Đề khảo sát chất lượng chuẩn bị thi đại học cao đẳng lần II năm học 2012-2013 môn: toán a. thời gian: 180 phút ( không kể giao đề)

TRƯỜNG THPT THANH THỦY ĐỀ KSCL CHUẨN BỊ THI ĐH-CĐ LẦN II NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán A.Thời gian:180 phút ( Không kể giao đề) . I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 2 3 (1) 1 x y x + + . 1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1). 2) Tìm m để đường thẳng ( ) : 3d y x m= + + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A hợp với (d) một gócj mà 3cos 34 j biết điểm A có hoành độ dương. Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình 21cos 2 1 cos tan . tan 2 1 x x x x Ê ˆ+ =Á ˜+Ë ¯ . Câu 3( 1 điểm) Giải bất phương trình 3 23 2 1 1 3 2x x x x+ - £ + + . Câu 4 (1 điểm) Tính tích phân: ( )2 sin 0 1 sin 2xI e xdx p = +Ú Câu 5 (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B.Biết 2 2AD AB BC= = , diện tích tam giác BCD bằng 2 2 a , hình chiếu của S lên đáy là trung điểm cạnh CD và góc hợp bởi SC và đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB. Câu 6 (1 điểm) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn: 3x y z+ + = . Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 x y z x y y z z x + + ≥ + + + + + + + + + II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc Phần B)) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác hình chữ nhật ABCD có 2AB AD và đường tròn đường kính AB là ( ) ( )2 2( ) : 1 1 4C x y- + + = . Viết phương trình đường thẳng AC biết trung điểm của CD nằm trên đường thẳng ( ) : 2 0x yd + + = . Câu 8a (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3 0P x y z+ + - = , đường thẳng 1 2 ( ) : 1 1 1 x y z d - -= =- . Gọi A là giao điểm của (d) và (P). Viết phương trình đường thẳng đi qua ( )2;1;1E và lần lượt cắt (d) tạiM, cắt (P) tại B sao cho tam giác MAB là tam giác cân tại M. Câu 9a (1 điểm) Biết 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình ( )2 4 6 6 2z iz z i+ + = + . Tính 1 2z z- . B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elips 2 2 ( ) : 1 25 9 x y E + = . Một hình chữ nhật MNPQ có các đỉnh nằm trên (E) và hai đường chéo của hình chữ nhật hợp nhau góc 060 . Tìm tọa độ đỉnh M biết 0, 0M Mx y> > Câu 8b (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 1 0P x y z+ - + = và đường thẳng 1 ( ) : 1 x t d y t z = +Ï Ô = -Ì ÔÓ . Trên mặt phẳng (P) lấyđiểm ( )1; 1; 0A - . Hãy viết phương trình đường thẳng qua A và nằm trên (P) sao cho khoảng cách giữa đường thẳng này và (d) lớn nhất. Câu 9b (1 điểm) Có 12 nhà khoa học gồm các nghành Toán học (4 người), Vậ Lí (3 người), Hóa học ( 5 người). Chọn ra ngẫu biên 4 nhà khoa học để lập Hội đồng khoa học. Tính xác suất để trong 4 người được chọn ra nghành nào cũng có ít nhất 1 người. Thí sinh làm bài nghiêm túc. Giám thị không giải thích thêm. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm Câu 1 (2 ,0) 1) Học sinh làm đúng, đủ các bước cho điểm tối đa. 2) Phương trình hoành độ giao điểm: ( )22 3 3 ( 2) 0, 1 1 x x m x m x m x x + = + + € + + + = π -+ . Ta có: 2 4 0mD = + > nên phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt. Giả sử tiếp tuyến tại ( )0 0;A x y và có hệ số góc k thì tiếp tuyến này có vtpt là = - ; mà góc hợp bởi tiếp tuyến và (d) bằng j nên 2 2 2 2 2 .1 ( 1).( 1) 13 cos 34( 1) . 1 ( 1) 2. 1 k k k k j + - - += € = + - + - + ( ) ( )22 2 4 9 1 17 1 8 34 8 0 1 4 k k k k k k = -È Í€ + = + € + + = € Í = - Î . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 4 1 4 1 1 1 4 4 f x x f x x È¢È = - + =ÍÍ € ÍÍ ¢ = - + = -Í ÍÎ Î . Nhưng 0 0x > nên chỉ có 0 1x thoả mãn. Khi đó tiếp điểm là 5 31; ( ) 2 2 A d mÊ ˆŒ  = -Á ˜Ë ¯ 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 2 (1,0) Điều kiện: Vì cos 1tan .tan 2 1 cos .cos 2 cos 2 x x x x x x + = = nên điều kiện là: cos .cos2 0x x π Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 cos 2 1 1 co 2 cos 2 cos 2 2cos 2 cos 2 1 0 1 2 cos 2 2 x x x x x x x = -È+ Í+ = € + - = € Í Î +) Với cos 2 1 ( ) 2 x x k loai p p= -  = + +) Với (1 6cos 2 , 2 6 x k x k x k p p p p È = - +Í =  ŒÍ Í = +ÍÎ . KL: Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm (6 , 6 x k k x k p p p p È = - +Í ŒÍ Í = +ÍÎ . 0,25 0,25 0,25 0,25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Câu Nội dung Điểm Câu 3 (1,0) Đặt 3 2 1x y+ = thì khi viết lại bất phương trình thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 33 32 1 1 1 2 1 2 1 1 1x x x x x x x+ £ + + + € + + + £ + + + ta sẽ có: ( ) ( )33 1 1y y x x+ £ + + + (*) Xét hàm số: 3( )f t t t= + có 2( ) 3 1 0f t t t¢ = + > " Œ nên hàm số đồng biến trên ( );-• +• ; mà (*) chính là ( ) ( 1)f y f x£ + nên 1y x£ + . Khi đó: ( ) ( )3 23 0 2 1 1 2 1 1 3 1 0 3 5 3 5 2 2 x x x x x x x x x ≥È Í+ £ + € + £ + € + + ≥ € - - - +Í £ £ÍÎ . KL: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 3 5 3 5 2 2 S È ˘- - - + Í ˙ Î ˚ 0,5 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 4 (1,0) Ta có: ( )2 2 2sin sin 0 0 0 1 1 sin 2 sin 2 2 .sin (sin ) cos2 2 1 22 2 0 x xI e xdx xdx e xd x x J J p p p p = + = + = - + = +Ú Ú Ú Tính 2 sin 0 .sin (sin )xJ e xd x p Ú . Đặt sin (sin ) ; 0 0, 12t x d x dt x t x t p=  = =  = =  = nên ta có: ( ) ( ) 1 1 0 0 1 1 . . . 1 0 0 t t t t tJ t e dt t e e dt t e e= = - = - =Ú Ú . KL: Vậy 1 2 3I J= + = . 0,5 0,5 Câu Nội dung Điểm Câu 5 (1,0) +) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Ta có: 2 1 1 . 2 2 S AB BC AB AB a . Từ đó ta có: , 2AB BC a AD a= = = và dễ dàng suy ra được 2CD a . Gọi H là trung điểm CD, từ giả thiết suy ra góc hhọp bới SC và mặt đáy chính là góc 060SCH . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Trong tam giác vuông SHC suy ra: 0 2 6.tan 60 . 3 . 