Đề tài nghiệp vụ sư phạm: Hàm số & đồ thị

Mục Lục I. Mục Đích Và Yêu Cầu I.1. Đối với giáo viên I.2. Đối với học sinh II. Nội Dung II.1. Đặt vấn đề II.2. Bài toán xuất xứ II.3. Các khái niệm và tính chất cơ bản II.3.1. Định nghĩa ánh xạ II.3.2. Định nghĩa hàm số II.3.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, giá trị tuyệt đối II.3.4.Sự biến thiên của hàm số II.3.5. Đồ thị của hàm số II.3.5.1. Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ II.3.5.2. Các phép biến đổi đồ thị II.3.6. Chương trình đại số bậc THCS cần quan tâm II.3.6.1. Hàm số bậc nhất y=ax+b II.3.6.2. Hàm số bậc hai y=ax2 II.3.6.3. Vị trí tương đối giữa y=ax và y=mx +n II.4. Những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục II.4.1. Những sai lầm II.4.2. Cách khắc phục II.5. ứng dụng của hàm số và đồ thị II.6. Các dang bài tập II.7. Một số ví dụ II.8. Bài dạy minh họa II.8.1. Mục tiêu bài dạy II.8.2. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh II.8.3. Tổ chức day học III. Kết luận I. Mục đích và yêu cầu I.1. Đối với giáo viên Người giáo viên có kiến thức sâu rộng về hàm số, đồ thị hàm số và các kiến thức có liên quan. Nắm được bản chất của từng khái niệm, các tính chất của hàm số, đồ thị. Biết phân loại các dạng bài tập đối với từng kiến thức, ứng dụng của các đơn vị kiến thức đó. Trước khi dạy người giáo viên phải lường được những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải, từ đó điều chỉnh kịp thời bằng cách đó thông tin đến cho học sinh hoặc đưa bài tập tình huống cho học sinh trao đổi nhóm rút ra kết luận tránh sai lầm, hoặc có thể bổ xung vào những ví dụ, những bài tập nêu bật bản chất của những đơn vị kiến thức đó. Tùy từng đối tượng học sinh giáo viên lựa chọn bài tập tình huống, câu hỏi, ví dụ cho phù hợp. I.2. Đối với học sinh. + Cần nắm vững khái niệm hàm số, cách cho một hàm số, biết xác định một ánh xạ nào đó có phải là hàm số hay không? Nắm được: tìm được chỉ ra được đâu là tập xác định của hàm số. Các tính chất cơ bản của các hàm số được học trong trường THCS . Cách cho một hàm số: lấy ví dụ về một hàm số. Xác định được một hàm số. Hiểu được khái niệm đồ thị hàm số y =f(x) là gì ? Khái niệm hàm số về hàm sốvề hệ tọa độ, vẽ hệ tọa độ chính xác, đẹp. Biết cách biểu diễn một cặp số hữu tỉ trên hệ tọa độ, biết xác định tọa độ của điểm trong mặt phẳng tọa độ và biết vẽ đồ thị hàm số đặc biệt là các hàm số y=ax+b ( a 0) và y=ax2 ( a 0) một cách chính xác, đẹp. + Biết vận dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức trên trong từng dạng bài tập có liên quan. II. Nội dung. II.1. Đặt vấn đề. Khái niệm hàm số là một trong những khái niệm khó đối với học sinh trong trương trình đại số của bậc THCS. Các khái niệm hàm số, đồ thị hàm số mới được bắt đầu hình thành ở lớp 7, từ đó phát triển đến các lớp tiếp theo. Các bài toán về hàm số, đồ thị hàm số học sinh thường gặp nhiều khó khăn đặc biệt là cách nhận ra một quy tắc cho tương ứng có phải là hàm số hay không? Cách xác định hàm số khi biết một số điều kiện, học sinh vẫn còn lúng túngvề dạng của hàm số. Vì vậy phải đòi hỏi người giáo viên phải có