Đề tài Giải pháp hữu ích rèn luyện kỹ năng vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán đại số 8 và 9

GIẢI PHÁP HỮU ÍCH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 8 & 9 A) ĐẶT VẤN ĐỀ: Toán học có một vai trò rất quan trọng trong đời sống và các ngành khoa học, là chìa khóa mở cửa tạo nền cho các ngành khoa học khác, nó có khả năng to lớn trong việc phát triển trí tuệ của học sinh thông qua việc rèn luyện các tư duy hình thành các kỹ năng kỹ xảo và phát huy tính tích cực trong học tập. Do đó nó đòi hỏi ở người thầy giáo một sự lao động nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh giải các bài toán là nhiệm vụ trung tâm của người thầy dạy toán. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một bộ phận của phân môn đại số 8 nhưng nó áp dụng xuyên suốt trong quá trình học từ lớp 8 trở lên. Từ đó nếu học sinh không nắm được phương pháp nhớ và vận dụng thì việc học thành việc học “vẹt” không vận dụng được trong giải toán . Qua những năm thực tế giảng dạy môn đại số 8, phần lớn học sinh học thuộc các hằng đẳng thức đáng nhớ nhưng trong thực hành về chiều rộng lẫn chiều sâu thì học sinh không vận dụng được để đi đến kết quả như mong muốn. Phần trắc nghiệm khách quan, tự luận về thông hiểu và vận dụng học sinh đạt kết quả chưa cao. Chính vì lý do đó nên cần định hướng học sinh giải các bài toán có áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ nhằm hình thành tư duy lôgic, khả năng tổng hợp phân tích, tìm ra hướng giải, định hướng đúng bài toán nhằm phát huy tính thông minh,sáng tạo của học sinh để đi đến kết quả nhanh gọn mà đảm bảo tính chính xác, rèn luyện khả năng vận dụng trong thực tế một cách thông minh, nhanh nhẹn. Loại bỏ những bước giải rườm rà nhằm tạo sự tự tin khi làm toán. Làm tiền đề cho môn học đại số, tạo căn bản để học lên những lớp trên, làm cho các em tự tin học môn toán cũng nhẹ nhàng như học các môn khác. Vì vậy để giúp học sinh thích thú say mê học dạng toán này,từ đó giúp học sinh học tốt môn đại số góp phần nâng cao chất lượng môn toán.Tôi xin đưa ra một số giải pháp nhằm giúp các em có phương pháp học và làm toán, nắm được các kiến thức cơ bản, cách tư duy và phương pháp sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức vào giải toán ở môn đại số lớp 8 và lớp 9. Từ đó tạo tạo điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt những kiến thức liên quan sau này. B) THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN: 1/ Thực trạng: +Với ý nghĩa và tầm quan trọng của việc vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán cùng với thực tế giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy rằng: Đối với lớp 8 khi học xong các hằng đẳng thức đáng nhớ hầu hết các em đã ghi lại được nội dung của bảy hằng đẳng thức nhưng khi cho các em làm bài tập vận dụng thì chỉ có một số học sinh khá giỏi mới hứng thú còn lại học sinh trung bình, yếu thì rất ngượng ngập, không tìm ra lời giải, chưa chịu khó suy nghĩ, chứng tỏ kiến thức còn mang tính nhồi nhét thụ động, đứng trước một bài toán tự mình giải còn chưa có niềm tin. Bên cạnh đó còn một số học sinh chán nản tỏ ra sợ môn toán mỗi khi học tiết toán. Đối với lớp 9 đa số học sinh hiện nay cũng chưa hiểu và nắm chắc