Đề kiểm tra học kì I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Phúc Thọ (Có đáp án)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I UBND HUYỆN PHÚC THỌ NĂM HỌC 2018 − 2019 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1. (2,0 điểm) x + 3 1  x Cho biểu thức M = +  và N = với x>0, x ≠ 9 x − 9 x + 3  x − 3 a) Tính giá trị của biểu thức N khi x = 4 b) Rút gọn biểu thức BMN= : 1 c) Chứng minh B > 3 Câu 2. (2,0 điểm) Giải phương trình a) 4x2 + 4 x + 1 = 6 1 b) 4x+ 20 + x + 5 − 9 x + 45 = 4 3 Câu 3. (2,0 điểm) Cho đường thẳng y=( k + 1) x + k ()d a) Tìm giá trị của k để đường thẳng ()d đi qua điểm A(1;2) b) Tìm giá trị của k để đường thẳng ()d song song với đường thẳng y=2 x + 3 c) Tìm điểm cố định mà ()d luôn đi qua với mọi k Câu 4. (3,5 điểm) Cho AC là đường kính của đường tròn tâm (;)OR . Trên tiếp tuyến tại A của (;)OR , lấy điểm I sao cho IA lớn hơn R . Từ I vẽ tiếp tuyến thứ hai với (;)OR với tiếp điểm là B . Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt đường thẳng BC tại H . a) Chứng minh BC// OI b) Chứng minh rằng tứ giác AOHI là hình chữ nhật c) Tia OB cắt IH tại K . Chứng minh tam giác IOK cân. d) Khi AI= 2 R, tính diện tích tam giác ABC Câu 5. (0,5 điểm) Cho a,, b c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a+ b + c = 1 (1+a )(1 + b )1 + c ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (1−a )(1 − b )1 − c ) HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (2,0 điểm). x + 3 1  x Cho biểu thức M = +  và N = với x>0, x ≠ 9 x − 9 x + 3  x − 3 a) Tính giá trị của biểu thức N khi x = 4 b) Rút gọn biểu thức BMN= : 1 c) Chứng minh B > 3 Lời giải a) Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức N , ta được: 4 2 2 N = = = = −2 4− 3 2− 3 − 1 x+ 3 1  x b) BMN=:: = +  x − 9 x+3  x − 3   x+3 x − 3 x B = +  :   x+3 x − 3 x + 3 x − 3  x − 3 ()() ()()  x+3 + x − 3 x x + x x − 3 B =: = ⋅ ()x+3() x − 3x− 3 () x + 3() x − 3 x x() x+1() x − 3 B = ()x+3() x − 3 x x +1 B = x + 3 1x + 1 1 3()x+ 1 − 1.() x + 3 c) Xét B − = − = + 3x + 3 3 3()x+ 3 3() x + 3 1 3x+ 3 − x − 3 2 x B − = = 3 3()x+ 3 3() x + 3 Mà x > 0 nên x>0 ⇒ 2 x > 0 và 3()x + 3 > 0 1 2 x Do đó: B − = > 0 3 3()x + 3 1 Vậy B > 3 Câu 2. (2,0 điểm) Giải phương trình a) 4x2 + 4 x + 1 = 6 1 b) 4x+ 20 + x + 5 − 9 x + 45 = 4 3 Lời giải a) Điều kiện xác định: x ∈ ℝ 4x2 + 4 x + 1 = 6 ⇔ (2 x + 1)2 = 6 ⇔2x + 1 = 6  5 x = 2x+ 1 = 6  2 x = 5  2 ⇔ ⇔  ⇔  (thỏa điều kiện xác định) 2x+ 1 = − 6 2 x = − 7 − 7   x =  2 −7 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = ;  2 2  b) Điều