Đề tài: Rèn luyện kỹ năng chứng minh Bất đẳng thức cho học sinh THCS

lí do chọn đề tài Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, còn phải nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí . Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức ...và được sử dụng nhiều trong khi ôn tập , ôn thi ngoại khoá ...Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức . Trong thực tế giảng dạy ở trường THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường khong có cách giải mẫu , không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán . Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác . Trong nội dung của đề tài xin được tập trung giới thiệu một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bất đẳng thức đã biết , phương pháp phản chứng ......và một số bài tập vận dụng , nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung . Vì thời gian có hạn , kinh nghiệm giảng dạy còn chưa nhiều và khả năng nghiên cứu chưa tốt nên nội dung của đề tài còn nhiều hạn chế mong các bạn góp ý thêm . phần i : Các kiến thức cần lưu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b + a lớn hơn b , kí hiệu a > b , + a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a < b, + a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a > b , 2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức : a, Tính chất 1: a > b b < a b, Tính chất 2: a > b và b > c => a > c c, Tính chất 3: a > b a + c > b + c Hệ quả : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c d, Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d a > b và c a - c > b - d e, Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd a > b và c ac < bd f, Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd g, Tính chất 7 : a > b > 0 => an > bn a > b an > bn với n lẻ . h, Tính chất 8 : a > b ; ab > 0 => 3, Một số đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : Với 2 số dương a , b ta có : Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu đẳng thức xảy ra c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab 0 phần ii : Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B > 0 . - Lưu ý : A2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . - Ví dụ : Bài 1 : Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) Giải : Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 0 với mọi x (y - 1)2 0 với mọi y (z - 1)2 0 với mọi z => H 0 với mọi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra x = y = z = 1. Bài 2 : Cho a, b, c, d, e là các số thực : Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Giải : Xét hiệu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) = ()2 + ()2 + ()2 + ()2 Do ()2 0 với mọi a, b Do()2 0 với mọi a, c Do ()2 0 với mọi a, d Do ()2 0 với mọi a, e => H 0 với mọi a, b, c, d, e Dấu '' = '' xảy ra b = c = d = e = Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : Giải : Xét hiệu : H = = = . Với mọi a, b . Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . 2. Phương pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tương đương . - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng . - Một số bất đẳng thức thường dùng : (A B)2 = A2 2AB + B2 (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC (A B)3 = A3 3A2B + 3AB2 B3 ......................................................... Ví dụ : Bài 1 : Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : Giải: Dùng phép biến đổi tương đương ; 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) ú 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) ú 9 4ab + 8 ú 1 4ab ú (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh . Bài 2: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn : a + b + c = 4 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Giải: Từ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc => a + b abc Tương tự : b + c abc c + a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : ; trong đó a > 0 ; b > 0 Giải : Dùng phép biến đổi tương đương : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0 ú . ú a2 - ab + b2 ú 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 ú 3a2 - 6ab + 3b2 3(a2 - 2ab + b2) 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : Bài 4: Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab Giải : Ta có : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 0 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0 a2 + b2 - 0 . Vì a + b = 1 2a2 + 2b2 - 1 0 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) 4a2 - 4a + 1 0 ( 2a - 1 )2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức : Trong đó : a > 0 , b > 0 . Giải : Với a > 0 , b > 0 => a + b > 0 Ta có : 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 3(a2 - 2ab + b2 ) 0 3(a - b)2 0 . Bất đẳng thức này đúng => Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . Bài 6 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức : Giải : Dùng phép biến đổi tương đương : ú ( 0 ú ú ú ú Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra : 3. Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc . - Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy Với a, b > 0 , Các ví dụ : Bài 1 : Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng: Giải áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) ú Tương tự ta thu được : , Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dương ). Từ đó suy ra : Bài 2: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : x2 + y2 = Chứng minh rằng : 3x + 4y 5 Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x2 + y2)2 = ()2 ( ; ) (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) => x2 + y2 1 Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y 5 Đẳng thức xảy ra ú ú Điều kiện : Bài 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : a, b, Giải a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có : => => . Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : Tương tự : ; Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 Vậy : Bài 4 : Cho các số dương a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : Giải : Ta có : , a , b > 0 Ta có : .1 = .(a + b + c) = = 3 + 2 + 2 + 2 = 9 => Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c = Bài 5 a, Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng : b, Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác ) . Chứng minh rằng : Giải a, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : => (x + y)( ) 4 => b, Ta có : p - a = Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; áp dụng kết quả câu a , ta được ; Tương tự : => => đIều phải chứng minh . Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c ú a = b = c . Khi đó tam giác ABC là tam giác đều . 4. Phương pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức : - Kiến thức : Dùng các tính chất đã được học để vận dụng vào giải các bài tập . Các ví dụ : Bài 1 : Cho 2 số x , y thoả mãn điều kiện : x + y = 2 . Chứng minh rằng : x4 + y4 2 Giải Theo tính chất bắc cầu ta có : (x2 - y2) 0 ú x4 + y4 2x2y2 ú 2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1) Ta có : (x - y)2 0 ú x2 + y2 2xy ú 2(x2 + y2 ) (x +y)2 ú2(x2 + y2 ) 4 Vì : x + y = 2 ú x2 + y2 2 (2) Từ (1) và (2) ta có : x4 + y4 2 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = 1 . Bài 2: Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Giải : Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b . Do c 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) ú (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc . Do a, b, c, d > 0 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Bài 3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a Giải : Do a, b a3 < a2 < a < 1 ; b3 < b2 < b < 1 ; ta có : (1 - a2)(1 - b) > 0 => 1 + a2b > a2 + b => 1 + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < 1 + a2b . Tương tự : b3 + c3 < 1 + b2c ; c3 + a3 < 1 + c2a . => 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a 5. Phương pháp 5 : Chứng minh phản chứng . - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý . Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng . Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết . + Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng . + Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngược nhau . + Phủ định rồi suy ra kết luận . Các ví dụ : Bài 1 : Cho 0 1 3b(1 - c) > 2 8c(1 - d) > 1 32d(1 - a) > 3 Giải: Giả sử ngược lại cả bốn đẳng thức đều đúng . Nhân từng về ; ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3 => (1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : => a(1 - a) Tương tự : b(1 - b) c(1 - c) d(1 - d) Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có : (2) Từ (1) và (2) suy ra vô lý . Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai . Bài 2 : ( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau ) Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau : ; ; Giải Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức : ; ; Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : ú (1) Vì a, b, c > 0 nên ta có : ; ; => Điều này mâu thuẫn với (1) Vậy không tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên . => đpcm Bài 3 : Chứng minh rằng không có các số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức sau : 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a ) > 1 . Hướng dẫn : tương tự như bài 2 : Bài 4 :( Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng ) Cho a3 + b3 = 2 . Chứng minh rằng : a + b 2 . Giải : Giả sử : a + b > 2 => (a + b )3 > 8 => a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 => 2 + 3ab(a + b) > 8 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) => ab(a + b) > 2 => ab(a + b) > a3 + b3 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) Chia cả hai vế cho số dương a, b ta được : ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 Vô lý Vậy : a + b 2 6. Phương pháp 6 : Đổi biến số - Kiến thức : Thực hiện phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải ... Các ví dụ : Bài 1 : Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = => a = , b = , c = Khi đó : VT = = = Bài 2 : Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức : - Giải: Đặt : a = và b = => ab = Ta có dễ thấy với mọi a, b thì : - Mà : (a - b)2 = (a + b)2 = Suy ra : - ab . Bài 3 : Cho a, b, c > 0 ; a + b + c 1 . Chứng minh rằng : Giải : Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1 Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 . Cứng minh rằng : Ta chứng minh được : (x + y + z)( Theo bất đẳng thức Côsi Mà : x + y + z 1 nên suy ra . 