b) 20 9 4cos22 lim x x x - ® c) 11 4sin lim 0 -+® x x x V. HÀM SỐ LIÊN TỤC. Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số: ïî ï í ì = ¹ - -- = 34 3 3 32 )( 2 xkhi xkhi x xx xf trên tập xác định của nó. Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số: ïî ï í ì ³- < -- - = 12 1 12 1 )( xkhix xkhi x x xf tại x = 1. Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số: ì - - ï= -í ï - £î 2 2 3 Õ u x >3 ( ) 3 4 2 Õ u x 3 x x n f x x x n trên tập xác định của nó. Bài 4. Cho hàm số ïî ï í ì =-+ ¹ - - -= 122 1 1 3 1 1 )( 2 3 xkhimm xkhi xxxf Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định R. Bài 5. Chứng minh phương trình 2x3 – 10x – 7 = 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng (– 2; 4 ) 4 Bài 6. Chứng tỏ phương trình 03)1)(1( 232 =--++- xxxm có ít nhất 1 nghiệm với mọi m. Bài 7: a)Chứng minh phương trình 2x4+4x2+x-3=0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1;1) b) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2x3 – 10x – 7 = 0 c) Chứng minh phương trình: 1- x – sinx = 0 lu«n cã nghiÖm. d) Chứng minh phương trình: 3 3 1 0x x- + = có 3 nghiệm phân biệt. e) Chứng minh rằng phương trình x3 – 2x2 + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. f) Chứng minh rằng phương trình (m2 + m +1)x5 + x3 – 27 = 0 có nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m. g) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: cosx + m.cos2x = 0 VI. ĐẠO HÀM Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau: a) 1)2( 2 +-= xxy b) 54 )21( xxy -= c) 12 12 - -= xx y d) y = 2sin4x – 3cos2x e) x x y 4 cot 4 tan -= g) 5sincos4 22 +-= xxy Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) )12)(33( 22 -++-= xxxxy b) 5 42 2 +-= xx y c) 2 1 2 2 + + = x x y d) )1 1 )(1( -+= x xy e) 52 )21( xy -= f) 523 +-= xxy g) 3 1 12 ÷ ø ö ç è æ - + = x x y h) )12(sin 33 -= xy i) )2(cossin 2 xy = j) 22sin xy += k) 32 )2sin2( xy += l) 2 2 tan 3 x y = Bài 2. Cho các hàm số 12 1 )(;3 44 sin)( 2 + =+÷ ø ö ç è æ += x xgx x xf p Tính giá trị của biểu thức: ggfP )4(. 2 3 )3(. 2 1 //// -= p Bài 3. Cho 32 )3()12()( xxxf --= . Giải bất phương trình f’(x) > 0 Bài 4. Cho hai hàm số: xxxgxxxf 22sin)(;2cos2sin)( 2 -=+= Giải phương trình: f ’(x) = g’(x) Bài 5. Cho hàm số y = x.cosx . Chứng minh đẳng thức: y’’ + y + 2sinx = 0 Bài 6. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị là đường cong (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết: a) Hoành độ tiếp điểm bằng – 1. b) Tung độ tiếp điểm bằng 2. c) Tiếp tuyến đi qua điểm M(3; 2) Bài 7. Cho hàm số 42 52 - - = x x y . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết: a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 8 . b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = – 2x + 2011 c) Tiếp tuyến đi qua điểm M(2;– 2). Bài 8. Cho hàm số mxmxxmxy 239)2( 234 -+-+-= Tìm m để phương trình y’’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa: 2x1 + x2 – 1 = 0 5 HÌNH HỌC Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA ^ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng BC ^ ( SAB); CD ^ (SAD); BD ^ (SAC) b) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK cùng chứa trong một mặt phẳng. c) Chứng minh rằng HK ^ (SAC). Từ đó suy ra HK ^ AI. d) Cho AB = a, SA = 2a . Tính diện tích tam giác AHK và góc giữa hai đường thẳng SD và BC. Bài 2: Cho h×nh chã p S.ABC cã ®¸ y ABC lµ tam gi¸ c vu«ng c©n t¹ i B vµ AC=2a, SA=a vµ vu«ng gã c ví i mÆt ph¼ng ABC a) Chø ng minh r»ng (SAB) ^ (SBC) b) TÝnh kho¶ng c¸ ch tõ A ®Õ n (SBC) c) Gä i O lµ trung ®iÓm AC. TÝnh kho¶ng c¸ ch tõ O ®Õ n (SBC) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a; SA ^(ABCD); tan của góc hợp bởi cạnh bên SC và mặt phẳng chứa đáy bằng 3 2 4 . a) Chứng minh tam giác SBC vuông b) Chứng minh BD ^ SC và (SCD)^(SAD) c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCB) Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. a) Chứng minh MN^BD. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC theo a. Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, Hai góc ABC và BAD bằng 900, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. a) Chứng minh tam giác SCD vuông b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a , SA = a và SA ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh (SAC) ^ (SMB). b) Tính diện tích tam giác NIB. Bài 7. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA^ (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC, a) Tính diện tích tứ giác BCNM. b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC). Bài 8. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 52a và góc BAC = 1200. Gọi M là trung điểm của cạnh CC’. a) Chứng minh MB^MA’ . b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BM). Bµi 9: Cho h×nh chã p S.ABCD cã ®¸ y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹ nh a. MÆt bªn SAB lµ tam gi¸ c ®Òu, 2SC a= . Gä i H vµ K lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ AD a) Chø ng minh r»ng SH ^ (ABCD) b) Chø ng minh AC ^ SK vµ CK ^ SD Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mp(SBC) và (ABC) bằng 600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC). Bài 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA’ = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA’ và BC’. a) Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của các đường thẳng AA’ và BC’. b) Tính diện tích tam giác A’BC’ và góc giữa hai đường thẳng AC’ và BB’ 6 ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2010 - 2011 Thời gian làm bài : 90 phút A. PHẦN CHUNG (Dành cho tất cả các học sinh) Câu 1: (3 điểm) Tính các giới hạn sau: a/ 3 2 3 3 4 5 lim 4 3 2 n n n n - + + - b/ 2 2x 2 2x x 10 lim x 4®- - - - c/ lim 2(3 9 7 1) x x x x ®-¥ + - + Câu 2: (1 điểm) Cho hàm số: 2 7 12 ( ) 3 3 2 x x f x x x ì - + ï= -í ï -î Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định. Câu 3: (3 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của hình vuông. 1. Chứng minh ( ),SO ABCD BD SA^ ^ . 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Chứng minh ( ) ( )SMN SBC^ 3. Tính tan của góc giữa (SAB) và mặt đáy (ABCD). B. PHẦN TỰ CHỌN (Dành riêng cho học sinh từng ban) Học sinh học Ban nào chọn phần dành riêng cho Ban học đó I. Dành cho học sinh Ban nâng cao. Câu 4A (1 điểm) Ba số dương có tổng bằng 9, lập thành một cấp số cộng. Nếu giữ nguyên số thứ nhất và số thứ hai, cộng thêm 4 vào số thứ ba thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. Câu 5A (1 điểm) a) Chứng minh đạo hàm của hàm số sau không phụ thuộc vào x: 6 6 23y sin x cos x cos 2x 4 = + - b) Cho hàm số 2 5 2 x y x + = - . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết ttiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) : 9 22y x= - + . II. Dành cho học sinh Ban cơ bản. Câu 4B (1 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 1 3 x y x + = - b) 33 3 os 5 .y sin x c x x= - + Câu 5B Cho hàm số 3 2 2 1 3 2 x x y x= + - + . a) (1điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị với trục tung. b) (1điểm) Giải bất phương trình: ' 2y ³ nếu 3¹x nếu x = 3 7 I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) n n n n 3 3 2 2 3 1lim 2 1 + + + + b) x x x0 1 1lim ® + - Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1: x x khi xf x x m khi x 2 1( ) 1 1 ì -ï ¹= í - ï =î Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y x x2.cos= b) y x x2( 2) 1= - + Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng AI ^ (MBC). b) (1,0 điểm) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC). c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI). II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau: 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm: x x x5 4 35 3 4 5 0- + - = Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số y f x x x x3 2( ) 3 9 5= = - - + . a) Giải bất phương trình: y 0¢ ³ . b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1. 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 3 nghiệm: x x3 19 30 0- - = Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y f x x x x3 2( ) 5= = + + - . a) Giải bất phương trình: y 6¢ £ . b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6. ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 8 Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) x x x x23 3lim 2 15® - + - b) x x x1 3 2lim 1® + - - Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1: x x khi xf x x a khi x 2 2 1( ) 1 1 1 ì - -ï ¹ -= í + ï + =î Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y x x x2 2( )(5 3 )= + - b) y x xsin 2= + Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ^ (ABCD). a) Chứng minh BD ^ SC. b) Chứng minh (SAB) ^ (SBC). c) Cho SA = a 6 3 . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). II. Phần riêng 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: x x x5 2 2 1 0- - - = Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y x x x3 22 5 7= - + + - có đồ thị (C). a) Giải bất phương trình: 2 6 0y¢ + > . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 1= - . 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: x x x4 24 2 3 0+ - - = Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y x x2( 1)= + có đồ thị (C). a) Giải bất phương trình: y 0¢ £ . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y x5= . ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11