một kiến thức vững vàng cùng với phương pháp truyền thụ, cách dẫn dắt các em tiếp xúc, làm quen và tư duy tốt tiếp nhận kiến thức này một cách chủ động, tích cực. II.2. Bài toán xuất xứ. Xuất phát từ những bài toán thực tế, bài toán chuyển động, sự mua bán,…, mối liên hệ giữa hai đại lượng, nhiều đại lượng. Đại lượng là một khái niệm tổng quát hóa một số khái niệm cụ thể: độ dài, diện tích, thể tích, trọng lương,…, thời gian,…Mỗi khái niệm độ dài, diện tích, thể tích, trọng lượng được biểu hiện bằng giá trị số. Độ dài có thể lấy những giá trị khác nhau, cũng vậy diện tích sẽ khác nhau. Từ đó toán học đã đưa đến khái niệm “Đại lượng biến thiên”. Chẳng hạn quan niệm độ dài là một đại lượng biến thiên theo dơn vị độ dài của cạnh và công thức tính diện tích S = a2 của hình vuông cạnh a nêu lên mối quan hệ (mối tương quan )giữa hai đại lượng biến thiên ấy. Theo quan niệm toán học cổ điển: Một hàm số biểu thị mối tương quan giữa hai đại lượng biến thiên x; y được viết dưới dạng y=f(x) trong đó f là một công thức cho phép chính xác với mỗi giá trị của x ta xác định được một giá trị tương ứng của y. Toán học ngày càng phát triển, các ứng dụng ngày càng nhiều hơn và đa dạng hơn, lý luận toán học càng sâu sắc hơn, thì người ta thấy cần phải định nghĩa khái niệm hàm số một cách chuẩn xác hơn, phản ánh đúng bản chất vấn đề. II.3. Các khái niệm và tính chất cơ bản. * Hàm số: Để hiểu thêm về hàm số, trước hết ta hãy cho học sinh làm quen với khái niệm ánh xạ. II.3.1. Định nghĩa ánh xạ. a) Cho hai tập X, Y. Ta gọi ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y là một quy tắc cho tương ứng cứ mỗi phần tử x ẻ X với một và chỉ một phần tử y ẻ Y. Ký hiệu quy tắc đó f. Ta có kí hiệu ánh xạ đó như sau: f:XđY hay XđfY x a y=f(x) ; x a y=f(x) X: tập nguồn. Y tập đích. X là tạo ảnh; y là ảnh của x qua ánh xạ f. b) Ví dụ: 1. Các cầu thủ An, Bách, Hà, Dũng theo thứ tự mang áo số 1; 2; 3; 4. Sự tương ứng giữa tên cầu thủ và số áo là một ánh xạ từ tập hợp tên các cầu thủ đến tập hợp số áo 1; 2; 3; 4. 2. Các phép toán cộng trừ nhân chia trong Q cũng là các ánh xạ Chẳng hạn 3, 1 và -5 thuộc Q cho ta tương ứng với số -1, 9 thuộc Q; ánh xạ này là quy tắc cộng hai số trong Q 3. Các phép đối xứng qua trục, qua tâm,…cũng là những ánh xạ. 4. Các phép chiếu vuông góc các điểm của đường thẳng (d) xuống đường thẳng (a) là ánh xạ từ tập hợp các điểm của đường thẳng (d) đến các điểm thuộc (a). 5. Nếu ta biểu thị các phần tử của mỗi tập X và Y bởi các điểm, biểu thị các tập hợp ấy bởi các vòng tròn, sự tương ứng biểu thị bởi các mũi tên. Xét các quy tắc cho tương ứng thể hiện ở hình sau: Quy tắc nào cho một ánh xạ? Tại sao? Các quy tắc ở hình (e); (d); (g) là các ánh xạ. Chú ý: với mỗi phần tử thuộc X tương ứng với một và chỉ một phần tử y ẻ Y. Quy tắc ở hình (a), (b) không phải là ánh xạ. Chú ý: + Một ánh xạ f: XđY sao cho "x1, x2 ẻ X mà f(x1) +f(x2) thì f được gọi là đơn ánh hoặc ánh xạ ax –1.