Đề tài Giải quyết bài toán liên quan đến tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất trong không gian toạ độ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Vũ Ngọc Vinh 1 ĐỀ À GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỔNG HIỆU KHOẢNG CÁCH LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán liên quan đến tổng hiệu các khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất thường là khó đối với học sinh vì bài tập trong sách giáo khoa phần không gian hầu như không có. Song trong các kì thi đại học nhiều đề thi đề cập đến vấn đề này. Hơn nữa nó còn liên quan đến bài toán kinh tế, chọn phương án tối ưu để học sinh nắm được khái quát có kĩ năng vận dụng từng vấn đề. Chuyên đề này sẽ chia làm 5 bài toán. Mỗi bài toán được trình bày phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ. Sau cùng là các bài tập rèn luyện kĩ năng. PHẦN II. NỘI DUNG * BÀI TOÁN 1: Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới hai điểm A, B ( A, B '( )mp P ) cho trước đạt giá trị nhỏ nhất. * Phuơng pháp: Xét hai trường hợp: a) Trường hợp 1: A, B nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P) - Lấy A’ đối xứng với A qua mp’(P): MA = MA’ - MA + MB = MB + MA’ nhỏ nhất  A’, M, B thẳng hàng và M năm giữa A’ và B Vì mọi N thuọc (P), N khác M thì: AN + BN = NB + NA’ > A’B = AM + MB b) Trường hợp 2: A, B khác phía đối với mp’(P) Khi đó điểm M cần tìm là giao điểm của AB với mp’(P) * VÍ DỤ Cho mp’(P): 2x – 3y + 3z – 17 = 0. Điểm A(3; -4; 7) ; B(-5; -14; 17) Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho tổng khoản cách từ M đến A, B là nhỏ nhất. * Hướng dẫn: - A, B cùng phía đối với mp’(P) - Gọi A’ đối xứng với A qua mp’(P) thì A’(-1; 2; 1) - M là giao điểm của BA’ với mp’(P)  M(-2; -2; 5) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Vũ Ngọc Vinh 2 - Chứng minh M thoả mãn bài toán - Vậy điểm M cần tìm là: M(-2; -2; 5) * Bài tập. 1) Cho A(-1; 3; -2) ; B(-9; 4; 9) ; mp’(P): 2x – y + z + 1 = 0. Tìm điểm K thuộc mp’(P) sao cho AK + BK nhỏ nhất. 2) Cho A(1; 1; 2) ; B(2; 1; -3) ; mp (P) : 2x + y – 3z – 5 = 0. Hãy tìm điểm M trong mp’(P) sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. * BÀI TOÁN 2: Tìm điểm M trên mp’(P) sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ M tới hai điểm A, B ( A, B '( )mp P ) cho trước đạt giá trị lớn nhất. * Phương pháp: a) Trường hợp 1: A, B nằm cùng phía đối vơi mp’(P) - Nếu AB // mp’(P) thì không tồn tại M - Nếu AB không song song với mp’(P). Ta có ( ):| |M P MA MB AB    , có đẳng thức  M, A, B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB  M là giao điểm của AB với mp’(P). b) Trường hợp 2: A, B khác phía đối với mp’(P): MA = MA’ Ta có ( ):| | 'M P MA MB A B    , có đẳng thức  M, A’, B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn A’B  M là giao điểm của A’B với mp’(P). * VI DỤ: Cho A(1; 2; 3) ; B(4; 4; 5). Tìm điểm Q thuộc mp’(oxy) sao cho |QA – QB| đạt giá trị lớn nhất. H. Dẫn: - A, B cùng phía đối với mp’(Oxy) - Lập luận tương tự như trường hợp 1 ta có: ( ; ; )7 1 0 2 Q  * Bài tập. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Vũ Ngọc Vinh 3 Tìm điểm M thuộc mp’(P) trong các trường hợp sao cho |MA – MB| lớn nhất 1) (P): x + 2y + 2z + 1 = 0; A(2; -4; -2) ; B(-1; -2; 1) 2) (P): 2x – 3y + 3z – 17 = 0 ; A(3; -4; 7) ; B(-5; -4; 7) 3) (P): 2x – y + z + 1 = 0. A(3; 1; 0); B(-9; 4; 9) (ĐH Huế 1997) * BÀI TOÁN 3. Tìm trên đường thẳng ( ) cho trước điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới 2 điểm A, B ( A, B ( )  ) cho trước đạt giá trị nhỏ nhất. +) Trường hợp 1: AB // ( ) Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ( ) nằm trong mp’(AB; ( )), ta có: MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B. Có dấu “=”  A’, M, B thẳng hàng và M thuộc đoạn A’B  M là trung điểm của A’B  MA = MB Vậy: M ( )  thoả mãn bài toán chính là điểm cách đều A và B. +) Trường hợp 2: AB và ( ) có điểm chung Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ( ), khi đó M là giao điểm của A’B và ( ) +) Trường hợp 3: AB và ( ) chéo nhau. Ta có 3 cách giải quyết * Cách 1: - Lấy D ( )  ( D bất kì). Dựng mặt cầu (S) có tâm D bán kính DA. - Dựng mp( ) qua A và vuông góc ( ) - Dưng đường tròn ( C ) là giao tuyến của (S) và mặt phẳng( ) - Dưng mp’(  ) '( ; )mp B  - Tìm giao của (  ) với ( C ) đó là E - Điểm M là giao của BE và ( ) +) Cách 2: - Tìm toạ độ A’, B’ là hình chiếu của A, B lên ( ) - Tính độ dài: AA’; BB’ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Vũ Ngọc Vinh 4 - Tìm điểm M chia A’B’ theo tỉ số ' ' AA BB * Chú ý : Cách 2 cũng áp dụng cho cả trường hợp A, B, ( ) cùng nằm trong một mặt phẳng. +) Cách 3: Chuyển hệ thống không đồng phẳng gồm hai điểm A, B và đường thẳng (d) thành hệ thống đồng phẳng gồm 2 điểm A’, B’ và đường thẳng x’ox. * Nhận xét: Ở các cách trên ta chỉ ra cách xác định điểm M, phần lập luận dẫn đến việc xác định điểm M dành cho học sinh. - Rõ ràng cách 3 tỏ ra hiệu quả vì ta đã chuyến từ bài toán phức tạp về đơn giản. * VI DỤ. Cho A(a; 0; a) và ( ; ; )4 2 3 3 3 a a aB   và đường thẳng (d) có phương trình: x t y t z a t       Tìm điểm M thuộc (d) sao cho: a) MA + MB nhỏ nhất b) |MA – MB| lớn nhất * Hướng dẫn: Ta sử dụng cách 3 a) M  (d)  M(t; t; a – t)  MA + MB = ( ) ( ) 2 2 2 22 2 83 3 3 3 9 a a a at t            Xét A’ ( ; ) ; '( ; )2 2 2 2 3 2 3 3 a aa B a , M’(t; 0). Ta có M’ là giao của A’B’ với ox '( ; ) ( ; ; )4 4 4 50 9 9 9 9 a a a aM M  b) Tương tự: M(0; 0; a) * Bài tập: 1) Dùng cách 1, 2 làm lại bài tập trên 2) Tìm điểm M  ( ) trong các trường hợp sau: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Vũ Ngọc Vinh 5 a/ A(1; 2; -1) ; B(7; -2; 3) ; ( ) : 1 2 2 3 2 2 x y z     b/ A(2; 4; 1) ; B(3; 5; 2) ; ( ) : 2 1 0 2 0 x y z x y z          c/ A(1; 0; 1) ; B(1; 0; 0) ; ( ) : 1 x t y t z t       * BÀI TOÁN 4. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ đó tới 3 điểm A, B, C cho trước là nhỏ nhất. - Phương pháp: +) Nhận xét: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì M ta có: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + (GA2 + GB2 + GC2) Từ đó điểm M cần tìm chính là hình chiếu vuông góc của G lên mp’(P). * VI DỤ. Cho A(1; 4; 5) ; B(0; 3; 1); C(2; -1; 0) , mp’(P) có phương trình: 3x – 3y – 2z – 15 = 0. Tìm M thuộc mp’(P) sao cho: MA2 + MB2 + MC2 là nhỏ nhất. * Hướng dẫn: Sử dụng hệ thức trên ta có: G(1; 2; 2) ; M(4; -1; 0) * Bài tập. 1) Cho (P) : 3x + 3y – z + 1 = 0; A(-1; -2; 0) , B(2; 1; -2); C(1; 0; 1) . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 là nhỏ nhất. 2) (P): x – 2y + 2z + 2 = 0; A(4; 1; 3); B(2; -3; -1). Tìm M thuộc (P) sao cho : MA2 + MB2 là nhỏ nhất. * BÀI TOÁN 5. Tìm các điểm M thuộc một mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mp’(P) cho trước là lớn nhất, nhỏ nhất. - Phương pháp: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Vũ Ngọc Vinh 6 +) Cách 1: - Viết phương trình đường thẳng ( ) qua tâm mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng (P) - Tìm giao điểm M1 , M2 của đường thẳng ( ) với mặt cầu (S). - Từ đó suy ra khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất. +) Cách 2: - Xét M(x; y; z)  mặt cầu (S) - Tính khoảng cách từ M đến mp’(P) - Sử dụng bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN của d = f(x;y;z) * VÍ DỤ: Tìm điểm A thuộc mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 -2x + 2z – 2 = 0 sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) : 2x – 2y + z + 6 = 0 lớn nhất. * Hướng dẫn: +) Cách 1: - ( ) qua tâm mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình: 1 2 2 1 x t y t z t        - Giao của (S) và ( ) là ( ; ; ) ; ( ; ; )1 2 7 4 1 1 4 5 3 3 3 3 3 3 A A    - So sánh h1 = d(A1; (P)) ; h2 = d(A2; (P))  A  A1 +) Cách 2: - A(x; y; z)  mặt cầu (S)  d(A; (P)) = | ( ) |1 2 1 2 1 7 3 x y z     - Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: d(A;(P)) 133 có đẳng thức ; ;7 4 1 3 3 3 x y z     Do đó : ( ; ; )7 4 1 3 3 3 A   * BÀI TẬP Cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0, SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Vũ Ngọc Vinh 7 mp’(P): x + y – z -10 = 0 Tìm M thuộc mặt câu (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng (P) a) Lớn nhất b) Nhỏ nhất. * Sau đây là bài toán thứ 6. Dành cho học sinh tự giải quyết: Cho mặt cầu (S) có PT: x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0 đường thẳng ( ) ( ) : 1 2 5 1 13 2 3 2 7 3 1 2 8 x y zd x t d y t z             a) Tìm M  (S) sao cho khoảng cách từ M đến (d1) là lớn nhất. b) Tìm N  (S) sao cho khoảng cách từ M đến (d2) là nhỏ nhất. PHẦN III: KẾT LUẬN Các bài toán hình học liên quan đến GTLN, GTNN có nhiều, trong các chuyên đề sau tiếp tục đề cập. Việc tổng hợp các bài toán trên, nắm vững cách giải quyết bài toán tạo điều kiện để học sinh có kĩ năng giải một loại toán liên quan đến khoảng cách lớn nhất nhỏ nhất. Giúp học sinh học tốt hơn môn hình học không gian Tháng 6 năm 2002 VŨ NGỌC VINH