các hằng đẳng thức để có thể vận dụng linh hoạt vào giải các dạng toán. Kết quả là nhiều bài tập phần căn thức bậc hai dạng không làm được hoặc giải sai. +Khả năng nhận dạng các hằng đẳng thức và vận dụng nó để khai triển các lũy thừa, phân tích cuả học sinh rất yếu hoặc nếu nhận dạng nhưng trong quá trình biến đổi học sinh còn nhiều sai sót, nhầm lẫn và đi đến kết quả sai. Ví dụ: (2x + 3y)2 =2x2 + 2.2x.3y + 3y2 ; sai lầm ở đây:( 2x)2; ( 3y)2 +Nhiều học sinh không phân biệt giữa các hằng đẳng thức như: “Bình phương của một hiệu và hiệu hai bình phương ”, “tổng hai lập phương và lập phương của một tổng ”, cũng như “Hiệu hai lập phương và lập phương của một hiệu ”. Ví dụ: Khi khai triển các hằng đẳng thức thường nhầm lẫn như sau: (x–3)2 = x2–32 (x–3)3 = x3–33 (x+3)3 = x3+33 +Bên cạnh đó nhiều học sinh hổng kiến thức về thu gọn đa thức, khai triển lũy thừa nên khi vận dụng khai triển học sinh không tiếp tục thực hiện các phép tính tiếp theo là lũy thừa để thu gọn. Ví dụ:Khi khai triển (2x+y)2 = (2x)2 +2.2x.y+y2 học sinh dừng lại ở đây. 2/ Nguyên nhân: Trong chương trình cải cách sách giáo khoa hiện nay thì không phải bất cứ người học nào cũng có thể đáp ứng được những yêu cầu sách đưa ra, nhất là đối với những đối tượng là học sinh ở vùng sâu, vùng xa, ở địa phương có điều kiện kinh tế khó khăn nói chung và học sinh trường THCS Phước Cát 1 nói riêng. Địa bàn cư trú rộng, xa trường kinh tế gia đình không ổn định, còn khó khăn nên ít nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của các em. Bên cạnh đó còn nhiều nguyên nhân khác như: Đối với học sinh: +Do đặc thù của môn toán là một môn học đòi hỏi học sinh phải tư duy liên tục, phải có tính cần cù nhẫn nại, học phải đi đôi với hành nhưng phần lớn học sinh không đáp ứng được yêu cầu đó. Do đó nhiều học sinh bị mất căn bản từ lớp dưới đặc biệt là các phép toán nhân chia cá lũy thừa, thu gọn đa thức,…. +Bên cạnh đó, một số học sinh còn ham chơi, lười học, ngồi trong lớp chưa tập trung còn có tâm lí chán nản và sợ học môn toán. Khi kiểm tra các em về lí thuyết thì có vẻ như thuộc và hiểu bài nhưng khi yêu cầu làm bài tập vận dụng thì rất lúng túng và khó khăn khi trình bày. Cách học của các em là nhồi nhét, học thụ động, học để chống đối sự kiểm tra của giáo viên. Đối với giáo viên: +Trong quá trình giảng dạy một lớp có rất đông học sinh cộng với thời gian hạn chế nên khó có thể quan tâm đến từng đối tượng học sinh, vã lại số học sinh yếu ở một lớp quá nhiều. +Do trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa trường xuyên quan tâm đến việc rèn luyện kỹ năng tính toán, nhận dạng hằng đẳûng thức cho học sinh. Chưa đưa ra một phương pháp học phù hợp và hiệu quả cho học sinh đối với từng đơn vị kiến thức. C) GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Xét thấy thực trạng và nguyên nhân như trên,trong thời gian qua nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn, tôi đã sử dụng một số giải pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán như sau: Xây dựng hệ thống các ví dụ và bài tập từ dễ đến khó, bài dễ cho học sinh trung bình, yếu. Còn đối với bài tập khó nâng cao dùng cho học sinh khá giỏi để các đối tượng đó không cảm thấy nhàm chán, trong mỗi dạng toán đưa