7.Phương pháp 7: Dùng phép quy nạp toán học . - Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0) - Ví dụ : Bài 1 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 thì 2n > 2n + 1 (*) Giải : + Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3 . + Giả sử (*) đúng với n = k (k N ; k 3) , tức là : 2k > 2k + 1 ta phải chứng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1 hay : 2k+1 > 2k + 3 (**) + Thật vậy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp ) do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0) Vậy (**) đúng với mọi k 3 . + Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dương n 3 . Bài 2 : ( Tương tự ) Tìm số nguyên dương n sao cho 2n > 5n . Bài 3 : Chứng minh rằng : ..... (*) (n là số nguyên dương ) Giải : + Với n = 1 , ta có : VT = VP = . Vậy (*) đúng với n = 1 . + Giả sử (*) đúng với n = k 1 ta có : ..... Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 , tức là : ..... . . do đó chỉ cần chứng minh : dùng phép biến đổi tương đương , ta có : (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2 ú 12k3 + 28k2 + 19k + 4 12k3 + 28k2 + 20k +4 ú k 0 . => (**) đúng với mọi k 1 . Vậy (*) dúng với mọi số nguyên dương n . 8 . Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức như : Phương pháp làm trội , dùng bất đẳng thức trong tam giác , tam thức bậc hai ... ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bàI toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp . Trong phạm vi nhỏ của đề tàI này không hệ thống ra những phương pháp đó . Phần iii : ứng dụng của bất đẳng thức I- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị . - Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m . Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M . Ta thường hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối . Kiểm tra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị . Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương , đổi biến số , một số bất đẳng thức ... Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chú ý : Xảy ra dấu '' = '' khi AB 0 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0 Ví dụ : Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a và b thoả mãn : a + b = 1 . Giải B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 Ta có : 2(a2 + b2) (a + b)2 = 1 => a2 + b2 Vậy min B = khi a = b = Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Giải a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) . Đặt : t = x2 + x - 2 => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 - 4 Dấu bằng xảy ra khi : t = 0 ú x2 + x - 2 = 0 (x - 2)(x + 2) = 0 ú x = -2 ; x = 1 . => min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ; b, Tương tự Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . a, C = b, D = c, E = Giải : a, áp dụng BĐT : Dấu '' = ''xảy ra khi AB 0 . => C = Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 ú Vậy minC = 2 khi b, Tương tự : minD = 9 khi : -3 x 2 c, minE = 4 khi : 2 x 3 Bài 4 : Cho a < b < c < d , tìm : Minf(x) = + + + Hướng dẫn : tương tự : minf(x) = d + c - b - a khi b x c Bài 5 : Cho ba số dương x , y , z thoả mãn : + + 2 Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = xyz Giải : (1 - ) + ( 1 - ) = + 2 Tương tự : 2 2 Từ đó suy ra : P = xyz MaxP = khi x = y = z = Bài 6 : Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn : a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = Giải: Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + () + 6 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 Tương tự : 3 Mặt khác : ().1 = ()(a + b + c) = 3 + () + () + () 3 + 2 + 2 + 2 = 9 => 9 => 81 => 27 F + 27 + 6 = 33 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = Vậy MinF = 33 khi : a = b = c = . Bài 7 : Cho G = Tỡm giỏ trị lớn nhất của G : Giải : Tập xỏc định : x 1 ; y 2 ; z 3 Ta có : G = + + Theo BĐT Cụsi ta cú : => Tương tự : ; => G Vậy MaxG = đạt được khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6 Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H = với x > 1 . b. Tìm giá trị lớn nhất của K = HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tương tự như bài 5 : II - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình . - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình . Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phương trình có nghiệm . Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn . => phương trình vô nghiệm . - Các ví dụ : Bài 1 : Giải phương trình : 13 + 9 = 16x Giải: Điều kiện : x 1 (*) Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 + 9 = 13.2. + 3.2. 13( x - 1 + ) + 3(x + 1 + ) = 16x Dấu '' = '' xảy ra ú ú x = thoả mãn (*) Phương trình (1) có nghiệm ú dấu '' = '' ở (2) xảy ra Vậy (1) có nghiệm x = . Bài 2: a, Tìm giá trị lớn nhất của L = + b. Giải phương trình : + - x2 + 4x - 6 = 0 (*) Giải : a. Tóm tắt : ( + )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4 ú + 2 => MaxL = 2 khi x = 2 . b. TXĐ : (*) ú + = x2 - 4x + 6 VP = (x - 2)2 + 2 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 . => với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 . => phương trình (*) có nghiệm x = 2 . Bài 3 : Giải phương trình : + = x2 - 6x + 13 Giải : TXĐ : -2 x 6. VP = (x - 3)2 + 4 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 . VT2 = (.1 + .