Đề kiểm tra học kì I môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Dịch Vọng (Có đáp án)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2018 − 2019 TRƯỜNG THCS DỊCH VỌNG MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 90 phút. Bài 1. (2,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 y+ 10 xy b) x2−2 xy + y 2 − 25 c) x3 −8 + 2 x ( x − 2) d) x4+ x 2 y 2 + y 4 Bài 2. (2,0 điểm) 1) Tìm x biết: a) x( x− 3) + 5 x = x 2 − 8 b) 3(x+ 4) − x2 − 4 x = 0 c) 7x3+ 12 x 2 − 4 x = 0 2) Tìm a sao cho đa thức x4− x 3 +6 x 2 − x + a chia hết cho đa thức x2 − x + 5 Bài 3. (2,0 điểm) Thực hiện phép tính x2 +2 2 x + 2 a) −(x , y ≠ 0) 2xy3 2 xy 3 4 1 13x− x 2 b) − +(x ≠ ± 5) x−5 x + 5 25 − x 2 Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB< AC , đường cao AH . Gọi I là trung điểm của AB . Lấy điểm K đối xứng với B qua H . Qua A dựng đường thẳng song song với BC cắt HI tại D a) Tứ giác AKHD là hình gì? Chứng minh? b) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật. Từ đó tính diện tích của tứ giác AHBD nếu AH=6 cm ; AB = 10 cm c) Tam giác vuông ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác AHBD là hình vuông? d) M là điểm đối xứng với A qua H . Chứng minh AK⊥ CM Bài 5. (0,5 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức 5x2+ 8 xy + 5 y 2 + 4 x − 4 y + 8 = 0 Tính giá trị của biểu thức: P=( x + y )8 + ( x + 1) 11 + ( y − 1) 2018 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. (2,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 y+ 10 xy =5xy ( x + 2) b) x2−2 xy + y 2 − 25 =(x2 − 2 xy + y 2 ) − 25 =(x − y )2 − 5 2 =(x − y − 5)( x − y + 5) c) x3 −8 + 2 x ( x − 2) =(x3 − 8) + 2 x ( x − 2) =(x3 − 2 3 ) + 2 x ( x − 2) =(x − 2)( x2 + 2 x + 4)2( + x x − 2) =(x − 2)( x2 + 2 x + 4 + 2 x ) =(x − 2)( x2 + 4 x + 4) =(x − 2)( x + 2)2 d) x4+ x 2 y 2 + y 4 =x4 +2 x 2 y 2 + y 4 − x 2 y 2 =(x4 + 2 x 2 y 2 + y 4 ) − x 2 y 2 =()()x2 + y 2 2 − xy 2 =(x2 + y 2 − xy )( x 2 + y 2 + xy ) Bài 2. (2,0 điểm) 1) Tìm x biết: a) x( x− 3) + 5 x = x 2 − 8 x( x− 3) + 5 x − x 2 + 8 = 0 x2−3 x + 5 x − x 2 + 8 = 0 2x + 8 = 0 2x = − 8 x = −8 : 2 x = −4 b) 3(x+ 4) − x2 − 4 x = 0 3(x+ 4) − ( x2 + 4 x ) = 0 3(x+ 4) − x ( x + 4) = 0 (x+ 4)(3 − x ) = 0 ⇒x +4 = 0 hoặc 3−x = 0 ⇒x = −4 hoặc x = 3 c) 7x3+ 12 x 2 − 4 x = 0 x.(7 x2 + 12 x − 4) = 0 x(7 x− 2)( x + 2) = 0 x = 0 hoặc 7x − 2 = 0 hoặc x +2 = 0 2 x = 0 hoặc x = hoặc x = −2 7 2) Tìm a sao cho đa thức x4− x 3 +6 x 2 − x + a chia hết cho đa thức x2 − x + 5 x4− x 3 +6 x 2 − x + a x2 − x + 5 − x4− x 3 + 5 x 2 x 2 + 1 x2 − x + a − x2 − x + 5 a − 5 Suy ra: x4− x 3 +6 x 2 − x + a chia hết cho x2 − x + 5 khi a−5 = 0 ⇒ a = 5 Vậy a = 5 thì đa thức x4− x 3 +6 x 2 − x + a chia hết cho đa thức x2 − x + 5 Bài 3. (2,0 điểm) Thực hiện phép tính x2 +2 2 x + 2 a) −(x , y ≠ 0) 2xy3 2 xy 3 x2 +2 − (2 x + 2) = + 2xy3 2 xy 3 x2+ − x − x 2 + − x − =2 + 2 2 = 2 2 2 3 3 3 2xy 2 xy 2 xy x2 − x x x − x − =2 = ( 2) = 2 2xy3 2 xy 3 2 y 3 