Đề tài Phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử loại I

Mục lục Mở đầu 4 Chương 1. Phương trình toán tử loại I 7 1.1. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2. Hiệu chỉnh phương trình toán tử loại I 20 2.1. Hiệu chỉnh dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh . . . 20 2.1.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 25 2.2. Xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 27 2.2.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều . . . . . 27 2.2.1. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều . . 32 2.3. Một phương pháp lặp cho nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . 34 2.3.1. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 1 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý báu của các giáo sư của Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, của các thầy cô giáo trong Đại học Thái Nguyên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy Cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn theo sát động viên tôi vượt qua những khó khăn trong cuộc sống để có được điều kiện tốt nhất khi học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2010 Tác giả Vũ Đình Chiến 2 Một số ký hiệu và chữ viết tắt H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp của X Rn không gian Euclide n chiều ∅ tập rỗng x := y x được định nghĩa bằng y ∀x với mọi x ∃x tồn tại x I ánh xạ đơn vị A ∩B A giao với B AT ma trận chuyển vị của ma trận A a ∼ b a tương đương với b A∗ toán tử liên hợp của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền giá trị của toán tử A xk → x dãy {xk} hội tụ mạnh tới x xk ⇀ x dãy {xk} hội tụ yếu tới x 3 Mở đầu Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X∗ là không gian liên hợp của X , cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ‖.‖, A : X → X∗ là toán tử đơn điệu đơn trị. Xét phương trình toán tử loại I: với f ∈ X∗, tìm x0 ∈ X sao cho A(x0) = f. (0.1) Khi toán tử A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, bài toán (0.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học, công nghệ, kinh tế... dẫn tới bài toán đặt không chỉnh. Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là các nhà toán học A. N. Tikhonov, M. M. Lavrentiev, V. K. Ivanov .... Do tính không ổn định của bài toán này nên việc giải số của nó gặp khó khăn. Lí do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số bất kỳ của nghiệm. Để giải loại bài toán này, ta phải sử dụng những phương pháp ổn định, sao cho khi sai số của các dữ kiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Năm 1963, A. N. Tikhonov [7] đã đưa ra một phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế. Nội dung chủ yếu của phương pháp này là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (0.1) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xh,δα của phiếm hàm Tikhonov F h,δα (x) = ‖Ah(x)− fδ‖2 + α‖x∗ − x‖2 (0.2) trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ, x∗ là phần tử 4 cho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn và (Ah, fδ) là xấp xỉ của (A, f). Hai vấn đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov và chọn tham số hiệu chỉnh α = α(h, δ) thích hợp để phần tử cực tiểu xh,δα(h,δ) dần tới nghiệm chính xác của bài toán (0.1) khi h và δ dần tới không. Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khó khăn trong trường hợp bài toán phi tuyến. Đối với lớp bài toán phi tuyến với toán tử đơn điệu A : X → X∗, F. Browder [5] đưa ra một dạng khác của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Tư tưởng chủ yếu của phương pháp do F. Browder đề xuất là sử dụng một toán tử B : X → X∗ có tính chất h- liên tục (hemicontinuous), đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Bằng phương pháp này, Nguyễn Bường [6] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử loại I (0.1) trên cơ sở giải phương trình Ah(x) + αB(x) = fδ. (0.3) Bản luận văn này nhằm mục đích trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử loại I (0.1) trong không gian Banach phản xạ thực X dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Trình bày phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều và một phương pháp lặp tìm nghiệm hiệu chỉnh. Nội dung của luận văn gồm có phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản nhất về toán tử đơn điệu, phương trình toán tử đặt không chỉnh, sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm của phương trình toán tử loại I. Trong chương 2, chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov cho phương trình toán tử loại I dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh. Trình bày sự hội tụ và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trên cơ sở tham số hiệu chỉnh được chọn tiên nghiệm. Chúng tôi cũng trình bày 5 phương pháp xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh và ở phần cuối của chương là một phương pháp lặp cho nghiệm hiệu chỉnh cùng với ví dụ minh họa. 6 Chương 1 Phương trình toán tử loại I Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản nhất về phương trình toán tử loại I với toán tử đơn điệu. Chúng tôi cũng trình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh và đưa ra một vài ví dụ về phương trình toán tử đặt không chỉnh. Các kiến thức của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2] và [4]. 1.1. Toán tử đơn điệu Cho A : X → X∗ là toán tử đơn trị từ không gian Banach thực phản xạ X vàoX∗ với miền xác định làD(A) ⊆ X (thông thường ta coiD(A) ≡ X nếu không nói gì thêm) và miền giá trị (miền ảnh) R(A) nằm trong X∗. Định nghĩa 1.1.1. Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu 〈Ax− Ay, x− y〉 ≥ 0, ∀x, y ∈ X. A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt được khi x = y. Khái niệm về toán tử đơn điệu cũng có thể được mô tả dựa trên đồ thị Gr(A) của toán tử A trong không gian tích X ì X∗, trong đó theo định nghĩa Gr(A) = {(x, y) : y = Ax}. Định nghĩa 1.1.2. Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu 〈x∗ − y∗, x− y〉 ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ Ax, y∗ ∈ Ay. Tập Gr(A) được gọi là tập đơn điệu nếu nó thoả mãn bất đẳng thức trên. 7 Định nghĩa 1.1.3. Nếu Gr(A) không bị chứa một tập đơn điệu nào khác trong X ìX∗ thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại. Định nghĩa 1.1.4. Nếu ∀x ∈ X ta có 〈Ax, x〉 ≥ 0 thì A được gọi là toán tử xác định không âm, kí hiệu là A ≥ 0. ? Nhận xét: Nếu A là một toán tử tuyến tính trong không gian Banach X thì tính đơn điệu tương đương với tính xác định không âm của toán tử. Ví dụ 1.1.1. Giả sử H là không gian Hilbert, A : H → H là toán tử không giãn, tức là ‖Ax− Ay‖ ≤ ‖x− y‖, ∀x, y ∈ X. Khi đó toán tử I − A là toán tử đơn điệu, ở đây I là toán tử đơn vị trong không gian Hilbert H . Ví dụ 1.1.2. Toán tử tuyến tính A : RM → RM được xác định bởi A = BTB, với B là một ma trận vuông cấp M , là một toán tử đơn điệu. Định nghĩa 1.1.5. Toán tử A được gọi là đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và 〈Ax− Ay, x− y〉 ≥ δ(‖x− y‖), ∀x, y ∈ X. Nếu δ(t) = cAt 2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh. Định nghĩa 1.1.6. Toán tử A được gọi là h-liên tục (hemicontinuous) trên X nếu A(x + ty) ⇀ Ax khi t → 0 với mọi x, y ∈ X và A được gọi là d-liên tục (demicontinuous) trên X nếu từ xn → x suy ra Axn ⇀ Ax khi n→∞. 