Đề tài Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số

Phần 1: Đặt vấn đề Hiện nay ,giáo dục không ngừng được cải cách và đổi mới.Để kịp với xu hướng này,rất nhiều yêu cầu được đặt ra.Một trong số đó chính là làm sao để có được những phương pháp giải toán hay,nhanh,mà vẫn cho kết quả chính xác.Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số là một phương pháp giải toán như vậy. Có những bài toán thoạt nhìn tưởng rất khó,nếu giải được thi lời giải sẽ khó hiểu,rắc rối.Nhưng nếu áp dụng phương pháp này,bài toán sẽ trở thành đơn giản,gọn hơn rất nhiều.Đó chính là một trong những ứng dụng của phương pháp này, ngoài ra phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất còn phát huy sự ưu việt trong nhiều trường hợp khác. Nói tóm lại, phương pháp này rất cần thiết đối với các em học sinh đang chuẩn bị ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông,thi cao đẳng và đại học.Nó sẽ giúp các em phát huy tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đường giải toán nhanh nhất, hay nhất và chính xác nhất. Trong quá trình dạy học môn toán ở bậc trung học phổ thông,chúng ta gặp rất nhiều bài toán giải phương trình,bất phương trình,hệ phương trình, hệ bất phương trình ,tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số có tham số.Để giải các bài toán dạng trên có bài ta giải được bằng nhiều phương pháp khác nhau,cũng có bài chỉ có thể giải được bằng phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số . Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải toán là một phương pháp hay,thông thường để giải quyết một bài toán sẽ đơn giản,gọn nhẹ hơn so với phương pháp khác. Tuy nhiên để học sinh có kỹ năng ta cần hệ thống hóa lại bài tập,để học sinh và giáo viên bớt lúng túng hơn. Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải toán,chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong các bài toán giải phương trình,bất phương trình,hệ phương trình, hệ bất phương trình ,tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số có tham số.Phương pháp này dựa trên mối liên hệ giữa giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của một hàm số với dấu đạo hàm của nó. Để sử dụng phương pháp này,điều cốt yếu là chúng ta cần xây dựng một hàm số thích hợp,rồi nghiên cứu tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn thích hợp.Các hàm số ấy trong nhiều trường hợp có thể nhận ra ngay từ đầu, còn trong các trường hợp đặc biệt ta cần khôn khéo để phát hiện chúng. Phần 2 : phương pháp, cách thức thực hiện . A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Nhắc lại tính đơn điệu của hàm số Hàm số y = f(x) gọi là tăng hay đồng biến trong khoảng (a;b) nếu với mọi x1;x2 thuộc khoảng (a;b) mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2). Hàm số y = f(x) gọi là giảm hay nghịch biến trong khoảng (a;b) nếu với mọi x1;x2 thuộc khoảng (a;b) mà x1 f(x2). Điều kiện cần và điều kiện đủ của tính đơn điệu Định lý 1(điều kiện cần): Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b). Nếu hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ) thì f '(x) 0, "xÎ(a;b) . Nếu hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ) thì f '(x) 0,"xÎ(a;b). Đ ịnh lý 