ra cách nhận dạng hằng đẳng thức để vận dụng tìm ra lời giải thích hợp nhất. I/ NHẬN BIẾT CÁCH SỬ DỤNG MỘT CÁCH NHANH NHẸN CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC: 1/ Giúp học sinh cách nhận dạng được hằng đẳng thức: Để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán, trước hết giáo viên phải thường xuyên kiểm tra việc thuộc công thức cùng với việc phát biểu được bằng lời, hiểu rõ được bản chất và phải nắm được mỗi hằng đẳng thức đều có hai chiều biến đổi. a/ Đối với “Bình phương của một tổng ”, “Bình phương của một hiệu ” khi khai triển vế phải là một đa thức 3 hạng tử ( mỗi hạng tử có bậc 2). (A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2 và ngược lại A2 + 2.A.B + B2 =(A + B)2 (A – B)2 = A2– 2.A.B + B2 và ngược lại A2–2.A.B + B2 =(A – B)2 b/ Đối với “Hiệu hai bình phương”thì vế trái là bình phương biểu thức thứ nhất trừ bình phương biểu thức thứ hai còn vế phải là tích của tổng và hiệu hai biểu thức đó. A2– B2 =(A – B).(A + B) và ngược lại (A – B).(A + B) = A2 – B2 c/ Đối với “Lập phương của một tổng ”, “Lập phương của một hiệu ” khi khai triển vế phải là một đa thức 4 hạng tử ( mỗi hạng tử có bậc 3). (A +B)3=A3+3.A2.B+3.A.B2+B3 và ngược lại A3+3.A2.B+3.A.B2+B3 =(A+B)3 (A–B)3=A3–3.A2.B+3.A.B2–B3 và ngược lại A3–3.A2.B+3.A.B2–B3 =(A–B)3 d/ Còn đối với “Tổng hai lập phương ”và “Hiệu hai lập phương ” thì vế còn lại là tích hai đa thức (một đa thức 2 hạng tử và một đa thức 3 hạng tử ). A3+B3= (A+B).(A2–A.B+B2) và ngược lại (A+B).(A2–A.B+B2) = A3+B3 A3–B3= (A–B).(A2+A.B+B2) và ngược lại (A–B).(A2+A.B+B2) = A3–B3 2/ Giúp học sinh nhận biết cách sử dụng một cách nhanh nhẹn bảy hằng đẳng thức: Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự học chủ động. Muốn vậy, giáo viên cần truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách suy luận, biết cách tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến thức mới.Trong phân môn đại số thường dùng những quy tắc, phương pháp có tính chất thuật toán. Tuy nhiên cũng cần coi trọng các phương pháp có tính chất tiên đoán. Học sinh cần rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quay lạ về quen,….việc nắm vững các tri thức, phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh tự đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu kiến thức cơ bản đồng thời phát huy được tìm năng sáng tạo của học sinh. 2.1/ Trước khi áp dụng các hằng đẳng thức vào giải các dạng toán cần củng cố, ôn lại các hằng đẳng thức một cách liên tục thường xuyên có hệ thống. Vídụ1:Hoàn thiện các hằng đẳng thức sau: a/ (? + B)2 = A2 + 2.A.? + B2 b/ (A – ? )2 = A2 –?+B2 c/ A2–?2= (A+B).(? –B) d/ (A + B)3 = ?3 + ? +3.A.B2 + ?3 e/ (A – ?)3 = A3–3.A2.B+?– B3 f/ ?3 + B3= (A + B).(?2–? + B2) g/ A3–?3 = (?–B).(A2 + ? + B2) Sau khi học sinh hoàn thiện ví dụ, giáo viên cho học sinh vận dụng ở mức khó hơn. Ví dụ 2: Điền vào dấu ? a/ (? + ?)2 = x2 + ? + 4y2 Muốn điền vào ? để x2 + ? + 4y2 thành bình phương của một tổng thì x2+?+4y2 phải có dạng A2+2.A.B+B2 . Ta thấy ở đây A2 = x2 hay A = x B2 = 4y2 = (2y)2 hay B = 2y Suy ra ta phải điền thêm vào ? trên là: 2.A.B = 2.x.2y = 4xy Do đó ta có: (x+2y)2 = x2 + 4xy + 4y2 Tương tự cho học sinh nhận biết các bài tập: b/ (?