8 Ví dụ 1.1.3. Hàm hai biến: ϕ(x, y) =  xy2 (x2 + y4) nếu (x, y) 6= (0, 0) 0 nếu (x, y) = (0, 0) liên tục theo từng biến riêng biệt tại (0, 0) nhưng không liên tục tại (0, 0). Do đó nó h-liên tục tại (0, 0). ? Nhận xét: Một toán tử đơn điệu và h-liên tục trên X thì d-liên tục. Định nghĩa 1.1.7. Toán tử A : X → X∗ được gọi là toán tử bức, nếu lim ‖x‖→∞ 〈Ax, x〉 ‖x‖ =∞, ∀x ∈ X. Định nghĩa 1.1.8. ánh xạ U s : X → X∗ (nói chung đa trị) xác định bởi U s(x) = {x∗ ∈ X∗ : 〈x∗, x〉 = ‖x∗‖s−1.‖x‖ = ‖x‖s, s ≥ 2} được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian X . Khi s = 2 thì U s thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X . ? Nhận xét: 1) Trong không gian Hilbert H , ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính là toán tử đơn vị I trong H . 2) ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồn tại trong mọi không gian Banach. Với X = Lp(Ω), 1 < p < ∞ và Ω là một tập đo được của không gian Rn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U có dạng (Ux)(t) = ‖x‖2−p|x(t)|p−2x(t), t ∈ Ω. 9 Trong không gian Lp(Ω), ánh xạ đối ngẫu U s có tính chất đơn điệu đều và liên tục Holder, vì 〈U s(x)− U s(y), x− y〉 ≥ mU‖x− y‖s, mU > 0, (1.1) ‖U s(x)− U s(y)‖ ≤ C(R)‖x− y‖ν, 0 < ν ≤ 1, (1.2) ở đây C(R) là một hàm dương và đơn điệu tăng theo R = max{‖x‖, ‖y‖} (xem [3]). Định lý 1.1.1. (xem [4]) Nếu X∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U : X → X∗ là toán tử đơn điệu, bức và d-liên tục. Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệu chặt. Bổ đề 1.1.1. (xem [9]) Cho X là một không gian Banach thực, f ∈ X∗ và A là một toán tử h-liên tục từ X vào X∗. Khi đó, nếu có 〈A(x)− f, x− x0〉 ≥ 0, ∀x ∈ X, thì A(x0) = f . Nếu A là một toán tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với 〈A(x0)− f, x− x0〉 ≥ 0, ∀x ∈ X. Bổ đề 1.1.1 có tên là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đã chứng minh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert. Sau này chính ông và Browder đã chứng minh độc lập trong không gian Banach. Định nghĩa 1.1.9. Cho X là không gian Banach phản xạ, f : X → R là một phiếm hàm lồi, chính thường trên X . • Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu lim inf y→x f(y) ≥ f(x), ∀x ∈ X. 10 • Ta định nghĩa ∂f(x) bởi ∂f(x) = {x∗ ∈ X∗ : f(x) ≤ f(y) + 〈x∗, x− y〉, ∀y ∈ X}. Phần tử x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới Gradient của hàm f tại x và ∂f(x) được gọi là dưới vi phân của f tại x. Dưới vi phân của một hàm lồi là một ví dụ điển hình về toán tử đơn điệu cực đại là. Cụ thể ta có định lý sau. Định lý 1.1.2. (xem [4]) Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X∗ là không gian liên hợp của X . Nếu f : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới trên X , thì ánh xạ dưới vi phân ∂f là một toán tử đơn điệu cực đại từ X vào X∗. Định nghĩa 1.1.10. Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x ∈ X nếu tồn tại x∗ ∈ X∗ sao cho lim λ→+0 f(x+ λy)− f(x) λ = 〈x∗, y〉, ∀y ∈ X, và x∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của f tại x, kí hiệu là f ′(x). Định nghĩa 1.1.11. Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X , nếu tồn tại T ∈ L(X, Y ) sao cho: A(x+ h) = A(x) + Th+O(‖ h ‖), với mọi h thuộc một lân cận của điểm θ. Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại điểm x, ta viết A′(x) = T. 1.2. Phương trình toán tử đặt không chỉnh Xét phương trình toán tử loại I A(x) = f, (1.3) 11 ở đây A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y, f là phần tử thuộc Y . Đầu thế kỉ 20, J. Hadamard đã đưa ra định nghĩa (xem [1] và tài liệu dẫn): Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian Y . Bài toán (1.3) được gọi là bài toán đặt chỉnh nếu 1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ; 2) nghiệm duy nhất; 3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn thì bài toán (1.3) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. ? Nhận xét: 1) Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f , nghĩa là x = R(f), được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi ε > 0 có thể tìm được một số δ(ε) > 0, sao cho từ ρY (f1, f2) ≤ δ(ε) ta có ρX(x1, x2) ≤ ε, ở đây x1 = R(f1), x2 = R(f2), f1, f2 ∈ Y, x1, x2 ∈ X. 2) Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác. Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.3) thường được cho bởi đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác f , ta chỉ biết xấp xỉ fδ của nó thoả mãn ‖fδ − f‖ ≤ δ. Giả sử xδ là nghiệm của (1.3) với f thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x. Sau đây ta sẽ chỉ ra một vài ví dụ về toán tử A mà (1.3) là bài toán đặt không chỉnh. 12 Định nghĩa 1.2.2. Toán tử (phi tuyến) A được gọi là liên tục mạnh, nếu nó ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh tức là nếu xn ⇀ x suy ra Axn → Ax. Mệnh đề 1.2.1. (xem [9]) Cho X và Y là các không gian Banach thực. Nếu A là toán tử tuyến tính compact thì A liên tục mạnh. Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.3) (vô hạn chiều) nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Thật vậy, giả sử {xn} là một dãy chỉ hội tụ yếu đến x, xn ⇀ x, xn 6→ x và yn = A(xn), y = A(x). Khi đó, do tính liên tục mạnh của A suy ra yn → y và nghiệm của phương trình A(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán tử với toán tử liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) của toán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó chứng minh trên không áp dụng được. Và nếu ta xét một toán tử tuyến tính compact với miền ảnh R(A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A−1 nói chung là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài toán đặt chỉnh. Ví dụ 1.2.1. Hệ phương trình x1 + x2 + x3 = 3 x1 + 1, 01x2 + x3 = 3, 01 x1 + x2 + 1, 01x3 = 3, 01 có nghiệm là x1 = 1; x2 = 1 và x3 = 1. Trong khi đó hệ phương trình x1 + x2 + x3 = 3 1, 01x1 + x2 + x3 = 3, 05 x1 + 1, 03x2 + x3 = 3, 06 13 có nghiệm là x1 = 205; x2 = 206 3 và x3 = −818 3 . Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số trong phương trình ban đầu đã kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm. Do vậy, đây là một bài toán đặt không chỉnh. Ví dụ 1.2.2. Phương trình tích phân Fredholm loại I là bài toán đặt không chỉnh. Thật vậy, xét phương trình b∫ a K(x, s)ϕ(s)ds = f0(x), x ∈ [a, b], −∞ < a < b < +∞ (1.4) ở đây nghiệm là hàm ϕ(s), vế phải f0(x) là một hàm số cho trước và hạch K(x, s) cùng với ∂K ∂x được giả thiết là các hàm liên tục trên hình vuông 0 ≤ x, s ≤ 1. Giả sử toán tử A được cho bởi A : L2[a,b] → L2[a,b] ϕ(s) 7→ f0(x) = b∫ a K(x, s)ϕ(s)ds Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2[a,b], tức là khoảng cách giữa hai hàm f1(x) và f0(x) trong L 2 [a,b] xác định bởi ρL2[a,b](f0, f1) = ( b∫ a |f0(x)− f1(x)|2dx ) 1 2 . Giả sử phương trình (1.4) có nghiệm là ϕ0(s). Khi đó với vế phải f1(x) = f0(x) +N b∫ a K(x, s)sin(ωs)ds thì nghiệm là ϕ1(s) = ϕ0(s) +Nsin(ωs). 14 Với N bất kỳ và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong không gian L2[a,b] là ρL2[a,b](f0, f1) = |N | [ b∫ a ( b∫ a K(x, s)sin(ωs)ds )2 dx ] 1 2 có thể làm nhỏ tuỳ ý. Thật vậy, đặt Kmax = max a≤s,x≤b |K(x, s)|, ta tính được ρL2[a,b](f0, f1) ≤ |N | [ b∫ a ( Kmax 1 ω cos(ωs) ∣∣∣∣b a )2 dx ] 1 2 ≤ |N |Kmax4(b− a) ω . Ta chọn N và ω lớn tuỳ ý nhưng N ω lại nhỏ. Khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ0 và ϕ1 trong không gian L 2 [a,b] có thể lớn bất kỳ. Thật vậy: ρL2[a,b](ϕ0, ϕ1) = [ b∫ a |ϕ0(s)− ϕ1(s)|2dx ] 1 2 = |N | ( b∫ a sin2(ωx)dx ) 1 2 = |N | √ b− a 2 − sin(ωb− ωa)cos(ωb+ ωa) 2ω . Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL2[a,b](f0, f1) rất nhỏ nhưng ρL2[a,b](ϕ0, ϕ1) lại rất lớn. Ví dụ 1.2.3. Xét bài toán cực tiểu hàm ϕ(y) = y trên đoạn thẳng y = λ0x + y0 nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy. ở đây λ0 và y0 là những số cho trước và y0 > 0. Giả sử λ0 = 0 và thay cho λ0 ta có λδ : |λδ − λ0| < δ. Ta xét các trường hợp: * Trường hợp 1: λδ > 0. Ta có λδ = λ1 = λ0 + δ/2. Trong trường hợp này, thay cho đường thẳng y = y0 ta có đường thẳng d1 : y = λ1x + y0. Giá trị cực tiểu của phiếm 15 hàm ϕ(y) trên một phần của d1 nằm trong vùng {x ≥ 0, y ≥ 0} đạt được tại điểm (0, y0). Điều đó có nghĩa là khi x = 0 thì ϕ(0) = y0. y0 x2(δ) d2 d1 0 x y Hình 1.1 * Trường hợp 2: λδ < 0. Ta có λδ = λ2 = λ0 − δ/2. Trong trường hợp này thay cho đường thẳng y = y0 ta có đường thẳng d2 : y = λ2x + y0. Do λδ < 0 cho nên đường thẳng d2 cắt trục Ox tại một điểm x2(δ) nào đó. Giá trị cực tiểu của phiếm hàm ϕ(y) trên một phần của d2 nằm trong vùng {x ≥ 0, y ≥ 0} đạt được tại điểm (x2(δ), 0), tức là tại x = x2(δ) ta có ϕ(x2(δ)) = 0. Như vậy với |λ1 − λ2| ≤ δ ta có |min λ1 ϕ(y)−min λ2 ϕ(y)| = |y0 − 0| = y0 > 0, ở đây y0 có thể lớn tuỳ ý (Hình 1.1). Như vậy bài toán này không ổn định. Sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.3) được cho trong định lý sau. 16 Định lý 1.2.1. (xem [4]) Cho A là một toán tử h-liên tục, đơn điệu và bức từ không gian Banach phản xạ X vào X∗. Khi đó phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ X∗. Chứng minh. Do A là toán tử bức, cho nên tồn tại một hàm thực không âm δ(t) : δ(t) → +∞ khi t → +∞ và 〈A(x), x〉 ≥ ||x||δ(||x||). Xét ánh xạ af(x) = A(x)− f , ở đây f ∈ X∗ là một phần tử bất kì. Khi đó af cũng là ánh xạ liên tục và đơn điệu. Hơn thế nữa 〈af(x), x〉 = 〈A(x), x〉 − 〈f, x〉 ≥ ||x||(δ(||x||)− ||f ||). Suy ra tồn tại một số dươngMf sao cho với ||x|| ≥Mf thì 〈af(x), x〉 ≥ 0. Vì vậy tồn tại một phần tử x0 sao cho A(x0) = f. 2 Toán tử A đơn điệu cực đại khi và chỉ khi miền ảnh của A+ λU là toàn bộ không gian X∗, đó là nội dung của định lý sau. Định lý 1.2.2. (xem [4]) Cho X và X∗ là các không gian Banach thực phản xạ và lồi chặt, U : X → X∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X , A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu. Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu với mọi λ > 0, R(A+ λU) là toàn bộ X∗. Định lý sau đây chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, h-liên tục và bị chặn nào từ X vào X∗ cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại. Định lý 1.2.3. (xem [4]) Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, B : X → X∗ là một toán tử đơn điệu, h-liên tục và bị chặn, A : X → X∗ là toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó A + B cũng là một toán tử đơn điệu cực đại. Tính bị chặn của toán tử B sẽ là không cần thiết nếu miền xác định của nó là toàn bộ không gian X . Ta có kết quả sau. 17 Định lý 1.2.4. (xem [4]) Cho X là không gian Banach thực phản xạ, và A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu, h-liên tục xác định trên X . Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại. Ngoài ra, nếu A là toán tử bức thì ta có R(A) = X∗. Ký hiệu S0 là tập nghiệm của phương trình (1.3), giả thiết nghiệm tồn tại. Ta có định lý sau (xem [4]). Định lý 1.2.5. Cho A : X −→ X∗ là toán tử đơn điệu cực đại. Gọi S0 là tập tất cả các phần tử x0 ∈ X sao cho x0 là nghiệm của phương trình Ax = f . Khi đó S0 là tập lồi và đóng trong X ∗. Chứng minh. Lấy f1, f2 ∈ Ax. Vì A là toán tử đơn điệu nên ta có: 〈f1 − g, x− y〉 ≥ 0, (1.5) và 〈f2 − g, x− y〉 ≥ 0, (1.6) ∀(y, g) ∈ GrA. Đặt f = tf1 + (1 − t)f2 với t ∈ [0, 1]. Nhân (1.5) với t, (1.6) với (1− t) rồi cộng lại ta được: t〈f1 − g, x− y〉+ (1− t)〈f2 − g, x− y〉 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA ⇔ 〈f − g, x− y〉 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA. Vậy f ∈ Ax hay S0 là tập lồi. Lấy fn ∈ Ax, fn → f ∗. Ta chứng minh f ∗ ∈ Ax. Thật vậy, 〈fn − g, x− y〉 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA. Cho n→∞ ta được 〈f ∗ − g, x− y〉 ≥ 0. Suy ra f ∗ ∈ Ax. Vậy S0 là tập đóng. 2 18 Vì tính không duy nhất của nghiệm của phương trình (1.3), nên ta cần phải có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta sẽ sử dụng nghiệm x0 có x ∗ - chuẩn nhỏ nhất. Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm x0 được gọi là nghiệm có x ∗ -chuẩn nhỏ nhất của phương trình (1.3) nếu ‖x0 − x∗‖ = min x∈S0 ‖x− x∗‖, với S0 = {x ∈ X : A(x) = A(x0) = f}. 19 Chương 2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử loại I Chương này đề cập đến một số phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử loại I trong không gian Banach phản xạ thực vô hạn chiều và được trình bày trong 3 mục. Trong mục 2.1 chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán tử loại I dựa trên việc sử dụng toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Một số kết quả cơ bản về sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được trình bày trong mục này. Mục 2.2 đề cập đến việc xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh của phương trình toán tử loại I. Một phương pháp lặp tìm nghiệm hiệu chỉnh của phương trình toán tử loại I được trình bày trong mục 2.3 cùng với một ví dụ minh họa. Các kết quả của chương này được tham khảo trong hai bài báo của Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy [6], [8]. 