Đề tài Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ. A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn đề tài: Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan trọng. Là môn học cơ bản, môn học công cụ. Nếu học tốt môn toán thì những tri thức cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm là bài toán quan trọng và thường gặp trong kì thi tuyển sinh vào Đại học,Cao đẳng .Đây là bài toán mà học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn khi làm, nhất là từ khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã bỏ, do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang và không biết phải giải quyết như thế nào. Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khai thác các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình , hệ phương trình có nghiệm bằng phương pháp đạo hàm.Với việc sử dụng phương pháp này, những bài toán về tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản.Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số” II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm: Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số giao điểm của hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó để giải quyết các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình có nghiệm. Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của ẩn phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho bằng hàm số. Sau khi tìm được điều kiện của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên điều kiện của nó. Đó là điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng trên tập giá trị của ẩn phụ. Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số. III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình , hệ phương trình có chứa tham số. - Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit, hệ phương trình. IV.Phạm vi áp dụng: Áp dụng cho tất cả học sinh bậc THPT trên toàn tỉnh B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I.Cơ sở lý luận của vấn đề: Để sử dụng phương pháp đạo hàm giải bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm. Ta cần nắm vững các mệnh đề sau: Cho hàm số liên tục trên tập D * Phương trình f(x) = m có nghiệm * Bất phương trình có nghiệm * Bất phương trình có nghiệm * Bất phương trình , nghiệm đúng với mọi * Bất phương trình , nghiệm đúng với mọi * Cho hàm số đơn điệu trên D. Khi đó: * Cho hai hàm số có đồ thị lần lượt là . Phương trình hoành độ giao điểm của và là : Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của và II.Thực trạng của vấn đề: a.Thuận lợi: Đưa được bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm vềdạng hoặc sau đó ta sử dụng các mệnh đề trên để giải quyết bài toán đơn giản. b.Khó khăn: Không phải mọi bài toán đều đưa được về dạng hoặc , nhất là khi g(m) là một đa thức theo m mà bậc của m không cùng bậc. III.Các phương pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: 1. Phương pháp chung: Để giải bài toán tìm các giá trị tham số m để phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) ta có thể thực hiện thứ tự như sau: * Biến đổi phương trình, bất phương trình, hệ phương trình về dạng hoặc . * Tìm tập xác định D của hàm số f(x) * Tính * Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) * Xác định . * Vận dụng một trong các mệnh đề trên, để đưa ra kết luận cho bài toán. Chú ý: Trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau: * Đặt ẩn số phụ . * Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x, ta tìm điều kiện cho ẩn t. * Đưa phương trình, bất phương trình ẩn x về phương trình, bất phương trình ẩn t.Ta được hoặc * Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) * Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán 2.Các bài toán minh họa: 2.1*Dạng 1: Phương trình. Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Lời giải: Ta có: Nếu x = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu thì Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của và đồ thị Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt cắt trên .Ta có: Bảng biến thiên: x 0 + f’(x) + + + + f(x) - Từ bảng biến thiên ta có: * Nhận xét : Đưa về bài toán tìm số giao điểm đường thẳng và đồ thị.Nếu giải theo cách đưa về phương trình bậc hai thì tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện .Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai với , bài toán trở nên phức tạp. Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm (1) Lời giải: Điều kiện: PT (1) (2) Đặt Ta có: ; x 0 9 + 0 t 0 0 Do đó : Phương trình (2) trở thành (3) Xét hàm số , Ta có : Bảng biến thiên : t 0 1 + 0 10 9 Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm * Nhận xét : Nếu không đặt ẩn phụ thì ta được pt : Khi đó xét hàm số thì việc tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm để lập bảng biến thiên tương đối khó khăn. Tuy nhiên khi đặt ẩn phụ thì phải tìm điều kiện của t. Khi đó đưa về phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng song song với trục Ox và đồ thị (C ). Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm (1) Lời giải : Điều kiện : PT (1) (2) Đặt , Do Phương trình (2) trở thành : (3) Xét hàm số , Ta có : Bảng biến thiên : t 0 1 + 0 0 -1 Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm * Nhận xét: Nếu không đặt được ẩn phụ mà giải trực tiếp thì đây là bài toán tương đối phức tạp. Khi đặt ẩn phụ học sinh hay gặp sai lầm là chỉ nói được , không chỉ ra được t<1. Bài toán 4: Cho phương trình (1) Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải : Từ điều kiện của x, ta có nên PT (1) Đặt .PT (2) trở thành (3) Xét hàm số , Ta có : Bảng biến thiên t 5 3 1 Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm Kết hợp với điều kiện , ta có : . * Nhận xét : Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t phải kiểm tra nghiệm đó thỏa . Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 5 :Cho phương trình (1) Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải : PT (1) (2) Đặt Ta có : x 0 1 + t 0 Do đó : PT (2) trở thành : (3) Xét hàm số Ta có : Bảng biến thiên : t 0 4 Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm * Nhận xét : Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t phải kiểm tra nghiệm đó thỏa . Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 6 :Tìm để phương trình sau có nghiệm thực Lời giải: Điều kiện: . Đặt . Ta có: Nên Khi đó, phương trình đã cho trở thành Xét hàm số trên . Ta có . Suy ra: là hàm số đồng biến trên Do đó phương trình đã có nghiệm khi và chỉ khi Bài toán 7 : Cho phương trình (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất Lời giải : Xét , khi đó PT (1) (2) Đặt PT (2) trở thành , t >0 Xét hàm số Ta có : Bảng biến thiên t 0 + 2 Ứng mỗi thỏa mãn PT (3), ta được đúng một nghiệm của PT (1) Do đó PT (1) có nghiệm duy nhất thỏa khi và chỉ khi PT (3) có duy nhất nghiệm . Từ bảng biến thiên ta có : * Nhận xét : Đây là bài toán tương đối khó, sau khi đặt ẩn phụ ta vẫn được một phương trình chứa căn phức tạp.Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 8 : Cho phương trình (1) .Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải : Điều kiện : Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên (1) tương đương với Xét hàm số , Ta có : Với mọi nên Bảng biến thiên : x 0 6 f’(x) -1 + f(x) - Từ bảng biến thiên ta có : Phương trình (1) có nghiệm * Nhận xét : Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất (1) trên Lời giải: Xét hàm số trên . Ta có Xét hàm số trên . Ta có Ta có bảng biến thiên x 0 1 + 0 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy và ta có . Suy ra Do đó Bảng biến thiên: x 0 1 0 + 1 PT (1) là phương trình hoành độ giao điểm của và (C ) : Phương trình có nghiệm duy nhất khi hoặc . * Nhận xét :Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 10 : Chứng minh rằng , phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt: Giải Do nên (1) Yêu cầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có một nghiệm trong Biến đổi (*). Xét hàm số với . Ta có và Bảng biến thiên: x 2 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có đúng một nghiệm . Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt . * Nhận xét: Sau khi tìm được điều kiện việc khảo sát hàm số ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số . 2.2* Dạng 2: Bất phương trình. Bài toán 1: Tìm để bất phương trình có nghiệm. Lời giải: Điều kiện: . Khi đó, bất phương trình có nghiệm Xét hàm số trên . Ta có Tính . Suy ra . Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi . Bài toán 2: Tìm tham số để bất phương trình sau có nghiệm: (1) Giải Điều kiện: . Đặt BPT (1) trở thành (2) Xét hàm số , Ta có: Bảng biến thiên t 0 + 0 0 Suy ra Bất phương trình (1) có nghiệm bất phương trình (2) có nghiệm * Nhận xét: Nếu đưa về bất phương trình . Khi đó hàm số dẫn đến việc tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm và xét dấu đạo hàm gặp khó khăn. Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi Lời giải: Đặt x 1 6 0 + 5 0 0 Do đó Bất phương trình (1) trở thành (2) Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi Ta có Tính f(0) = -24, f(5) = 6. Do đó Vậy . Bài toán 4: Tìm để bất phương trình có nghiệm với mọi . Lời giải Ta có , vì Khi đó, phương trình có nghiệm với mọi Xét hàm số trên . Ta có Bảng biến thiên: -6 6 - 0 + 0 - Suy ra . Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi . Bài toán 5: Tìm để bất phương trình nghiệm đúng với mọi . Lời giải Đặt . Với . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành . Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi . Xét hàm số trên . Ta có Bảng biến thiên t 1 4 2 Dựa vào bảng biến thiên suy ra . Do đó giá trị cần tìm là: . Bài toán 6: Tìm để bất phương trình nghiệm đúng với mọi . Lời giải: Ta có (*) Hệ bất phương trình (*) thỏa với mọi x Xét hàm số trên . Ta có Bảng biến thiên: -1 1 + 0 - 0 + 2 0 0 -2 Dựa vào bảng biến thiên suy ra . Vậy giá trị cần tìm là: . Bài toán 7: Tìm để hàm số đồng biến trên . Lời giải: Ta có . Hàm số đồng biến trên Xét hàm số trên . Ta có Bảng biến thiên: x 2 0 + 0 Dựa vào bảng biến thiên suy ra . Do đó giá trị cần tìm là: . Bài toán 8: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x cos4x - 5cos3x - 36sin2x - 15cosx + 36 + 24m - 12m2 0 (1) Lời giải: TXĐ: D = IR Trên D bpt (5) 3cos4x - 20cos3x + 36cos2x + 24m - 12m2 0 (2) Đặt t = cosx với t Bất phương trình (2) trở thành 3t4 - 20t3 + 36t2 + 24m - 12m2 0 3t4 - 20t3 + 36t2 12m2 - 24m (3) Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi bất phương trình (3) nghiệm đúng với mọi Xét hàm số : f(t) = 3t4 - 20t3 + 36t2 víi t Ta có: f’(t) = 12t3 - 60t2 + 72t = 12t(t2 - 5t + 6) f’(t) = 0 12t(t2 - 5t + 6) = 0 Bảng biến thiên t -1 0 0 + 19 0 Từ bảng biến thiên ta có f(t) 12m2 - 24m , t 12m2 - 24m 12m2 - 24m 0 0 m 2 Vậy: 0 m 2 2.3* Dạng 3: Hệ phương trình Bài toán 1: Tìm m để hệ phương trình (1) có nghiệm Lời giải: Đặt .