–?)2=a2– 6ab +? c/ (? + ?)2 = ? + m + d/ ? – 16y4 = (x + ?).(x – ? ) e/ 25x2–? = (?+3b).(? –3b) 2.2/ Khi giải bài tập ngoài việc học thuộc các hằngđẳng thức,các em cần chú ý đến các giá trị, chẳng hạn: (A + B)2 = A2+2.A.B+B2 trong đó A,B là một biểu thức chứ không nghĩ đơn thuần là một số hay một biến. Ví dụ3: Tính a/ 1132 – 132 = (113 + 13).(113 – 13) = 126.100 = 12.600 b/ 9502 – 8502 = (950 + 850).(950 – 850 ) = 1800.100 = 180.000 c/Q = (x + 3)2– 2.(x + 3).( x – 7 ) + (x – 7 )2 với x = 3.75 Giáo viên hướng dẫn học sinh nhìn tổng quát sa vào chi tiết,ta thấy biểu thức có dạng: Bình phương biểu thức thứ nhất cộng bình phương biểu thức thứ hai trừ tích hai lần hai biểu thức đó, ta nhận thấy A = x + 3 và B = x – 7 . Q= [(x + 3 ) – ( x – 7 )]2 = (x + 3 – x + 7)2 = 102 = 100. Như vậy thấy rõ vấn đề của biểu thức thì học sinh thực hiện giải bài tập một cách nhẹ nhàng hơn. Ví dụ 4: Tìm chỗ sai trong phép khai triển các hằng đẳng thức sau: a/ (x + 2y)2 = x2 + 2.xy + 2y2 b/ (5 – x )2 = 52 – x2 c/ (2x + 3y)2 = 2x2 + 2.2x.3y + 3y2 = 4x2 + 12xy + 9y2 Ví dụ 5:Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng : a/ (3x – 1 )2 = (1 – 3 x)2 b/ (x – 2 )3 = (2 – x )3 c/ (x + 1)3 = (1 + x )3 d/ x2 – 1 = 1 – x 2 e/ (x – 2 )2 = x2 – 2 x + 4 3/ Làm thế nào để học sinh tránh được những lỗi cơ bản khi vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán? Ngay sau khi học xong hai hằng đẳng thức: Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu. Tôi cho một học sinh (trung bình khá) lên bảng làm bài tập sau: Bài tập: a/ Viết công thức bình phương một tổng hai biểu thức ? b/ Khai triển: (x + 1)2 ; (2x + 3y)2 Kết quả thực hiện như sau: a/ (A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2 b/ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 (2x + 3y)2 = 2x2 + 12xy + 3y2 Điều đó chứng chỏ rằng các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là một số hoặc chỉ gồm một biến thì các em dễ dàng vận dụng được hằng đẳng thức vào bài tập. Tuy nhiên khi A, B là các biểu thức phức tạp hơn thì các em lại hay mắc phải những sai lầm như bài tập trên. Vậy làm thế nào để các em hạn chế tối đa được những sai lầm trên? Trước hết tôi lưu ý các em phải sử dụng dấu ngoặc và lũy thừa của cả biểu thức đó hoặc ta có thể viết hằng đẳng thức đó dưới dạng: x 2x 3y 2x 2x 3y 3y ( + )2 = 2 +2 + 2 Ví dụ1: ( + + )2 = 2 + 2. . + 2 = 4x2 +12xy+9y2 Sau khi hướng dẫn tôi yêu cầu một học sinh đứng tại chỗ sửa chỗ sai ở bài làm của bạn, kết quả: (2x+3y)2 = (2x)2 + 12xy + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 Qua tiết học đó, phần lớn các em đã vận dụng vào làm được bài tập khai triển lũy thừa và còn vận dụng vào các hằng đẳng thức tiếp theo. Ví dụ2: Khai triển (2x + 3y)3 ? Kết quả: (2x + 3y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2 .3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 II/CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 8& 9. 1/ Thông hiểu, nắm vững hằng đẳng thức để giải các bài tập ở SGK: 1.1 /Dùng hằng đẳng thức để thực hiện nhanh phép nhân các đa thức: Trong các dạng toán nhân đa thức với đa thức thương hay vận dụng hằng đẳng thức nhằm mục đích có kết quả nhanh gọn và độ chính xác cao,… Ví dụ 1: Thực hiện các phép nhân sau: a/ (x – 2 ).