(ví dụ (c); (e); (f)). + Một ánh xạ f: XđY sao cho mọi y ẻYđều có tạo ảnh gọi là toàn ánh hoặc ánh xạ lên (d, e, f). + Một ánh xạ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh gọi là song ánh (e, f) hoặc ánh xạ 1-1 lên. II.3.2. Định nghĩa hàm số. A) Nếu các tập hợp X và Y trong định nghĩa ánh xạ nói trên là các tập hợp số thì ánh xạ được gọi là hàm số. Như vậy một hàm số từ tập số X đến tập số Y là một quy tắc cho mỗi giá trị x X tương ứng với một và chỉ một giá trị yY. Gọi hàm số này là f, ta viết: F: XđY xy =f(x) x: biến số; y=f(x) là giá trị của hàm số f tại x. X: tập nguồn hay còn gọi là tập xác định của hàm số Y: là tập đích hay còn gọi là tập giá trị. Chú ý: X; Y đều là tập số (ánh xạ (f) là một hàm số). Có thể tồn tại những giá trị của Y mà không có giá trị x tương ứng thuộc X, nhưng không thể có một giá trị của X mà có giá trị nào tương ứng thuộc Y. Quy tắc cho tương ứng trong định nghĩa hàm số có thể được thể hiện bằng ba cách: * Dùng bảng: Ví dụ: x 1 2 3 4 y -2 -4 -6 -8 * Dùng đồ thị: Các ví dụ về hàm số: * Các quy tắc sau đây cho ta một hàm số. 1) f: R R – {0}. x y = 4/x 2) f: N R y -3 3 1 2 1 2 -1 -2 -2 -1 2 -2 -1 1 2 0 1 4) * Các quy tắc khôg phải là hàm số 1) f : R R AnN Bảo Cường B 10 9 1 4 1 4 2 3 2) f : R R 3) 4) Xét hàm số f: X Y (X, Y è R) * X được gọi là tập xác định của hàm số. Tập X có vai trò quan trọng, nó quy định biến số x được lấy những giá trị nào: do đó tập xác định là tập tất cả các giá trị của x sao cho có thể xác định được giá trị tương ứng của y. Chúng ta cần chú ý tập xác định của các hàm số có dạng sau đây: tập xác định là tập các giá trị x làm cho f(x) ạ 0. . tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x) ³ 0. Ví dụ: Với hàm số Tập xác định (TXĐ): tập tất cả các số x ạ 2. Hoặc tập xác định: " x ạ 2. Với hàm số TXĐ: Tập tất cả các số x³ 0. Hay TXĐ: " x³ 0. Với hàm số y = ỳ x - 3ỳ TXĐ: " x ³ 3. * Theo định nghĩa của hàm số thì với mỗi x ẻ X; giá trị y=f(x) tương ứng của hàm số phải là một phần tử của Y. Tập Y có thể thay bởi một tập số rộng lớn. Tập số rộng nhất ở cấp THCS là tập R. Vì thế người ta nói hàm số f: X R x y=f(x) tức là nhấn mạnh hai yếu tố: - TXĐ của hàm số - Quy tắc xác định hàm số. Còn tập rất quan trọng ít được sử dụng trong chương trình tính toán THCS đó là tập giá trị của hàm số. Tập giá trị của hàm số f(x) là tập hợp gồm tất cả các phần tử f(x) khi x chạy khắp X. Đó là tập con của Y và được ký hiệu là f(x). f(x)= {yẻY/y=f(x), xẻX} Ví dụ: 1) Tìm tập giá trị của hàm số * TXĐ: "x Ê 3, hay là X=(-Ơ; 3]. Tập giá trị f(x)=R+ ={yẻR/ y ³ 0}. II.3.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm giá trị tuyệt đối. * Giả sử y=f(x) là một hàm số xác định trên tập số D. * Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu: f(x) = f(-x) "x ẻD và D = [-a; a]. VD: y = x là hàm số lẻ. Nhận xét: * Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. * Tổng đại số của hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm chẵn (hay lẻ). * Tích của hai hàm chẵn, hay hàm lẻ là một hàm chẵn. Còn tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ. II.3.4. Sự biến thiên của hàm số Giả sử y = f(x) là một hàm số xác định trên D. Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên D, nếu với mọi x1, x2ẻD ; x1< x2 ị y1 = f(x1) < y2 = f(x2) Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên D nếu với mọi x1, x2ẻD ; x1 y2 = f(x2) Từ định nghĩa của hàm số đồng biến trên D, ị điều kiện tương đương sau : Y= f(x) đồng biến trên D Û Y= f(x) nghịch biến trên D Û Ví dụ : Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau : 1/ Hàm số y = ax + b với x1, x2 ẻ TXĐ ; a ạ 0 Với a > 0 hàm số đồng biến VD : y = 2x + 3 Với a < 0 hàm số nghịch biến VD : y = - 2x + 3 2/ Hàm số y = ax2 ; a ạ 0 với x1, x2 ẻ TXĐ Xét tỉ số + a > 0 ; x1, x2 ẻ (0 ; +Ơ) Hàm đồng biến. x1, x2 ẻ (-Ơ ; 0) Hàm nghịch biến. II.3.5. Đồ thị của hàm số Khi xét hàm số y – f(x), điều ta quan tâm là hàm số sẽ nhận giá trị như thế nào tương ứng với mỗi giá trị của biến số x. Điều đó sẽ được phản ánh trên tập hợp tất cả các cặp số (x; f(x). Đồ thị của hàm số f: X Y là tập con G = {(x; f(x)); xẻXƯ của tập tích đề các X.Y trong đó: xẻX; f(x)z ẻY. Để phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS, thay cho việc xét khái niệm tích đề các tổng quát ta chỉ xét các cặp số (x, y). x, y ẻR; xẻX; yẻY. Đồ thị của hàm số f được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (x; y=f(x)) trong mặt phẳng tọa độ. Để vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) trước hết ta vẽ hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, Ox là trục hoanh, Oy là trục tung. Khi đó mỗi điểm M của mặt phẳng được xác định bằng hai tọa độ: hoành độ (x), tung độ (y) và ngược lại mỗi cặp tọa độ (x, y) xác định một điểm của mặt phẳng. -1 -1 1 1 -2 2 2 3 3 0 x y y = x2 Nói cách khác hệ trục tọa độ Oxy xác định một song ánh giữa cặp số được sắp (x, y) (xẻR), (yẻR) với một điểm của mặt phẳng tọa độ. Đồ thị của hàm số có thể là một tập điểm rời rạc hay một tập đoạn đường cong… Tuy nhiên đa số đồ thị thường gặp trong trường THCS là một tập hợp điểm; một đoạn thẳng hay một đường cong liền nét. Để xác định đúng dạng đồ thị của hàm số, thông thường ta phải nghiên cứu trước các tính chất của nó và dựa vào tính chất ấy mà phác họa. Sau đó mới chính xác hóa đồ thị bằng một số điểm của nó. II.3.5.1. Đồ thị của hàm số chẵn, lẽ. * Đồ thị của hàm số chẵn: * Ta đã biết độ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung vì vậy ta chỉ vẽ với x³ 0 sau đó lấy đối xứng qua trục tung. * Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x2. TXĐ: (-Ơ;+Ơ) * Đồ thị hàm số lẻ. Ta có thể biết đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ vì vậy khi vẽ đồ thị ta chỉ cần vẽ với x ³ 0, sau đó lấy đối xứng qua O. -1 1 1 -1 -2 -2 2 3 2 3 4 x y 0 y = x Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x. II.3.5.2. Các phép biến đổi đồ thị phép tịnh tiến. + Tịnh tiến thep trục hoành. Ví dụ: đồ thị hàm số y = f(x-a) suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng phương pháp tịnh tiến theo trục hoành Với a > 0 tịnh tiến theo chiều dương của Ox -2 -1 -2 -1 2 1 2 1 0 3 y x y = x y = x + 1 y = x - 2 Với a < 0 tịnh tiến theo chiều âm của Ox Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = x ta suy ra đồ thị hàm số y = x + 1 bằng cách tịnh tiến theo chiều âm của Ox đi 1 đơn vị. + Đồ thị hàm số y = x – 2 bằng cách tịnh tiến theo chiều dương của trục hoành đi 2 đơn vị. + Tịnh tiến theo trục tung. Đồ thị hàm số y = f(x) + b được suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách: Nếu b > 0 tịnh tiến theo chiều dương của Oy Nếu b < 0 tịnh tiến theo chiều âm của Oy -1 -2 -2 -1 2 1 2 1 3 4 5 y x y = x2 - 2 y = x2 y = x2 + 1 0 Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = x2 suy ra đồ thị hàm số y1 = x2 +1 bằng cách tịnh tiến theo chiều dương của Oy một đơn vị dài. Y2= x2 – 2 bằng cách tịnh tiến theo chiều âm của Oy hai đơn vị dài. -1 -2 -2 -1 0 1 1 2 2 y x y = 2x b) Phép đối xứng. + Đối xứng qua trục hoành. Y = f(x) và y = - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành. Ví dụ: y = 2x và y = -2x. -1 -1 -2 -2 -3 -4 0 1 2 3 3 2 1 4 y x y=x2-2x-3 y=x2+2x-3 + Đối xứng của trục tung. y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung. Ví dụ: y1= x2 + 2x - 3 và y2= x2 - 2x - 3 II.3.6. Trong chương trình đại số bậc THCS cần quan tâm đến hai hàm số y = ax + b và y = ax2 (a ạ 0). II.3.6.1. Hàm số bậc nhất y =ax + b (a ạ 0). a/ Tính chất TXĐ: R Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến. a < 0 hàm số nghịch biến. b/ Đồ thị: Xuất phát từ đồ thị hàm số y = ax; đối với học sinh lớp 7 thì đồ thị hàm số y = ax (a ạ 0) là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a). Đến lớp 9, do mở rộng tập Q R ( Tập số y = ax đã được chứng minh là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a). Suy ra đồ thị hàm số y =ax + b bằng cách tịnh tiến theo trục tung, đồ thị hàm số y = ax; đồ thị hàm số y = ax + b luôn cắt trục tung tại điểm B(0; b). Ta biết rằng qua 2 điểm phân biệt ta hoàn toàn xác định được một và chỉ một đường thẳng. Vì vậy để vẽ được đồ thị của hàm số y = ax + b tức là xác định được đường thẳng (D) có phương trình y =ax + b, ta thường xác định hai điểm sau: + Giao điểm của (D) với các trục tọa độ Trục hoành: A(-b/a; 0) Trục tung: B(0; b) + a được gọi là hệ số góc của đường thẳng (D) + b gọi là tung độ góc của (D). Trong hệ tọa độ vuông góc thì hệ số góc a của (D) là tang của góc x tạo bởi đường thẳng (D) với chiều dương của trục hoành. - Nếu a > 0: góc tạo bởi đường thẳng (D) với chiều dương Ox là góc nhọn. a càng lớn độ lớn của góc càng lớn nhưng đều nhỏ hơn 900. - Nếu a < 0: góc tạo bởi đường thẳng (D) với chiều dương Ox là góc tù. a càng lớn thì góc x càng lớn nhưng đều nhỏ hơn 1800 và lớn hơn 900. Chú ý: + Trong trường hợp đặc biệt a = 0 ta có hàm lũy số y = b, đồ thị của nó là đường thẳng vuông góc với trục tung. + Trong trường hợp các giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ quá gần nhau, ta thay giao điểm của đồ thị với trục hoành bởi một điểm khác: M(x1; ax1 + b). c/ Để xác định các hệ số a và b của hàm số y = ax + b theo các điều kiện đã cho: - Đường thẳng y = ax + b đi qua A(x1; y1) Û y1 = ax1 +b. - Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm: A(x1; y1); B(x2; y2) Û y1 = ax1 + b y2 = ax2 + b - Đường thẳng y =ax +b song song với đường thẳng y =a’x + b’ khi và chỉ khi a = a’; b ạ b’. d) Tọa độ các giao điểm của hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ là nghiệm của hệ phương trình: y =ax + b y = a’x + b, Hai đường thẳng: (D): y = ax + b và (D’): y = a’x + b’ trên cùng một hệ tọa độ vuông góc có các vị trí sau: (D)// (D’) Û a = a’ ; b ạ b’ (D) cắt (D’) Û a ạ a’ (D) ^ (D’) Û aa’ = -1 (D)º (D’) Û a = a’ ; b = b’ Các ví dụ: Viết phương trình đường thẳng : * Song song với đường thẳng y = x + 2 và đi qua điểm M(1; 2). * Vuông góc với đường thẳng y = x – 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. Giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b * Do đường thẳng này song song với đường thẳng y = x + 2 nên a = 1 và b ạ 2. Do đường thằng này đi qua điểm M(1, 2) nên với x = 1, y = 2 thay vào ta có: 2 = 1.1 + b nên b = 1. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x + 1. * Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng y = x – 3 nên: a.1 = -1 suy ra a = -1. Do đường thẳng cần tìm cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 nên x = 0; y = 2 thay vào ta có: 2 = -1.0 + b. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = -x + 2. -1 -2 -2 -1 2 1 2 1 3 4 y x 0 y = x+ 2 y = x+ 1 -1 -2 -2 -1 2 1 2 1 3 4 y x 0 y = - x+ 2 y = x - 3 -3 3 * Vẽ đồ thị của các hàm số trên một hệ tọa độ. 2/ Cho hai đường thẳng: y = (m2 + 1) x + m (d1) y = 2mx + m – 2 (d2) Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau. Điều kiện để d1// d2 là: m2 + 1 = 2m m2 - 2m + 1 = 0 m ạ m – 2 Û m ạ m – 2 m = 1 m ạ m – 2 Phương trình các đường thẳng (d1) : y = 2x + 1 (d2) : y = 2x – 1 II.3.6.2. Hàm số y = ax2 (a ạ 0) Tính chất: + TXĐ: R + Chiều biến thiên: a > 0: hàm số đồng biến trong R+ a < 0: hàm số đồng biến trong R- a > 0: hàm số nghịch biến trong R- a < 0: hàm số nghịch biến trong R+ x = 0 thì y = 0. b. Đồ thị hàm số y = ax2 (a ạ 0) có đồ thị là đường Parabol với các đặc điểm sau: + Đỉnh là gốc tọa độ: O(0;0) + Trục đối xứng là trục: Oy + a > 0: Parabol quay bề lõm lên phía trên, nhận gốc tọa độ làm điểm cực tiểu ( thấp nhất) ( nằm phía trên trục hoành) + a < 0: Parabol quay bề lõm xuống phía dưới, nhận gốc tọa độ làm điểm cực đại (cao nhất) (nằm phía dưới trục hoành). Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a ạ 0) ta cần xác định 1 số điểm để vẽ đường cong (ít nhất là 3 điểm) với x > 0. Sau đó lấy đối xứng qua trục hoành. Ví dụ: y = 2x2 -1 -1 1 1 -2 2 2 3 3 0 x y y = 2x2 4 5 6 7 8 -1 1 -2 2 x -8 -6 -5 3 -4 -7 y y = - 2x2 -3 -2 -1 0 1 x = 0; y = 0 x =1; y = 2 x =1/2; y = 1/2 x = 2; y = 8 y = -2x2 x = 0; y = 0 x = 1; y = - 2 x = 1/2; y = -1/2 x = 2; y = 8 II.3.6.3. Vị trí tương đối giữa Parabol y = ax2 và đường thẳng y = mx + n. Tọa độ giao điểm cùa Parabol y = ax2 (a ạ 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của hệ phương trình: mx + n = y (d) ax2 = y (p). Hoành độ giao điểm của Parabol y = ax2 (a ạ 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của phương trình ax2 = mx + n. Tức là: ax2 – mx – n = 0 (1) * Nếu phương trình (1) có > 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt, đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt. * Nếu phương trình (1) có < 0 thì (1) vô