kiện xác định 4x + 20 ≥ 0  x+5 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 5  9x + 45 ≥ 0 1 4x+ 20 + x + 5 − 9 x + 45 = 4 3 1 ⇔4(x + 5) + x + 5 − 9( x + 5) = 4 3 1 ⇔2x + 5 + x + 5 − ⋅ 3 x + 5 = 4 3 ⇔2x + 5 + x + 5 − x + 5 = 4 ⇔2x + 5 = 4 ⇔x +5 = 2 ⇔x +5 = 4 x = −1 (thỏa điều kiện x ≥ −5) Vậy tập nghiệm của phương trình là S ={} −1 Câu 3. (2,0 điểm) Cho đường thẳng y=( k + 1) x + k ()d a) Tìm giá trị của k để đường thẳng ()d đi qua điểm A(1;2) b) Tìm giá trị của k để đường thẳng ()d song song với đường thẳng y=2 x + 3 c) Tìm điểm cố định mà ()d luôn đi qua với mọi k Lời giải a) Vì đường thẳng ()d đi qua điểm A(1;2) nên thay x=1; y = 2 vào phương trình: y=( k + 1) x + k , ta được: 2= (k + 1).1 + k ⇔2 =k + 1 + k ⇔2k = 1 1 ⇔k = 2 b) Đường thẳng ()d song song với đường thẳng y=2 x + 3 khi k +1 = 2  ⇔k = 1 k ≠ 3 Vậy k = 1 thì đường thẳng ()d song song với đường thẳng y=2 x + 3 c) Gọi M(;) x0 y 0 là điểm cố định mà ()d luôn đi qua Thay x= x0; y = y 0 vào phương trình y=( k + 1) x + k , ta được: y0=( k + 1) x 0 + k ⇔ kx 0 + x 0 + k = y 0 ⇔kx0 + x 0 + k − y 0 = 0 ⇔k( x0 + 1) + x 0 − y 0 = 0 (1) x+1 = 0  x = − 1  x = − 1 Để (1) luôn đúng với mọi k ⇔0 ⇔  0 ⇔  0 x− y =0 x = y y = − 1 0 0  0 0  0 Vậy ()d luôn đi qua điểm cố định M(− 1; − 1) với mọi k Câu 4. (3,5 điểm) Cho AC là đường kính của đường tròn tâm (;)OR . Trên tiếp tuyến tại A của (;)OR , lấy điểm I sao cho IA lớn hơn R . Từ I vẽ tiếp tuyến thứ hai với (;)OR với tiếp điểm là B . Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt đường thẳng BC tại H a) Chứng minh BC// OI b) Chứng minh rằng tứ giác AOHI là hình chữ nhật c) Tia OB cắt IH tại K . Chứng minh tam giác IOK cân. d) Khi AI= 2 R, tính diện tích tam giác ABC Lời giải a) Chứng minh BC// OI I H K B E A C O Xét (;)OR có AI và BI là các tiếp tuyến cắt nhau tại I nên IA= IB Ta lại có: OA= OB = R Do đó: OI là đường trung trực của đoạn thẳng AB ⇒OI ⊥ AB Vì ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AC nên ABC = 900 ⇒AB ⊥ BC OI⊥ AB   ⇒ BC// OI BC⊥ AB b) Chứng minh rằng tứ giác AOHI là hình chữ nhật Xét tứ giác AOHI có: IAO = 900 (vì AI là tiếp tuyến của (;)OR tại A) (1) AOH = 900 (vì OH⊥ AC ) (2) Xét ∆AIO và ∆OHC có: IAO = HOC = 900 OA= OC = R IOA = HCO (Hai góc đồng vị, BD// OI ) Do đó: ∆AIO = ∆ OHC(..) g c g ⇒IO = HC (Hai cạnh tương ứng) Mà IO// HC ⇒ Tứ giác IOCH là hình bình hành. ⇒ IH// OC hay IH// AC (vì O là trung điểm của AC ) IH// AC  0  ⇒IH ⊥ OH ⇒ OHI = 90 (3) OH⊥ AC  Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác AOHI là hình chữ nhật.