(x + 2 ) b/ (3x + y ).(3x – y ) c/ (x + 3 ).(x2 – 3 x + 9 ) d/ (2 – 3 x).(4 + 6x + 9x2) Để làm dạng toán này thường vận dụng chủ yếu 3 hằng đẳng thức sau: (A + B).(A – B) =A2 – B2 (A + B).(A2 – A .B + B2) = A3 + B3 (A – B ).(A2 + A.B + B2) = A3 – B3 Giáo viên hướng dẫn học sinh nhìn vào phép nhân hai đa thức : +Nếu hai đa thức đều có hai hạng tử, một đa thức có dạng tổng, một đa thức có dạng hiệu, ta dùng hằng đẳng thức (A + B).(A – B) =A2 – B2 . Chẳng hạn: b/ (3x + y).(3x – y ) Phép nhân (3x + y).(3x – y) có dạng (A + B ).(A – B ) nên ta thấy A = 3x và B= y Do đó : (3x + y).(3x – y ) = (3x)2 – y 2 = 9x2 – y2 +Nếu đa thức thứ nhất có dạng tổng hai hạng tử, đa thức thứ hai có dạng bình phương thiếu của hiệu hai hạng tử trên, ta dùng: (A + B).(A2 – A .B + B2) = A3+B3 . Chẳng hạn: c/ (x + 3).(x2 – 3 x + 9) Ta thấy (x + 3).(x2 – 3 x + 9 ) = (x + 3 ).(x2 – 3.x + 32) có dạng (A + B).(A2 – A .B + B2) suy ra:A = x ; B = 3 Do đó : (x + 3 ).(x2 – 3 x + 9) = x3 + 33 = x3+ 27 +Nếu đa thức thứ nhất có hiệu và đa thức thứ hai có dạng bình phương thiếu của tổng hai hạng tử của đa thức thứ nhất, ta dùng: (A – B ).(A2 + A.B +B2) = A3 – B 3 1.2/Dùng hằng đăûng thức để tính nhẩm tính nhanh giá trị biểu thức: Trong quá trình tính toán, giải bài tập việc tính nhẩm các con số, tính nhanh rất cần thiết nhằm giúp học sinh tự tin và rút ngắn thời gian làm bài tập. Ví dụ1: Tính nhẩm bình phương của số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5( Bài 17/11SGK T8) Sau khi chứng minh xong đẳng thức: ( 10a + 5 )2 = 100a.(a + 1) + 25 Ta gọi số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5 là: a5 = 10a + 5.Do đó để tính (a5)2 Ta tính tích 100a.(a + 1) rồi cộng thêm 25. Tức là: ta lấy số chục là a nhân với số lớn hơn nó 1 đơn vị là (a+1) rồi viết thêm 25 vào bên phải kết quả trên. Chẳng hạn: Tính 252 =? , Ta tính tích a.(a + 1) = 2(2 + 1 ) = 2.3 = 6, rồi viết thêm 25 vào bên phải của 6, ta được 252 = 625. Tương tự: 652 = 4225 ; 952 = 9025,… Ví dụ2:Tính nhanh: a/ 1012 b/ 1992 c/ 97.103 Để tính nhanh bình phương của một số, ta vận dụng hai hằng đẳng thức đầu tiên.Ta viết mỗi số cần tính dưới dạng một tổng hoặc một hiệu của 2 số trong đó trong đó phải có một số tròn trăm, tròn chục. Chẳng hạn: 1012 = (100+1)2 =? ; 1992 = (200 – 1 )2 = ? Để tính nhanh tích hai số, ta viết một số dưới dạng tổng hai số, một số dưới dạng hiệu hai số, để làm được điều đó ta tìm số ở giữa hai số cần tính rồi biến đổi như trên và áp dụng hằng đẳng thức (A + B).(A – B) =A2 – B 2 . Chẳng hạn: 97.103 = (100 – 3 ).(100 + 3 ) = ? Ví dụ 3: Tính nhanh giá trị biểu thức: a/ 342 + 662 + 2.34.66 b/ 742 + 242 – 48.74 c/ x2 + 4x + 4 tại x = 998 d/ x3 + 3x2 + 3x + 1 tại x = 999 Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận dạng từng biểu thức để vận dụng hằng đẳng thức thích hợp. Ta thấy biểu thức ở câu a có dạng : bình phương số thứ nhất cộng bình phương số thứ hai cộng hai lần tích hai số đó nên giống một vế của hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng ”. Ở đây A = 34; B = 66, do đó: 342 + 662+ 2.34.66 = (34 + 66)2 = 1002 = 10.000 Còn câu b cũng có dạng như câu a nhưng trừ hai lần tích hai số đó. Ta thấy 48.74 = 2.24.74 do đó: 742 + 242 – 48.74 = (74 – 24)2 = 502 = 2500 Đối