2 2 a a SH HC= = = Suy ra: 3 . 1 6 . ... ( ) 3 4S ABCD ABCD a V SH S dvtt= = = . +) Tính khoảng cách giữa AB và SD. Gọi E là đỉnh thứ tư của hình bình hành BADE thì AB//ED nên / /( )AB SDE . Do đó khoảng cách giữa AB và SD bằng khoảng cách từ trung điểm M của AB đến mặt phẳng (SDE). Lấy N là trung điểm cạnh DE thì dễ có M, H, N thẳng hàng và 4MN HN ; Do đó ( ) ( ), ( ) 4 , ( )d M SDE d H SDE . Ta có: ( ) ( ) ( ) ED SH ED SHN SED SHN ED HN ^Ï  ^  ^Ì ^Ó . Trong tam giác vuông SHN hạ HK SN^ thì: ( ),( )HK d H SDE và 2 2 2 1 1 1 3 ... 14 HK a HK HS HN = + =  = . Vậy khoảng cách cần tìm là: 4 62 7 HK a . 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 6 (1,0) Vói hai bộ 3 số dương a, b, c và x, y, z bằng quy đồng rồi khai triển và áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta chứng minh được: ( ) 22 2 2 a b ca b c x y z x y z + ++ + ≥ + + (*) mà: 3 3 3 4 2 2 2 2 4 4 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 x y z x x y y z z x x x x y y z y y y z z x + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Áp dụng BĐT (*) ta có: 4 4 4 2 2 22 1 2 1 2 1 x y z x x x y y y y z z z z x + + ≥ + + + + + + + + + ( )22 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 x y z x y z x x y y y z z z x + + ≥ + + + + + + + + + + + Mà 2 2 2 2 4 2 1 5 2 12 1 4 4 x x y x y x x y + + + + ++ + £ = , suy ra: 0,25 0,25 H A D B C S E N M K www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com ( )2 2 22 2 2 5 2( ) 32 1 2 1 2 1 4 x y z x y z x x y y y z z z x + + + + + + + + + + + + + + £ . Do đó: ( ) ( )( ) 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 4 5 212 1 2 1 x y z x y z x y zx y z x x y y y z + + + + ≥ + + ++ + + + + + + + Dễ chứng minh được ( ) ( )22 2 2 2 2 23 9 3x y z x y z x y z+ + ≥ + + =  + + ≥ . Đặt 2 2 2 1t x y z= + + ≥ , ta có ( ) ( ) 24 1 3 4 7 0 5 21 t t t t ≥ € - + ≥+ Đúng. Suy ra điều phải chứng minh. 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 7a (1,0) Gọi I là tâm của đường tròn (C) và M là trung điểm cạnh CD thì 0 0 045 45 90AMB AMI IMB= + = + = nên điểm M nằm trên đường tròn (C). Do đó M là giao đi (C). Giải hệ: ( ) ( )2 2 2 0 1 1 4 x y x y + + =ÏÔÌ - + + =ÔÓ ta suy ra: È Í Î Gọi J là trung điểm IM thì ( )( ) 0; 1 1; 2 J J -È Í -Î , khi đó AC là đường thẳng qua J và hợp với IM góc j mà 1cos 5 j . TH1: : 1 0IM y + = , giả sử ( )2 2: ( 1) 0, 0AC ax b y a b+ + = + π . Khi đó: 2 2 2 2 21 4 25 a bb a b a ba b È= € = € Í = -+ Î . Chọn b=1, suy ra: 2 2 a a È Í = -Î . Suy ra: : 2 1 0 : 2 1 0 AC x y AC x y + + =È Í - + + =Î TH2: : 1 0IM x+ = , giả sử ( )2 2: ( 1) ( 2) 0, 0AC a x b y a b- + + = + π . Khi đó: 2 2 2 2 21 4 25 b aa b a b aa b È= € = € Í = -+ Î . Chọn a=1, suy ra: 2 2 b b È Í = -Î . Suy ra: : 2 3 0 : 2 5 0 AC x y AC x y + + =È Í - - =Î . Vậy có 4 phương trình AC như trên thỏa mãn 0,25 0,25 0,25 0,25 (d) J I B D C A M www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Câu Nội dung Điểm Câu 8a (1,0) Ta lấy điểm ( ) )1 ; ; 2 ( ) 1; 1; 1M t t t d EM t t t+ - + Œ  = - - - + Khi đó đường thẳng EM và đường thẳng (d) cùng hợp với (P) những góc bằng nhau. Do đó: ( ( ) ( ) 2 11cos , cos , 3 3. 