Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp Trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Quang Trung (Có đáp án)

TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TỔ KHOA HỌC – TỰ NHIÊN LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN - Ngày thi: 10/4/2019 Thời gian làm bài: 150 phút ........................................................................ Bài 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. A = x3 2019x2 2019x 2018 b. B = x4 5x2 4 c. Cho a 5; ab 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a 2 b2 Bài 2. (6,0 điểm) a. Cho a; b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng: M = a5 b5 (a b)5 . b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x2 y2 4x 2y 5 0 x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 c. Giải phương trình . 2010 2012 2011 2013 d. Giải phương trình bậc 4 sau: x4 11x2 4x 21 0 . Bài 3. (4,0 điểm) a. Chứng minh a 2 b2 c2 ab bc ca và a b c 2 3(ab bc ca). với mọi số thực a, b, c. b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương. P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16. Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AC  AB . Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a) Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC. b) Chứng minh: Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC. c) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. d) Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC. ________________Hết________________ \ TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯƠNG TỔ KHOA HỌC – TỰ NHIÊN LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN Bài Sơ lược lời giải Điêm Bài 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. A = x3 2019x2 2019x 2018 b. B = x4 5x2 4 c. Cho a 5; ab 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a 2 b2 A = x3 2019x2 2019x 2018 A = x3 1 2019(x2 x 2019) 0,5 2 2 1a A = (x - 1)(x x 1) 2019(x x 1) 0,5 (1,5) A = x2 x 1 (x 1 2019) A = (x2 + x + 1 )(x 2018) 0,5 B = x4 5x2 4 4 2 2 B = x x 4x 4 0,5 1b B = x2 (x2 1) 4(x2 1) (1,5) 0,5 B = (x2 1)(x2 4) 0,25 B = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) 0,25 Cho a 5; ab 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a 2 b2 Ta có: (x y)2 0 x2 2xy y2 0 x2 y2 2xy . với mọi x; y 0,25 4a2 21a2 Do đó: P = a 2 b2 b2 25 25 (2a)2 21a2 2.b.2a 21a2 4ab 21a2 1c P = b2 P 0,25 52 25 5 25 5 25 (1) Theo đề bài : a 5 a 2 25 ; và ab 10 4.10 21.25 P 0,25 5 25 P 29 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 29. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi 0,25 a = 5; b = 2. Bài 2. (6,0 điểm) a. Cho a; b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng: M = a5 b5 (a b)5 . b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x2 y2 4x 2y 5 0 x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 c. Giải phương trình . 