nghiệm, đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P). (Tức là đường thẳng (d) có một điểm chung duy nhất với Parabol và Parabol nằm về một phía của đường thẳng). Lưu ý: Đường thẳng x = m cũng chỉ có một điểm chung duy nhất với Parabol nhưng ta không gọi là tiếp xúc với Parabol. Các ví dụ: 1/ Xác định vị trí của Parabol y = x2 với các đường thẳng sau: + y = x + 1 + y = 0 + y = -x -2 + y = 2x -1 Giải: + Xét phương trình x2 – x –1 = 0 ta có: = 1 + 4 = 5 > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt Đường thẳng y=x+1 cắt Parabol y =x2 tại hai điểm. -1 -1 1 1 -2 2 2 3 3 0 x y y = x2 -2 4 y = 2x - 1 y = x + 1 y = -x - 2 +Xét phương trình x2 = 0 có nghiệm kép x1= x2 = 0.Đường thẳng y = 0 tiếp xúc với Parabol y = x2 tại gốc tọa độ (trục hoành) + xét phương trình x2 +x +2 = 0 ta có = 1- 8 < 0 phương trình vô nghiệm ,đường thẳng y = -x –2 không cắt Parabol y =x2 … + Xét phương trình : x2 – 2x + 1 = 0. (x – 1)2 = 0 Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = 1. Đường y = 2x – 1 tiếp xúc với Parabol tại điểm có hoành độ bằng 1. 2/ Cho Parabol và đường thẳng a)Tìm giá trị của n để đường thẳng tiếp xúc với Parabol. b) Tìm giá trị của n để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm. -2 -1 1 1 -2 2 2 3 3 x 0 -1 y y = - 0,5x + 1 c)Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng với Parabol nếu n = 1. Vẽ đồ thị của Parabol với đường thẳng trong trường hợp ấy . Giải: Xét phương trình x2 +x –2n = 0 (2) + Điều kiện đểdddường thẳng tiếp xúc với Parabol là phương trình (2) có nghiệm kép . =1 +8n; =0 n = Khi đó đường thẳng có phương trình là -2 -1 1 1 -2 2 2 3 3 x 0 -1 y y = - 0,5x + 1 + Điều kiện đẻ đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm làphương trình (2) có hai nghiệm phân biệt ;tức là > 0n > + Với n = 1 phương trình (2) có dạng : x2 + x – 2 =0 ( x + 2 )( x – 1 ) = 0 x1= -2 ; x2 = 1. Tọa độ giao điểm của đường thẳng y = -x + 1 và Parabol y = là A(-2;2) và B (1; ) II.4.Những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục. II.4.1 Những sai lầm. + Một số học sinh không phân biệt được đâu là hàm số , đâu là sự tương ứng (học sinh lớp 7 ). + Nhiều học sinh không biểu diễn dược một điểm trên mặt phẳng tọa độ (học sinh lớp 7 ). +Học sinh còn mắc phải sai lầm trong việc xác định tọa độ của một điêmtrong mặt phẳng tọa độ. + Việc tìm mối liên hệ giữa đường bậc hai (phương trình bậc hai ) và đường bậc nhất ( y = ax + b ) nhiều học sinh còn lúng túng.Vì vậy khi giải hệ phương trình còn khó khăn. II.4.2.Cách khắc phục. + Cho học sinh nhìn nhận dưới nhiều dạng : bảng ,biểu thức, sơ đồ ven đồ thị . + Giải thích vì sao ( Vi phạm điều kiện nào ) không phải là hàm số (dựa vào ?? ). + Khi dạy về mặt phẳng tọa độ ,giáo viên hướng dẫn thật kỹ cách biểu diễn một điểm trên mặt phẳng tọa độ ,cho học sinh biểu diễn nhiều điểm trên cùng một mặt phẳng tọa độ, cho học sinh quan sát một số cách biểu diễn sai để học sinh nhận xét và rút kinh nghiệm cho bản thân. + Học sinh cần nắm vững cách tìm mối quan hệ giữa đường bậc hai (y = ax2) và đường bậc nhất (y = mx + n) chính là biện luận các điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 = mx + n Û ax2 - mx – n = 0. +Học sinh nắm thật chính xác về sự biến thiên của hàm số dạng của đồ thị. II.5. ứng dụng của hàm số và đồ thị . 