3 2 3d P P t u n EM n t t -= € = + + ( )2 23 1 3 2 3 0t t t t- = + + € = . Suy ra: )1; 1;1EM = - - . Vậy đường thẳng cần tìm chính là 2 1 1 : 1 1 1 x y z EM - - -= = - . 0,25 0,5 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 9a (1,0) Viết lại phương trình thành: ( )22 6( 2 ) 10 0z i z i+ - + + = . Đặt 2w z i= + ta có phương trình: ( )22 2 36 10 0 3 3 w i w w w i w i = +È- + = € - = € Í = -Î . Khi đó: 2 3 3 2 3 3 3 z i i z i z i i z i + = + = -È È€Í Í+ = - = -Î Î Vậy 1 2 2 2z z i- = = . 0,25 0,5 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 7b (1,0) Vì hình chữ nhật có hai trục đối xứng cũng là trục đối xứng của (E) nên góc giữa hai đường chéo của hình chữ nhật bằng 600 thì góc hợp bởi OM và chiều dương của trục Ox sẽ là j bằng 300 hoặc 600. +) TH1: 030j thì hệ số góc của OM bằng 0 1tan30 3 3 : 3 OM y x = . 0,25 0,25 (d) (l) (P) A B M E y O x N M QP www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Giải hệ: 2 2 1 25 9 3 , ( , 0) 3 x y y x x y Ï + =ÔÔÌ Ô = >ÔÓ suy ra: 675 675 ; 52 156 M Ê ˆ Á ˜Á ˜Ë ¯ . +) TH2: 060j thì hệ số góc của OM bằng 0tan 60 3 : 3OM y x = . Giải hệ: 2 2 1 25 9 3 , ( , 0) x y y x x y Ï + =ÔÌ Ô = >Ó suy ra: 75 225 ; 28 28 M Ê ˆ Á ˜Á ˜Ë ¯ . KL: Vậy có hai điểm M thóa mãn: 675 675; 52 156 M Ê ˆ Á ˜Á ˜Ë ¯ hoặc 75 225; 28 28 M Ê ˆ Á ˜Á ˜Ë ¯ . 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 8b (1,0) +) Giả sử đã dựng được đường thẳng (l) là đường thẳng cấn tìm, khi đó ta dựng được (Q) chứa (d) và song song với (l). Khi đó khoảng cách giữa (l) và (d) chính bằng khoảng cách từ A đến (Q). Gọi H là hình chiếu của A lên (d), K là hình chiếu của A lên (Q) thì AK AH const£ - . +) Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho lớn nhất khi H K∫ . Khi đó: (l) nằm trên (P) và vuông góc với AH. +) Vì H trên (d) nên ( ) )1 ; ;1 ; 1;1+ -  = - + ; Mà 1 2d = € - = € = . Suy ra: ; ;1 2 2Á ˜Ë ¯ . Suy ra: ( )( )Pl = = -Î ˚ . Vậy ta có 1 1( ) : 5 3 1 x y z l - += = - 0,25 0,5 0,25 (d) (l) (Q) (P) K A H www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Câu Nội dung Điểm Câu 9b (1,0) Gọi biến cố A:” Chọn ra 4 nhà KH mà nghành nào cũng có ít nhất 1 người” thì: TH1: Chọn ra được 1 Toán, 2 lí, 1 Hóa. Suy ra có: 1 2 14 3 5. . 60C C C (cách) TH2: Chọn ra được 1 Toán, 1 lí, 2 Hóa. Suy ra có: 1 1 24 3 5. . 120C C C (cách) TH3: Chọn ra được 2 Toán, 1 lí, 1 Hóa. Suy ra có: 2 1 14 3 5. . 90C C C (cách) Suy ra: 60 120 90 270AW = + + = ; mà 412 495CW = = . Vậy xác suất cần tìm là: 270 6( ) 495 11 AP A W= = = W 0,25 0,25 0,25 0,25 ..HẾT www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com