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT 4 , dấu '' = '' xảy ra khi = ú x = 2 . => không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm Bài 4 : Giải phương trình : + = 5 HD : 2 ; 3 => VT 5 . Dấu '' = '' xảy ra khi : ú => phương trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 . III - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình : - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phương trình của hệ , suy luận và kết luận nghiệm . Lưu ý : Một số tính chất : a, a2 + b2 2ab b. a + c 0 => a < b c. nếu a > b > 0 . - Các ví dụ : Bài 1 : Giải hệ phương trình : (1) ú x3 = - 1 - 2(y - 1)2 ú x3 - 1 ú x - 1 . (*) (2) ú x2 1 ( vì 1 + y2 2y) ú -1 x 1 (**) Từ (*) và (**) => x = -1 . Thay x = -1 vào (2) ta có : y = 1 . => Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1 . - Kiến thức : Biến đổi một phương trình của hệ , sau đó so sánh với phương trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc . Bài 2 : Giải hệ phương trình : Giải : áp dụng : BĐT : A2 + B2 2AB dấu '' = '' xảy ra khi A = B Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 . => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) Mắt khác : x2y2 + y2z2 2x2yz y2z2 + z2x2 2xy2z x2y2 + z2x2 2xyz2 => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz . => x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz . (**) Từ (*) và (**) => x4 + y4 + z4 xyz Dấu '' = '' xảy ra khi : x = y = z mà x + y + z = 1 nên : x = y = z = Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ; - Kiến thức : Dùng phương pháp thế Bài 3 : Giải hệ phương trình (với x, y, z > 0) Giải : áp dụng : Nếu a, b > 0 thì : (2) ú ú 6 Mặt khác : vì x, y, z > nên 6 ; Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta được : x + x2 + x3 = 14 (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0 x - 2 = 0 x = 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2 . * Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc được các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng được . Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên . Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : = 2 Giải : Không mất tính tổng quát , ta giả sử x y z , ta có : 2 = => 2z 3 , mà z nguyên dương Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phương trình ta được : Theo giả sử , x y , nên 1 = Y nguyên dương nên y = 1 hoặc y = 2 . Với y = 1 không thích hợp Với y = 2 ta có : x = 2 . Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phương trình . Hoán vị các số trên , ta được nghiệm của phương trình là : (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2) Thực nghiệm sư phạm Bài vận dụng Bất đẳng thức để giải phương trình A. Mục tiêu - Giới thiệu và hướng dẫn học sinh nội dung kiến thức giải phương trình nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng thức Bunhiacôpxki và tính chất của bất đẳng thức - Hình thành kỹ năng giải phương trình nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng thức thông qua việc chữa các bài tập được đưa ra trên cơ sở các bài toán chứng minh bất đẳng thức , kết quả suy ra từ các bất đẳng thức quen thuộc hay tính chất của bất đẳng thức . - Học sinh nắm được ph]ơng pháp giải , nhận dạng được dạng bài tập và biết vận dụng vào giải các bài tập tương tự - học sinh được rèn cách trình bày lời giải , lập luận chặt chẽ và chính xác , phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh . B. Chuẩn bị : C. Các hoạt động dạy học 1, ổn định lớp 2, Kiểm tra bài cũ HS1: Tìm Min của M = x2 - 6x + 13 HS2: Tìm Max của N = + HS3: Bất đẳng thức Côsi ; Bunhiacôpxki ? Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? GV: Chữa bài HS1: M = x2 - 6x + 9 + 4 = (x - 3)2 + 4 4 => Min M = 4 khi x = 3 HS2 : Vận dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có : (.1 + .1)2 (1 + 1)(2x - 3 + 5 - 2x) = 4 => + 2 => Max N = 2 khi 2x - 3 = 5 - 2x ú x = 2 . HS3 : Viết các BĐT 3, Bài mới : a, Đặt vấn đề : Định nghĩa phương trình ẩn x ? cách giải ? HS : Có dạng A(x) = B(x) , trong đó A(x) , B(x) là các biểu thức biến x Cách giải : Tìm ĐKXĐ (nếu có) Tìm tất cả ác giá trị của biến thoả mãn ĐKXĐ nghiệm đúng phương trình đã cho . GV : Nếu ta có A(x) a ; B(x) a , vậy phương trình A(x) = B(x) có nghoiệm khi nào ? HS : Khi A(x) = B(x) = a ( xảy ra trường hợp dấu bằng ) GV : Đặt vấn đề vào bài B, Bài giảng : Hoạt động của thày và trò Nội dung Hoạt động 1: Dạng 1: GV: yêu cầu HS giải bài tập Gợi ý: ? Nhận xét vế trái của (1) HS : VT 2 Vậy phương trình (1) có nghiệm khi nào ? GV : yêu cầu hs làm câu b Hs trình bày lời giải 1, Bài 1: Giải phương trình : a, (1) b, 3 (2) Giải a, Đk : VT 2; xảy ra '' = ' ú x = 2 Vậy 91) có nghiệm x = 2. b, Đk : 1 x 5 (3)2 (9+ 16)(x - 1 + 5 - x) = 25 . 4 = 100 => VT 10 Dấu '' = '' xảy ra khi Vậy (2) có nghiệm Hoạt động 2: Vận dụng hướng dẫn HS biến đổi GV: Yêu cầu hs nhận dạng pt HS : biến đổi suy ra - VT 2 - VP 2 ? Vậy PT có nghiệm không ? có nghiệm khi nào ? HS : PT có nghiệm khi VT = VP = 2 HS: trình bày lời giải GV : Yêu cầu HS làm bài tập ? Em hãy nêu cách giải phương trình GV gọi ý : Em có nhận xét gì về VT của phương trình HS : Chứng minh được VT 16x => tìm nghiệm của PT GV : Nhận xét HS hoàn thành bài tập vào vở Bài 2: Giải PT ú HD : VT 2 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 VP 2 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 Vậy phương trình có nghiệm khi x = 2 Bài 3 : Giải phương trình : 13 + 9 = 16x Điều kiện : x 1 (*)