1/ Giải phương trình . 2/ Giải hệ phương trình. 3/ Bất phương trình chứa tham số. 4/ Tìm cực trị. 5/ Giải bài toán về chuyển động đều. II.6. Các dạng bài tập. + Nhận biết một quy tắc tương ứng có là hàmsố không? + Tính giá trị của hàm số . + Tìm tập xác định của hàm số . + Vẽ đồ thị của hàm số. + Mối tương quan giữa hai đồ thị của hai hàm số. + Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đồ thị. + Giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. + Họ đường thẳng, Parabol đi qua một điểm cố định. + Tìm cực trị của một hàm, một biểu thức. + Tìm diện tích của hình giới hạn bởi các đường thẳng. + Khảo sát hàm số. + Chứng minh sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trong khoảng nào đó? II.7. Một số ví dụ : Ví dụ 1: Cho Parabol y = ax2 (a ạ 0) và đường thẳng y = mx + n Xác định các hệ số a, m, n biết rằng Parabol đi qua A(-2;2); Đường thẳng đi qua B(1;0) và tiếp xúc với Parabol. y = 2x - 2 -2 -1 1 1 -2 2 2 3 3 x y 0 -1 Giải: Vì Parabol y = ax2 (a ạ 0) đi qua điểm A(-2;2) nên 2= a.(-2)2 ị Vậy Parabol có dạng Nên phương trình có nghiệm kép Û D = m2- 2m = 0 ị m1= 0; m2 = 2 Ta có hai trường hợp : a/ m = 0 đường thẳng y = 0 tọa độ tiếp điểm là (0;0) b/ m = 2 đường thẳng là y = 2x – 2 tọa độ tiếp điểm là (2;2) Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số: y = ờx - 1ờ+ ờx - 2ờ Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ nhất của y . -1 -2 -2 -1 2 1 2 1 3 4 y x 0 y = -x- 3 y = 2x- 3 3 Giải : - 2x + 3 với x < 1 Ta có : y = ờx - 1ờ+ ờx - 2ờ= 1 với 1 Ê x Ê 2 2x – 3 với x > 2 Xét từng khoảng : x 2 . Vẽ đồ thị : * Căn cứ vào đồ thị ta có : Min y = 1 với 1 Ê x Ê 2. II.8. Bài dạy minh họa: Tiết 49 : Đồ thị hàm số y = ax2 (a ạ 0) A/ Mục tiêu cần đạt : - Học sinh biết được dạng của đồ thị hàm số y = ax2 (a ạ 0) và phân biệt được chúng trong hai trường hợp a > 0 , a < 0. - Nắm vững tính chất của đồ thị và liên hệ được tính chất của đồ thị với tính chất của hàm số. - Biết cách vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ạ 0) - Rèn tính cẩn thận, trung thực cho học sinh. B/Chuẩn bị của GV – HS : ?3 ?1 - GV: Bảng phụ, kẻ sẵn bảng giá trị của hàm số y = 2x2 ; Đề bài ; - HS :Ôn lại kiến thức “Đồ thị hàm số y = f(x)” Cách xác định một điểm của đồ thị, giấy kẻ ô li, thước kẻ, máy tính bỏ túi. Bảng phụ nhóm kẻ sẵn ô vuông. C/ Tiến trình tiết dạy : I. ổn định tổ chức: II. Kiểm tra bài cũ : Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Gọi hai HS lên bảng cùng một lúc : HS1: a/ Điền vào ô trống các giá trị tương ứng của y trong bảng sau: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x2 18 8 2 0 2 8 18 Hai HS lên bảng : HS 1: a/ Lên bảng điền ..... Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng b/ Hãy nêu tính chất của hàm số y = ax2 (a ạ 0) HS2 : a/ Hãy điền vào những ô trống các giá trị tương ứng của y trong bảng sau x -4 -2 -1 0 1 2 4 -8 -2 0 -2 -8 b/ Nêu nhận xét rút ra sau khi học hàm số y = ax2 (a ạ 0) b/ Hãy