Điều kiện Hệ phương trình (1) trở thành Vì . Do đó: Hệ phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm Xét hàm số , Ta có Bảng biến thiên u 0 16 Từ bảng biến thiên ta có  *Nhận xét Ta có thể giải cách khác là: Hệ phương trình có nghiệm phương trình (2) có hai nghiệm u, v lớn hơn hoặc bằng . Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm với và học sinh sẽ gặp khó khăn vì so sánh hai nghiệm với số thực không có trong bài định lí về dấu tam thức bậc hai ở lớp 10. Bài toán 2: Tìm m để hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất Lời giải: Điều kiện: Từ hệ Xét hàm số hàm số đồng biến trên Khi đó : Thay vào hệ ta được : (2) Xét hàm số Ta có : Bảng biến thiên : x 0 Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất phương trình (2) có nghiệm duy nhất. Từ bảng biến thiên ta có : * Nhận xét : Ta có thể giải hệ trên dùng điều kiện cần và đủ. Giả sử là một nghiệm của hệ thì cũng là một nghiệm của hệ. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất cần .Từ đó tìm m và thử lại.Cách giải này hay gặp sai lầm là không thử lại. Bài toán 3 : Tìm m để hệ phương trình (1) có nghiệm Lời giải : Hệ phương trình (1) Đặt Hệ đã cho trở thành Hệ đã cho có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn Với , ta có : (2) Xét hàm số , với Ta có : Bảng biến thiên : u 0 Từ bảng biến thiên ta có : . * Nhận xét : Đây là một câu trong đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2011. Nếu học sinh không trang bị đầy đủ kiến thức về dạng toán trên thì gặp khó khăn khi giải bài này. Bài toán 4: Tìm m để hệ phương trình (1) có nghiệm Lời giải : Hệ đã cho Đặt .Ta được : Vì .Do đó : . Hệ phương trình đã cho có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa Xét hàm số Ta có : Bảng biến thiên : v 0 3 Từ bảng biến thiên ta có: Bài toán 5: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm Lời giải: Điều kiện: Ta có Xét hàm số Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên (3) Ta có: x và y – 2 cùng thuộc đoạn và Thay vào (2) ta được phương trình (4) Hệ phương trình đã cho có nghiệm phương trình (4) có nghiệm x thuộc Xét hàm số , Bảng biến thiên x 0 Từ bảng biến thiên ta có : Bài toán 6 : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm Lời giải: Điều kiện: Ta có (3) Nếu x = 1thỏa bất phương trình (3).Do đó bất phương trình (3) có nghiệm x = 1 Nếu thì VT > 0 còn VP < 0 nên bất phương trình (3) vô nghiệm Nếu thì VT < VP nên bất phương trình (3) có nghiệm là Do đó:Bất phương trình (3) có tập nghiệm là Để hệ bất phương trình có nghiệm thì bất phương trình (2) có nghiệm Ta có : Xét hàm số , Bảng biến thiên x -1 1 0 -2 -2 Từ bảng biến thiên ta có Bất phương trình (3) có nghiệm Vậy: IV.Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến kinh nghiệm nhằm trang bị cho học sinh THPT, đăc biệt học sinh 12 phương pháp dùng đạo hàm để giải bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm. Phương pháp này nhằm giúp cho học sinh giải được bài toán dạng trên trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. C. KẾT LUẬN Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn ôn thi, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đã giúp cho học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số nghiệm của một phương trình với số giao điểm của các đồ thị của hai hàm số ở hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm trong nhiều bài toán tìm tham số, làm bài có những lập luận chặt chẽ hơn trong những tình huống giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình . Mặc dù Sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sách giáo khoa, nên để giải quyết các bài toán đó cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số. Đề tài này chỉ giới thiệu cách giải một số phương trình, bất phương trình, đặc biệt là phương trình, bất phương trình chứa tham số bằng việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian có hạn, rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường. Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông. Giúp các em học sinh có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp. Quảng Điền, ngày 20 tháng 3 năm 2012. Người viết Trần Dũng Tài liệu tham khảo 1.Tạp chí Toán học và tuổi trẻ 2.Sách giáo khoa môn Toán 10, 11, 12 3.Sách bài tập môn Toán 10, 11, 12 4.Chuyên đề Đại số các phương pháp giải phương trình đại số -Nxb của Huỳnh Công Thái 5.Chuyên đề các phương pháp giải phương trình mũ, lôgarit và các loại hệ phương trình đại số -Nxb của Huỳnh Công Thái