2.1. Hiệu chỉnh dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh Xét phương trình toán tử A(x) = f, f ∈ X∗, (2.1) trong đó A là một toán tử đơn điệu và h-liên tục từ không gian Banach phản xạ X vào X∗. Nếu toán tử A không có tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh thì bài toán (2.1), nói chung, là một bài toán đặt không chỉnh. Giả sử (2.1) có nghiệm, tức là f ∈ R(A). Ta kí hiệu S0 là tập nghiệm của (2.1). Khi đó, S0 là một tập đóng và lồi trong X (Định lý 1.2.5). Ta cũng giả sử đối với X tồn tại một toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh B sao 20 cho S0 ⊂ D(B) với D(B) ≡ X . 2.1.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Để hiệu chỉnh cho phương trình toán tử đặt không chỉnh (2.1), chúng ta xét phương trình hiệu chỉnh (xem [6]) A(x) + αBx = fδ, (2.2) ở đây fδ là xấp xỉ của f thỏa mãn ‖f − fδ‖ ≤ δ. (2.3) Định lý 2.1.1. Với mỗi α > 0 và fδ ∈ X∗, phương trình (2.2) có duy nhất nghiệm xδα. Ngoài ra, nếu α, δ α → 0, thì dãy nghiệm {xδα} hội tụ đến x1 ∈ S0 thoả mãn 〈Bx1, x− x1〉 ≥ 0, ∀x ∈ S0. (2.4) Chứng minh. Trước hết ta chứng minh phương trình (2.2) có nghiệm. Thật vậy, vì D(A) = X, và A là toán tử đơn điệu, h-liên tục nên theo Định lý 1.2.4 ta có A là toán tử đơn điệu cực đại. Mặt khác, do B là toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh nên B là toán tử liên tục từ D(B) vào X∗. Suy ra B giới nội và h-liên tục. Do đó, theo Định lý 1.2.3 ta có A+αB cũng là một toán tử đơn điệu cực đại từ D(B) vào X∗. Mặt khác vì B là một toán tử bức nên với mỗi α > 0 toán tử A + αB cũng là một toán tử bức. Thật vậy 〈(A+ αB)(x), x〉 = 〈A(x) + αB(x), x〉 = 〈A(x)− A(θ) + A(θ) + αB(x), x− θ〉 = 〈A(x)− A(θ), x− θ〉+ 〈A(θ), x− θ〉 + α〈B(x), x− θ〉. 21 Ta có + 〈A(x)− A(θ), x− θ〉 ≥ 0 do A là toán tử đơn điệu; + α〈B(x), x− θ〉 = α〈B(x), x〉 ≥ αmB‖x‖2, mB > 0; + 〈A(θ), x− θ〉 ≤ ‖A(θ)‖.‖x‖. Do đó 〈(A+ αB)(x), x〉 ≥ αmB‖x‖2 − ‖A(θ)‖.‖x‖, hay, 〈(A+ αB)(x), x〉 ‖x‖ ≥ αmB‖x‖2 − ‖A(θ)‖.‖x‖ ‖x‖ = αmB‖x‖ − ‖A(θ)‖. Suy ra lim ‖x‖→+∞ 〈(A+ αB)(x), x〉 ‖x‖ = +∞. Theo Định lý 1.2.1, phương trình (2.2) có nghiệm với mỗi α > 0. Bây giờ ta chứng minh (2.2) có nghiệm duy nhất bằng việc chỉ ra A+αB là toán tử đơn điệu mạnh. Thật vậy, ta có 〈(A+ αB)(x)− (A+ αB)(y), x− y〉 = 〈Ax− Ay, x− y〉+ α〈Bx−By, x− y〉 ≥ αCB‖x− y‖2, trong đó CB là một hằng số dương. Ký hiệu nghiệm duy nhất của phương trình (2.2) là xδα, ta sẽ chỉ ra {xδα} hội tụ đến x1 thoả mãn (2.4). Thật vậy, từ (2.1) và (2.2) ta có 〈A(xδα)− A(x) + f − fδ, x− xδα〉+ α〈Bx, x− xδα〉 = α〈B(x− xδα), x− xδα〉, ∀x ∈ S0. 22 Do A là toán tử đơn điệu và B là toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh nên αmB‖x− xδα‖2 ≤ 〈A(xδα)− A(x), x− xδα〉+ 〈f − fδ, x− xδα〉 + α〈Bx, x− xδα〉 ≤ ‖f − fδ‖‖x− xδα‖+ α〈Bx, x− xδα〉. Chia cả hai vế cho α ta được mB‖x− xδα‖2 ≤ δ α ‖x− xδα‖+ 〈Bx, x− xδα〉. (2.5) Suy ra {xδα} giới nội trong không gian Banach phản xạ X . Khi đó, tồn tại một dãy con của {xδα} hội tụ yếu đến một phần tử x1 nào đó của X . Không làm mất tính tổng quát, ta có thể coi xδα ⇀ x1 khi α, δ α → 0. Do xδα ∈ D(B), từ (2.2) ta có 〈A(xδα) + αBxδα − fδ, x− xδα〉 = 0, ∀x ∈ D(B). Do A+ αB là toán tử đơn điệu nên từ đẳng thức trên ta suy ra 〈A(x) + αBx− fδ, x− xδα〉 ≥ 0, ∀x ∈ D(B). Cho α, δ α → 0 ta được 〈A(x)− f, x− x1〉 ≥ 0, ∀x ∈ D(B). Thay x bằng tx+ (1− t)x1, 0 < t < 1 vào bất đẳng thức trên sau đó chia cho t rồi cho t→ 0, do A là toán tử h-liên tục ta được 〈A(x1)− f, x− x1〉 ≥ 0, ∀x ∈ D(B). Theo bổ đề Minty và vì D(B) = X , suy ra x1 ∈ S0. Tức là x1 là một nghiệm của (2.1). Từ (2.5) cho α, δ α → 0 ta có 0 ≤ mB‖x− x1‖2 ≤ 〈Bx, x− x1〉, ∀x ∈ S0. Do S0 là tập lồi nên tx + (1 − t)x1 ∈ S0, 0 < t < 1. Thay vào bất đẳng thức trên sau đó chia cả