Đề tài Kỹ thuật lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện

A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn đề tài. Trong chương trình môn Toán lớp 11 nói riêng và trong bộ môn Toán nói chung thì Lượng giác chiếm một phần quan trọng. Đặc biệt phương trình lượng giác là phần kiến thức trọng tâm trong phần đại số lớp 11 của học kì I. Hơn nữa, phương trình lượng giác bao giờ cũng có mặt trong các đề thi đại học môn Toán, là câu cũng không phải là khó kiếm điểm. Trong quá trình dạy học môn Toán đại số lớp 11, khi dạy về phần phương trình lượng giác, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện và rất hay mắc sai lầm trong việc này. Vậy, làm thế nào để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này? và từ đó giúp các em có thể làm tốt hơn khi giải phương trình lượng giác, tự tin hơn trong học tập. Chính vì những lý do trên mà tôi đã quyết định chọn đề tài “Kỹ thuật lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện ”, với hy vọng và mong muốn sẽ đem đến cho các em những kỹ năng, những phương pháp nhằm giúp các em khắc phục những trở ngại nói trên. Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập, giúp các em yêu thích và có hứng thú hơn trong học Toán. II. Mục đích nghiên cứu. Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp. Trong đề tài này tôi đề cập đến một số phương pháp lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện, qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán.Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn. III. Đối tượng nghiên cứu. Nghiên cứu về phương trình lượng giác có điều kiện. IV. Phạm vi nghiên cứu. - Làm tài liệu cho giáo viên. - Áp dụng cho học sinh khối 11, 12. Đặc biệt là học sinh lớp 12 tham gia thi học sinh giỏi, đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp. V. Phương pháp nghiên cứu. Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thực nghiệm. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu. 1. Các hằng đẳng thức lượng giác sin2x + cos2x = 1; ; , ; . 2. Biểu diễn một cung lượng giác, một góc lượng giác trên đường tròn lượng giác. Khi biểu diễn một cung (góc) lượng giác bao giờ cũng chọn điểm đầu A, điểm cuối M tuỳ thuộc vào độ lớn và dấu của cung (góc) để ta biểu diễn cho đúng. +, được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi một điểm. +, được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm đối xứng nhua qua gốc toạ độ. +, . được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi n điểm cách đều nhau tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn. 3. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. +, ; +, ; +, ; +, . II. Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu. Trong quá trình dạy học môn Toán đại số lớp 11, khi dạy về phần phương trình lượng giác, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện và rất hay mắc sai lầm trong việc này. Để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này? và từ đó giúp các em có thể tự tin hơn, làm tốt hơn khi giải phương trình lượng giác. Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập. III. Nội dung của các vấn đề nghiên cứu. 1. Phương pháp biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng một hàm số lượng giác. Ví dụ 1 : Giải phương trình: (1) Lời giải : ĐK: . Khi đó Đối chiếu với điều kiện , ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn. Vậy phương trình (1) có nghiệm là * Nhận xét Trong phương trình (1), ta đã biến đổi ĐK và nghiệm tìm được thông qua h/s . Từ đó chuyển việc đối chiếu ĐK của x về đối chiếu ĐK của y đơn giản hơn nhiều. Ví dụ 2 : Giải phương trình: Lời giải : ĐK: (2) Đối chiếu với ĐK, ta chọn được Vậy pt(2) có nghiệm là: . 2. Phương pháp sử dụng phép biến đổi lượng giác Ví dụ 3 : Giải phương trình: (3). Lời giải : ĐK: Ta có: (3) Thay vào (**) đều không thoả mãn, nên các nghiệm của phương trình (*) chính là nghiệm của phương trình (3). Vậy các nghiệm của pt (3) là: . Nhận xét: Trong pt (3), ĐK biến đổi thành , rồi thay vào pt(**) đều không thỏa mãn, đẫn đến nghiệm của pt(**) chính là nghiệm của ph (3). Như vậy không phải tìm đk cụ thể, ta vẫn có thể đối chiếu nghiệm với đk và suy ra nghiệm của phương trình. 3. Phương pháp thử trực tiếp. Đối với phương trình mà ĐK và nghiệm khó đưa về cùng một hàm số lượng giác, ta có thể tìm nghiệm cụ thể, rồi thay vào ĐK để kiểm tra lại. Ví dụ 4 : Giải phương trình: Lời giải : ĐK: . Khi đó (4) +, Với thì +, Với thì Vậy phương trình (4) có nghiệm là: , Ví dụ 5 : Giải phương trình: Lời giải : ĐK: Khi đó (5) +, Với vi phậm ĐK của bài toán. +, Dễ thấy ĐK , thoả mãn. Thay trực tiếp các nghiệm , Vào hệ: ta thấy chỉ có nghiệm x1 thoả mãn. Vậy nghiệm của phương trình là: . 4. Phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượn giác. - Trên đường trròn lượng giác, những điểm không thoả mãn ĐK đánh dấu “x”, những điểm nghiệm tìm được đánh dấu “o” - Những điểm đánh dấu “ o ” mà không trùng với điểm đánh dấu “x” đó là nghiệm của phương trình. +, được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi một điểm. +, được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm đối xứng nhua qua gốc toạ độ. +, . được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi n điểm cách đều nhau tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn. Ví dụ 6 : Giải phương trình: (6). Lời giải : ĐK: . Khi đó Biểu diễn trên đường tròn lượng giác, nghiệm của phương trình tìm được đánh dấu “o”, ĐK của pt đánh đấu “x”. Qua biểu diễn, ta thấy nghiệm của phương trình là: 5. Bài tập vận dụng Giải các phương trình sau: cos2x – sin2x = tanx + cotx; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; KẾT THÚC VẤN ĐỀ I. Ý nghĩa của đề tài. - Mục đích quan trọng nhất của đề tài này là tôi muốn lấy đây làm một cuấn tài liệu phục vụ trong quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời cũng là cuấn tài liệu để các đồng nghiệp tham khảo trong giảng dạy. - Giúp học sinh biết cách lấy nghiệm của bài toán giải phương trình lượng giác có điều kiện, đồng thời qua các phương pháp này nhằm phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh. Từ đó mang lại sự say mê và hứng thú trong học Toán, II. Kết quả nghiên cứu. - Đề tài này tôi bắt đầu thực hiện từ năm học 2011 – 2012 trực tiếp trên lớp 11B1. Kết quả đa số các em đã biết lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện. Góp phần nâng cao kết quả học tập bộ môn Toán nói riêng, kết quả học tập của các em trong nhà trường nói chung. - Kết quả thi học kì I, thi thử đại học lần 1 và thi thử đại học lần 2 của lớp 11B1 với 42 em, đa số các em đều làm được phần phương trình lượng giác. Cụ thể như sau: số H/S Đợt thi Số học sinh không đạt Số học sinh đạt Thi HKI 0 100% Thi ĐH L1 28,6% 71,4% Thi ĐH L2 11.9 88.1% - Những kết quả khả quan từ thực nghiệm sư phạm, cho phép tôi kết luận rằng mục đích nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành và đề tài có tính khả thi cao. - Tôi hy vọng rằng, đây là cuấn tài liệu mà các thầy cô giáo dạy Toán yêu thích, đồng thời giúp các em học sinh học tốt hơn phần giải phương trình lượng giác, qua đó góp phần nâng cao kết quả học tập của các em. II. Những kiến nghị làm tăng tính khả thi. Đề tài này có ý nghĩa thiết thực cho học sinh, đặc biệt là dùng cho học sinh ôn thi đại học. Vì vậy trong thời gian tới, tôi tiếp tục nghiên cứu và mở rộng hơn nữa để đề tài được hoàn chỉnh hơn và thực sự là cuấn tài liệu bổ ích. Để đề tài được hiệu quả hơn thì: Cần điều chỉnh phạm vi bài tập nhằm áp dụng trên nhiều đối tượng học sinh. Đầu tư thời gian, vật chất nghiên cứu thêm các chuyên đề khác có liên quan. Cần có sự quan tâm, ủng hộ của các cấp lãnh đạo hơn nữa. TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Đào Ngọc Nam- Lê Văn Tiến-Vũ Viết Yên, Đại số và giải tích 11 ban cơ bản, NXBGD, 2010. Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Doãn Minh Cường- Đỗ Mạnh Hùng-Nguyễn Tiến Tài, Đại số010 ban cơ bản, NXBGD, 2006. Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn Bài giảng chuyên sâu toán THPT Giải Toán Lượng Giác 11. LêI C¶M ¥N Trong quá trình thực hiện nghiên cứu và thử nghiệm Tôi đã nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô đồng nghiệp trong trường, trong tổ. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ chân thành đó. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Ban chấp hành Công Đoàn trường THPT Gia Viễn C, các thầy cô trong hội đồng sư phạm nhà trường, các thầy cô trong tổ Toán – Tin đã tạo điều kiện, động viên để tôi có cơ hội nghiên cứu khoa học, trao đổi tri thức khoa học. Thầy cô trong ban giám hiệu đã tạo điều kiện cho chúng tôi được thể nghiệm trên đối tượng học sinh. Từ đó hoàn thành bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy này. Do thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài bản báo cáo và những thử nghiệm của tôi không tránh khỏi thiếu sót và những khía cạnh chưa đề cập đến. Rất mong nhận được những ý kiến quý báu của quý bạn đọc để đề tài phát huy hiệu quả sâu rộng hơn. Xin chân thành cảm ơn ! Gia Viễn, ngày 20 tháng 4 năm 2012 Tổ Toán – Tin MỤC LỤC A. Đặt vấn đề 1 B. Giải quyết vấn đề 2 I Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu 2 II Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu 4 III Nội dung của các vấn đề nghiên cứu 4 III.1.Phương pháp biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng một hàm số lượng giác. 3 III.2. Phương pháp sử dụng phép biến đổi lượng giác 4 III.3. Phương pháp thử trực tiếp. 5 III.4. Phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượn giác. 6 III.5. Bài tập vận dụng 7 C. Kết thúc vấn đề 9 Tài liệu tham khảo 10