với câu c, d giáo viên hướng học sinh phân tích: Câu c: A2 = x2 nên A = x ;B2 = 4 nên B = 2 và 2AB = 2.x.2 = 4x Do đó x2 + 4x + 4 = (x + 2 )2 Tại x = 998 thì giá trị biểu thức là (998 + 2)2 = 10002 = 1000.000 Câu d: A3 = x3 nên A = x ; B3 = 1 nên B = 1 và 3A2B = 3.x2.1 = 3x2 ;3AB2 = 3.x.12= 3x Do đó: x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1 )3 , tại x = 999 thì gía trị biểu thức là (999 + 1)3 = 10003 = 1000.000 1.3/ Dùng hằng đăûng thức để khai triển lũy thừa của một biểu thức: Để củng cố lại các hằng đẳng thức , giúp học sinh tự tin hơn khi giải các dạng toán liên quan đến khai triển lũy thừa,tạo tiền đề cho các em giải các dạng toán nâng cao. Ví dụ : Khai triển các lũy thừa sau: a/ (x + 2y )2 b/ (2x – 3 y )2 c/ (x - )2 d/ (x + 3 )3 e/ (5x – 1 )3 f/ (x + y + z )2 Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận biết biểu thức cần khai triển thuộc một vế của hằng đẳng thức nào và phải xác định được biểu thức nào tương ứng với A, B trong công thức của hằng đẳng thức, sau đó thay biểu thức đó bỡi A, B ở vế còn lại rồi tính.(lưu ý: lũy thừa của đơn thức có hệ số khác 1 và đa thức thì phải cho vào trong ngoặc).Chẳng hạn: Triển khai (x + 2y )2 = ? Có dạng (A + B )2 suy ra A = x; B = 2y. Do đó (x + 2y )2 = x2 + 2.x.2y + (2y)2 = … Đối với (x + y + z )2 ,ta xem A = x + y , B = z hoặc A = x , B = y + z Khi đó: (x + y + z )2 = [(x + y)+z]2= (x+y)2+2.(x+y).z+z2 =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz Tương tự như trên ta có thể triển khai lũy thừa của một đa thức gồm nhiều hạng tử 1.4/ Vận dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức: Để rút gọn một biểu thức ta vận dụng các quy tắc đã học để thực hiện thứ tự các phép tính nhưng nếu biểu thức cần rút gọn có dạng có dạng một vế của hằng đẳng thức thì nên vận dụng hằng đẳng thức để có kết quả nhanh gọn và độ chính xác cao. Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau (Bài 34,78/33 SGK T8) a/ (x+y+z)2-2.(x+y+z)(x+y)+(x+y)2 b/ (2x+1)2 +(3x-1)2 +2.(2x+1).(3x-1) Giáo viên hướng dẫn học sinh nhìn tổng quát sa vào chi tiết,ta thấy nếu đặt A=x+y+z và B=x+y thì Biểu thức đã cho có dạng A2 - 2.A.B + B2 nên kết quả là (A-B)2 Do đó: a/ (x+y+z)2-2.(x+y+z)(x+y)+(x+y)2 =[(x+y+z)-(x+y)]2= (x+y+z+-x-y)2 = z2 Tương tự ở câu b nếu đặt A = 2x + 1 và B =3x – 1 thì biểu thức đã cho có dạng A2 + B2 + 2.A.B nên kết quả là (A + B )2 1.5/ Vận dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử: Để làm được dạng toán này cần cho học sinh hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ( là biến đổi đa thức thành một tích của nhiều đa thức khác. Trước hết giáo viên chuẩn bị bảng phụ viết sẵn một vế của hằng đẳng thức và yêu cầu học sinh điền vế còn lại: A2 + 2.A.B + B2 = A2 – 2 .A.B + B2 = A2 – B2 = A3 + 3.A2.B + 3.A.B2 + B3 = A3 – 3.A2.B + 3.A.B2– B3 = A3 + B3 = A3 – B3 = Qua bài điền khuyết giúp các linh hoạt khi biến đổi hai vế hai vế của hằng đẳng thức và vận dụng thành thạo hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử. Để làm thành thạo dạng toán này giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách nhận dạng đa thức cần phân tích về: + Bậc của đa thức +Số hạng tử của đa thức ( dấu của các hạng tử). Chẳng hạn: +Nếu đa thức bậc 2 và số hạng