Đề kiểm tra học kì II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa (Có đáp án)

UBND QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN TOÁN – LỚP 9 Đề chính thức Thời gian làm bài : 90 phút Ngày kiểm tra : 18 tháng 4 năm 2018 Bài I. (2,5 điểm) 21x xx 3 4 1 Cho biểu thức A và B với xx 0, 4 x x 22 x x a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 b) Rút gọn biểu thức B B c) Cho P . Tìm x để PP A Bài II. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự kiến. Trong thực tế, do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản phẩm, vì vậy không những họ đã làm được 80 sản phẩm mà còn hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp đó sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Bài III. (1,5 điểm) Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2m 1 x 2m 1) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m1 2) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M x1 ; y 1 ; N x 2 ; y 2 sao cho y y x x 1 1 2 1 2 Bài IV. (3,5 điểm) Cho điểm M cố định nằm bên ngoài đường tròn (O;R). Qua M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (với A và B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm bất kì trên cung nhỏ AB của đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB, MA, MB. 1) Chứng minh bốn điểm A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn. 2) AC cắt DE tại P, BC cắt DF tại Q. Chứng minh PAE đồng dạng với PDC suy ra PA.. PC PD PE . 3) Chứng minh AB // PQ. 4) Khi điểm C di động trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì trọng tâm G của tam giác ABC di chuyển trên đường nào? Bài V. (0,5 điểm) Cho các số thực abc,, thỏa mãn a b c 7; ab bc ca 15 11 Chứng minh rằng : a . 3 HDG: Bài I. (2,5 điểm) 21x xx 3 4 1 Cho biểu thức A và B với xx 0, 4 x x 22 x x d) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 e) Rút gọn biểu thức B B f) Cho P . Tìm x để PP A Hướng dẫn giải: a) Thay x 9 (Thỏa mãn điều kiện x 0 ) vào biểu thức A, ta có: 2 9 1 A 9 2.3 1 A 3 7 A 3 7 Vậy, x 9 thì A 3 b) Rút gọn: xx 3 4 1 B x 22 x x xx 341 B x( x 2) x 2 x 34 x x B xx( 2) xx 44 B xx( 2) 2 x 2 B xx( 2) x 2 B x B x 2 2 x 1 x 2 c) P : A x x21 x x 2 PPP 00 21x Mà 2x 1 0 với mọi xx 0, 4 nên: x 2 0 x 2 0 x 2 x 4 21x Vậy để PP thì 04 x Bài II. (2,0 điểm)Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự kiến. Trong thực tế, do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản phẩm, vì vậy không những họ đã làm được 80 sản phẩm mà còn hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp đó sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Hướng dẫn giải: Gọi số sản phẩm xí nghiệp sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch là x (sản phẩm)đk: x N*; x 0 thì số sản phẩm xí nghiệp sản xuất trong 1 ngày ở thực tế là x 5 (sản phẩm). 75 Số ngày theo kế hoạch là: (ngày) x 80 Số ngày trong thực tế là: (ngày). x 5 Vì trong thực tế xí nghiệp hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình: 75 80 1 75(x 5) 80 x x ( x 5) xx 5 xx2 10 375 0 x 15 (TMĐK) hoặc x 25(loại). Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xí nghiệp đó sản xuất 15 sản phẩm. Bài III. (1,5 điểm) Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2m 1 x 2m 1) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m1 2) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M x1 ; y 1 ; N x 2 ; y 2 sao cho y1 y 2 x 1 x 2 1 Hướng dẫn giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) : x2 2m 1 x 2m x2 2m 1 x 2m 0 * a) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m1 Thay m1 vào phương trình (*) x2 3x 2 0 x 1 y 1 x 2 y 4 Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là 1;1 & 2;4 b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt M x1 ; y 1 ; N x 2 ; y 2 sao cho y1 y 2 x 1 x 2 1 Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt 0 2m 1 22 8m 2m 1 0  m 1 0m 2 x12 x 2m 1 Áp dụng định lý Viet: x12 x 2m 2 yx11 M, N P 2 yx22 y1 y 2 x 1 x 2 1 22 x1 x 2 x 1 x 2 1 2 x1 x 2 3x 1 x 2 1 2m 1 2 6m 1 4m2 2m 0 2m 2m 1 0 m 0 TM 1 m KTM 2 m0 M x ; y ; N x ; y Vậy để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt 1 1 2 2 sao cho y1 y 2 x 1 x 2 1 Bài IV. (3,5 điểm) Cho điểm M cố định nằm bên ngoài đường tròn (O;R). Qua M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (với A và B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm bất kì trên cung nhỏ AB của đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB, MA, MB. 1) Chứng minh bốn điểm A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn. 2) AC cắt DE tại P, BC cắt DF tại Q. Chứng minh PAE đồng dạng với PDC suy ra PA.. PC PD PE . 3) Chứng minh AB // PQ. 4) Khi điểm C di động trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì trọng tâm G của tam giác ABC di chuyển trên đường nào? Hướng dẫn giải: A E P O M D C Q F B 1) Tứ giác ADCE có: ADC AEC 900 90 0 180 0 Mà 2 góc ở vị trí đối nhau => Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn => bốn điểm A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn. 2) Xét PAE và PDC có: APE CPD (đối đỉnh); PAE PDC (góc nội tiếp chắn EC ) PA PE => PAE PDC (g.g) => (cạnh tương ứng) => PA.. PC PD PE PD PC 3) - CM: Tứ giác DCFB có: BDC BEC 900 90 0 180 0 Mà 2 góc ở vị trí đối nhau => Tứ giác DCFB nội tiếp đường tròn 11 - Có: APD sd AD sd EC ACD EAC 24 11 CQD sdCD sd BF DBC BCF 24 Mà ACD BCF (cùng phụ với DAC ) ; EAC DBC (cùng chắn AC ). => APD CQD => Tứ giác DPCQ nội tiếp => CPQ CDQ (cùng chắn CQ ). Mà CDQ CBF CAB => CPQ CAB => AB// PQ 4) A E P C D G I M N O Q F B Gọi G là trọng tâm ABC CG 2 NG 1 N OM  AB CN 3 NC 3 Từ G dựngGI / /OC I OM GI NG NI 1 1 1 IG OC R không đổi OC NC NO 3 3 3 NI 1 Mà , do M,O,A,B cố định nên N cố định I cố định NG 3 1 Vậy trọng tâm G của ABCchuyển động trên I; R cố định 3 Bài V. (0,5 điểm) Cho các số thực abc,, thỏa mãn a b c 7; ab bc ca 15 11 Chứng minh rằng : a . 3 Hướng dẫn giải: abc 7 b c 7 a Ta có: 1 ab bc ca 15 a b c bc 15 2 2 2 Với hai số thực bc, ta luôn có: b c 4 bc b c 0 b c 4 bc 2 . 2 Từ 1 và 2 , ta được: 60 4a b c 4 bc 4 a 7 a 7 a 3a2 14110 a a 13110 a 11 1 a . 3