4 1 13x− x 2 b) − +(x ≠ ± 5) x−5 x + 5 25 − x 2 4− 1x2 − 13 x = + + x−5 x + 5 x 2 − 25 4− 1x2 − 13 x = + + x−5 x + 5 ( x − 5)( x + 5) 4(x+ 5) − 1( x − 5) x2 − 13 x = + + (x− 5)( x + 5) ( x + 5)( x − 5) ( x − 5)( x + 5) 4x+ 20 − 1 x + 5 x2 − 13 x = + + (x− 5)( x + 5) ( x + 5)( x − 5) ( x − 5)( x + 5) 4x+ 20 − x + 5 + x2 − 13 x = (x− 5)( x + 5) x2 −10 x + 25 = (x− 5)( x + 5) (x− 5)2 x − 5 = = (x− 5)( x + 5) x + 5 Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB< AC , đường cao AH . Gọi I là trung điểm của AB . Lấy điểm K đối xứng với B qua H . Qua A dựng đường thẳng song song với BC cắt HI tại D a) Tứ giác AKHD là hình gì? Chứng minh? b) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật. Từ đó tính diện tích của tứ giác AHBD nếu AH=6 cm ; AB = 10 cm c) Tam giác vuông ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác AHBD là hình vuông? d) M là điểm đối xứng với A qua H . Chứng minh AK⊥ CM Lời giải D A I B H K C a) Tứ giác AKHD là hình gì? Chứng minh? Xét ∆IAD và ∆IBH có: IAD= IBH (Hai góc so le trong, AD// BC ) IA= IB() gt AID= BIH (Hai góc đối đỉnh) Do đó: ∆IAD = ∆ IBH(..) g c g ⇒AD = BH (Hai cạnh tương ứng) Mà BH= HK (vì K đối xứng với B qua H ) ⇒AD = HK (1) Ta lại có: AD// HK (vì AD// BC và H, K∈ BC ) (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKHD là bình bình hành (tứ giác có 2 cạnh đối song song và bằng nhau) b) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật. Từ đó tính diện tích của tứ giác AHBD nếu AH=6 cm ; AB = 10 cm D A I B H K C Xét tứ giác AHBD có: AD// BH (vì AD//, BC H∈ BC ) AD= BH() cmt Suy ra tứ giác AHBD là hình bình hành (tứ giác có 2 cạnh đối song song và bằng nhau) 0 Mà AHB = 90 (vì AH⊥ BC ) Do đó: AHBD là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc vuông) Xét ∆AHB vuông tại H , theo định lí Pitago ta có:AB2= AH 2 + HB 2 ⇒HB2 = AB 2 − AH 2 =10 2 − 6 2 = 100 − 36 = 64 ⇒HB = 8 cm = = = 2 Diện tích hình chữ nhật AHBD là: SAHBD AH. BH 6.8 48( cm ) c) Tam giác vuông ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác AHBD là hình vuông? D A I B H K C Hình chữ nhật AHBD là hình vuông khi AH= BH 0 ⇒ ∆AHB cân tại H . Mà AHB = 90 ⇒ ∆AHB vuông cân tại H 0 0 ⇒ABH = BAH = 45 (vì ABH= BAH và ABH+ BAH = 90 ) 0 Ta có: ABH+ ACB = 90 (∆ABC vuông tại A, hai góc nhọn phụ nhau) 0 0 0 0 ACB=90 − ABH = 90 − 45 = 45 0 ⇒ABC = ACB = 45 ⇒ ∆ABC vuông cân tại A Vậy∆ABC vuông cân tại A thì tứ giác AHBD là hình vuông d) M là điểm đối xứng với A qua H . Chứng minh AK⊥ CM D A I C B H K N M 0 Gọi N là giao điểm của AK và CM . Ta chứng minh KNC = 90 Xét ∆ABK có AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên ∆ABK cân tại A ⇒ABK = AKB Mà AKB= CKN (Hai góc đối đỉnh) ⇒ABK = CKN (3) Xét ∆AHC và ∆MHC có: HC là cạnh chung 0 AHC= MHC = 90 HA= HM() gt Do đó: ∆AHC = ∆ MHC(..) c g c ⇒ACH = MCH (Hai góc tương ứng) (4) Từ (3) và (4) suy ra: CKN+ NCK = ABK + ACH 0 Mà ABK+ ACH = 90 (∆ABC vuông tại A, hai góc nhọn phụ nhau) 0 ⇒CKN + NCK = 90