2010 2012 2011 2013 d. Giải phương trình bậc bốn sau: x4 11x2 4x 21 0 . Ta có: a5 b5 (a b) (a5 a) (b5 b) 5 4 2 2 2 Mặt khác: (a a) a(a 1) a(a 1)(a 1) a(a 1)(a 1)(a 1) 0,25 a(a 1)(a 1)(a2 4 5) a a 1(a 1 (a 2)(a 2) 5a(a 1)(a 1) 0,25 2a (a 2)(a 1)a(a 1)(a 2) 5a(a 1)(a 1)Do: (1,5) (a 2)(a 1)a(a 1)(a 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên: (a 2)(a 1)a(a 1)(a 2)5 và 0,25 5a(a 1)(a 1) là bội của 5 nên: 5a(a 1)(a 1)5 0,25 Do đó: a5 a5. Chứng minh tương tự: b5 b5 M 5 0,5 x2 y2 4x 2y 5 0 (x2 4x 4) (y2 2y 1) 0 2b 0,5 (x 2)2 (y 1)2 0 (1,5) 0,5 x 2 và y 1 0,5 x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 Ta có: 2010 2012 2011 2013 x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 0,5 1 1 1 1 2010 2012 2011 2013 x 2015 2010 x 2007 2012 x 2006 2011 x 2018 2013 0,25 2c 2010 2010 2012 2012 2011 2011 2013 2013 (1,5) x 5 x 5 x 5 x 5 1 1 1 1 (x 5)( ) 0 2010 2012 2011 2013 2010 2011 2012 2013 0,25 1 1 1 1 x=5 [do: ( ) 0] 2010 2011 2012 2013 0,25 Vậy nghiệm của phương trình là x = 5. 0,25 2d x4 11x2 4x 21 0 (1,5) x4 10x2 25 (x2 4x 4) 0 0,25 2 2 2 2 2 (x 5) (x 2) 0 (x x 7)(x x 3) 0 2 2 0,25 (x x 7) 0 Hoặc (x x 3) 0 2 TH 1. (x2 x 7) 0 (4x2 4x 28) 0 [(2x)2 2.2x 1) 29 ] 0 2 [(2x 1)2 29 ] 0 (2x 1 29)(2x 1 29] 0 0,25 1 29 1 29 x Hoặc x . 2 2 2 0,25 TH 2. (x2 x 3) 0 (4x2 4x 12) 0 [(2x)2 2.2x 1) 13 ] 0 2 [(2x 1)2 13 ] 0 (2x 1 13)(2x 1 13] 0 1 13 1 13 x Hoặc x . 2 2 0,25 1 29 1 29 1 13 1 13  Vậy tập nghiệm của PT là: S ; ; ;  2 2 2 2  0,25 Bài 3. (4,0 điểm) a. Chứng minh a 2 b2 c2 ab bc ca và a b c 2 3(ab bc ca). với mọi số thực a, b, c. b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương. P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16. 3a a. Chứng minh a 2 b2 c2 ab bc ca và a b c 2 3(ab bc ca). với mọi số thực a, b, c. Ta có: a 2 b2 2ab ; b2 c2 2bc ; c2 a2 2ac Với mọi a, b, c. 0,5 2.0 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được: 2(a 2 b2 c2 ) 2(ab bc ca) a2 b2 c2 ab bc ca (ĐPCM). 0,5 Ta có: (a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 2(ab bc ca) 3(ab bc ca) 0,5 (a b c)2 3(ab bc ca)(ĐPCM). 0,5 3b Ta có: P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16. P (x 5)(x 11)(x 7)(x 9) + 16. 0,5 2 2 2.0 P (x 16x 55)(x 16x 63)+ 16. 0,5 2 2 2 P (x 16x 55) 8(x 16x 55)+ 16. 0,25 2 2 2 2 P (x 16x 55) 2(x 16x 55).4+ 4 . 0,25 P (x2 16x 59)2.Vơi x là số nguyên thì P là một số CP. 0,5 Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AC  AB . Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a. Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC. b.Chứng minh: Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC. c.Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. d. Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC. 0.5 I 0.5 K 1 B H Q P 1 A C S 4.a Chứng minh: ABC KPC ( G.G) 1 1 đ 4b Chứng minh: AKC S BPC 1.5 AC BC AC KC Ta có: ABC S KPC ( Cmt) Và ·ACB B· CK 1 KC PC BC PC Do đó: AKC S BPC ( C.G. C) 0.5 4c . Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. 1.5 PB Ta có: AQ KQ (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam 0,75 2 giác vuông). Lại có: HK HA (Giả thiết). Do đó: QH là đường trung trực của AK. 0,75 d. Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC. 4d Ta có: AKC S BPC (cmt) B· PC ·AKC 0 0 (1.5) mà ·AKC 45 ( Do tam giác HKC vuông cân tại H) B· PC 45 S 0 Mặt khác: B· HQ K· HQ 45 (HQ là đường trung trực của đoạn thẳng AK) 0,25 0 B· HQ B· PC 45 S Xét : 0,5 và BPC có. BHQ S H· BQ P· BC ( Q BP;H BC ) 0 0.5 S B· HQ B· PC 45 . Do đó: BHQ BPC ( G.G) S 0.25 S S S S S