tử là 3 thì ta liên hệ đến hai hằng đẳng thức đầu tiên + Nếu đa thức bậc 2 và số hạng tử là thì ta liên hệ đến hằng đẳng thức thứ ba + Nếu đa thức bậc 3 và số hạng tử là 4 thì ta liên hệ đến hằng đẳng thức thứ tư và năm + Nếu đa thức bậc 3 và số hạng tử là 2 thì ta liên hệ đến hai hằng đẳng thức cuối Lưu ý: Khi nhận dược đa thức thuộc hằng đẳng thức nào, ta tìm trong đa thức đó hai hạng tử có dạng bình phương hoặc lập phương để xác định hai biểu thức tương ứng với hai biểu thức A, B trong công thức của hằng đẳng thức. Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ x2+4x+4 b/ x2-6x+9 c/ 4x2-4x+1 d/ x2 -25 e/ 16x2- 1 f/ x3+9x2+27x+27 g/ x3-3x2+3x -1 h/ x3+8 k/ 27x3 –y3 Hướng dẫn: Ta thấy, biểu thức x2 + 4x + 4 là đa thức bậc 2, ba hạng tử nên có dạng một vế hằng đẳng thức thứ nhất A2 +2.A.B + B2, trong đó A2 = x2 nên A = x ; B2 = 4 = 22 nên B = 2 và 2AB = 2.x.2 = 4x. Do đó x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 , Tương tự cho câu b, c Đối với câu e/ 16x2– 1 là đa thức bậc 2, hai hạng tử nên có dạng một vế hằng đẳng thức thứ ba A2 – B2 , trong đó A2 =16x2 = (4x)2 nên A = 4x ; B2 = 1 nên B = 1 Do đó16x2 –1 = (4x + 1).(4x – 1 ) Đối với câu k/ 27x3 – y3 là đa thức bậc 3, hai hạng tử nên có dạng một vế hằng đẳng thức thứ bảy A3 – B3 , trong đó A3 = 27x3 = (3x)3 nên A = 3x ; B3 = y3 nên B = y Do đó: 27x3 – y3=(3x – y )(9x2 + 3 xy + 9), tương tự cho câu h Đối với câu f/ x3 + 9x2 + 27x + 27 là đa thức bậc 3, bốn hạng tử nên có dạng một vế hằng đẳng thức thứ tư A3 +3.A2.B + 3.A.B2 +B3, trong đó A3 = x3nên A = x ; B3 = 27 = 33 nên B = 3 và3A2.B = 3.x23 = 9x2 ; và3A.B2 = 3.x32 = 27x Do đó x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3 , tương tự cho câu g 1.6/ Vận dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia: Ví dụ: Thực hiện phép chia (bài 68/31 SGK toán 8) a/ ( x2 + 2xy + y2 ): (x + y ) b/ (125x3 + 1 ) : (5x + 1 ) c/ ( x2 – 2 xy + y2) : (y – x ) d/( 4x2 – 9 y2) : (2x – 3 y ) Phương pháp giải: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, khi đó xuất hiện nhân tử là đa thức chia. Cụï thể: a/ ( x2 + 2xy + y2): (x + y) = (x + y)2 : (x + y) = (x + y) b/ (125x3 + 1) : (5x + 1) = (5x + 1). (25x2 –5 x + 1) : (5x + 1) = ( 25x2 –5x +1) c/ ( x2 – 2 xy + y2) : (y – x ) = (y – x )2: ( y – x ) = (y – x ) d/( 4x2 – 9 y2): (2x – 3 y ) = (2x – 3 y) .(2x + 3y ) :(2x – 3 y ) = (2x + 3y) 1.7/ Vận dụng hằng đẳng thức để tìm x trong đẳng thức: Nếu đẳng thức chứa x có vế phải bằng 0, ta cũng phân tích đa thức ở vế trái thành nhân tử rồi đưa về dạng phương trình tích (vận dụng kiến thức một tích các nhân tử bằng 0 khi một trong các nhân tử đó bằng 0). Cụ thể:Tìm x biết: a/ ( x2-2x+1) = 0 ĩ( x-1) 2 = 0 ĩ x-1 = 0 ĩ x = 1 b/ 64x2 - 49 = 0 ĩ(8x – 7 )(8x + 7 ) = 0 ĩ8x – 7 = 0 hoặc 8x + 7 = 0 ĩ hoặc III/ VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI: Một số hằng đẳng thức tổng quát dành cho học sinh khá giỏi: (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc An – Bn =(A –B )(An-1 + An-2 .B +….+A.Bn-2 + Bn-1) An + Bn =(A +B )(An-1 – An-2 .B +An-3.B –….–A.Bn-2 + Bn-1) với n lẻ (A + B)n = An +n.An-1.B + .An-2.B2 + …..+nABn-1 + Bn (A–B)n = An – n.An-1.B + .An-2.B2 – …..+nABn-1 – Bn Từ các hằng đẳng thức trênta có tính c