2(điều kiện đủ) : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b). Nếu f '(x) > 0, "xÎ(a;b) thì hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ). Nếu f '(x) < 0, "xÎ(a;b) thì hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ). Định lý 3 : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b). Nếu f '(x) 0, "xÎ(a;b) , đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của (a;b) thì hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ) . Nếu f '(x) 0, "xÎ(a;b), đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của (a;b) thì hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ). Hàm số hằng: Định lý 4 : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b) và f '(x) = 0 "xÎ(a;b) thì hàm số y = f(x) không đổi trong khoảng (a;b). B. MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ. 1.Phương pháp : Sử dụng các giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình f(x,m) = 0 là dạng toán khá quen thuộc. Ta có hướng áp dụng sau: Bước 1 : Chuyển phương trình về dạng : f(x) = g(m) (1) Bước 2 : Xét hàm số y = f(x) Tìm tập xác định D. Tính đạo hàm y',giải phương trình y' = 0 Tính giới hạn và lập bảng biến thiên của hàm số. Bước 3 : Lập luận số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đổ thị hàm số (C):y = f(x) và đường thẳng d: y = g(m). Bước 4 : kết luận Phương trình có nghiệm khi :MinDf(x)≤g(m)≤MaxDf(x). Phương trình có k nghiệm phân biệt khi d cắt (C) tại k điểm phân biệt. Phương trình vô nghiệm khi d và (C) không có điểm chung. 2. Áp dụng : 2. Áp dụng : V í d ụ 1. Tìm m để phương trình : x + 3 = mx2+1 có nghiệm thực (1) Nhận xét : Bài toán này nếu khử căn bằng cách bình phương hai vế dẫn đến một phương trình hệ quả ,phát sinh thêm nghiệm ngoại lai phức tạp hơn. Nhưng nếu ta quan sát thấy pt(1) biến đổi vể được phương pháp f(x) = g(m) thì ta áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để giải sẽ hay hơn. Û x+3x2+1 = m Xét hàm số y = x+3x2+1 .TXĐ : D = R Ta có : y' = 1-3x(x2+1)x2+1 y' = 0 Þ 1 – 3x = 0 Û x = 13 Þ y = 10 limx→-∞y=-1 ;limx→+∞y=1 x -¥ 1/3 +¥ y’ + 0 - y -1 10 1 Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y = x+3x2+1 với đường thẳng d : y = m. Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (1) có nghiệm thực khi : -1 < m ≤ 10 . V í d ụ 2. Tìm m để phương trình : x+3+6-x-3+x(6-x) = m có nghiệm thực (2) Nhận xét : Bài toán này dễ dàng nhận thấy cách giải bằng phương pháp đặt ẩn số phụ,nhưng sau đó dẫn đến phương trình bậc hai có tham số với điều kiện của ẩn số phụ và giải quyết nó sẽ phức tạp hơn. Nhưng nếu ta quan sát thấy pt theo ẩn số phụ đó biến đổi vể được phương pháp f(t) = g(m) thì ta áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để giải sẽ hay hơn. Điều kiện : -3 ≤ x ≤ 6. Đặt t = x+3+6-x , đk: 3 ≤ t ≤ 32 .Suy ra : 3+x(6-x) = t2-92 (2)Û t - t2-92 = m Û - t2 + 2t + 9 = 2m. Xét hàm số f(t) = - t2 + 2t + 9 với 3 ≤ t ≤ 32 có đạo hàm f '(t) = - 2t + 2 f '(t) = 0 Û t = 1(loại) t 3 32 f '(t) - f(t) 6 62 - 9 Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C): y = - t2 + 2t + 9 với đường thẳng d : y = 2m. Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (2) có nghiệm thực khi : 62 - 9 ≤ 2m ≤ 6 Û 32 - 92 ≤ m ≤ 3. V í d ụ 3. Tìm m để phương trình : cos6x+sin6xcos2x-sin2x=m.tan2x có nghiệm thực (3) Nhận xét : Bài toán này dễ dàng nhận thấy cách giải bằng phương pháp đặt ẩn số phụ,nhưng sau đó dẫn đến phương trình bậc hai có tham số với điều kiện của ẩn số phụ và giải quyết nó sẽ phức tạp hơn. Nhưng nếu ta quan sát thấy pt theo ẩn số phụ đó biến đổi vể được phương pháp f(t) = g(m) thì ta áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để giải sẽ hay hơn. ĐK : x ≠ π4+kπ2 ,kÎZ (3) Û 1 – 3sin2x cos2x = m sin 2x Û 3sin22x + 4m.sin 2x – 4 = 0 (a). Đặt t = sin 2x , x ≠ π4+kπ2 ,kÎZ. Suy ra -1 < t < 1 Phương trình (a) Û 3t2 + 4m t – 4 = 0 (b) Vì t = 0 không phải là nghiệm của phương trình (b) .Suy ra t ≠ 0 , (b) Þ 4m = 4-3t2t Đặt y = 4-3t2t với -1 < t < 1 và t ≠ 0 có đạo hàm y ' = -4-3t2t2 < 0 ," -1 < t < 1 và t ≠ 0. limx→0-y=-¥ , limx→0+y=+¥ t - 1 0 1 y ' - - y -1 +¥ -¥ 1 Số nghiệm của phương trình (b) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = 4-3t2t với đường y = 4m Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thực khi : m 14 . V í d ụ 4. Tìm m để phương trình: cos2x=mcos2xtanx+1 4 có nghiệm thực trên [ o;π3 ] Nhận xét : Bài toán này thoạt nhìn chưa thấy có dạng để biến đổi theo ẩn số phụ. Nhưng nếu ta quan sát thấy pt(4) biến đổi vể được phương pháp f(t) = g(m) thì ta áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để giải sẽ hay hơn. (4) Û cos2x-sin2x=mcos2xtanx+1 (a) Với cosx = 0 Þ x = π2+kp ,kÎZ không thỏa phương trình (a) Suy ra cosx ≠ 0, chia hai vế (a) cho cos2x ta được :1 – tan2x = mtanx+1 (b) Đặt t = tanx+1 , x Î[ o;π3 ]. Suy ra t Î [1;3+1 ] (b)Þ1 – (t2 – 1)2 = mt Û – t3 +2t = m (*) ( vì t Î [1;3+1 ]Þ t ≠ 0 ) Xét hàm số y = - t3 +2t với t Î [1;3+1 ] có đạo hàm y ' = -3t2 + 2 y ' = 0 Û t=± 63 (loại) t 1 3+1 y ' - y 1 (1- 3 ) 3+1 Để phương trình (4) có nghiệm thực trên [ o;π3 ] khi (*) có nghiệm thực trên [1;3+1 ] Suy ra (1- 3 ) 3+1 ≤ m ≤ 1. V í d ụ 5. Tìm m để phương trình : 13x2-2x = m2 + m +1 có bốn nghiệm thực phân biệt Vì m2 + m + 1 > 0 với mọi m , do đó phương trình tương đương với x2-2x = log13(m2 + m + 1) ( 5) Xét hàm số y = x2-2x = x2-2x khi x≤0 hoăc x≥2-x2+2x khi 0<x<2 có đạo hàm y' = 2x-2 khi x2-2x+2 khi 0<x<2 limx→±∞y=+¥ x - ¥ 0 1 2 +¥ y ' - + 0 - + y +¥ 1 +¥ 0 0 Số nghiệm của phương trình (5) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):y = x2-2x với đường y = a ( với a = log13(m2 + m + 1) ) Dựa vào bảng biến thiên ,để phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt khi đường y = a ( với a = log13(m2 + m + 1) )cắt đồ thị (C):y = x2-2x tại bốn điểm phân biệt. Khi đó : 0 < log13(m2 + m + 1) < 1Û 13 < m2 + m + 1 < 1Û -1 < m < 0. V í d ụ 6. Tìm m để phương trình : 3x2-2x+2+22(x2-2x+2)+x2-2x = m - 2 (6) có nghiệm thực Nhận xét : Bài toán này thoạt nhìn thấy chưa có dạng để biến đổi theo ẩn số phụ. Nhưng nếu ta quan sát thấy pt(6) có chung biểu thức “ x2 – 2x” và cơ số lớn hớn 1 thì dấu của chúng phụ thuộc vào “ x2 – 2x” ta áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để giải sẽ hay hơn. (6)Û 3x2-2x+2+4x2-2x+2+x2-2x = m - 2 Xét hàm số y = 3x2-2x+2+4x2-2x+2+x2-2x TXĐ : D = R Vì cơ số 3 > 1, 4 > 1 nên sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên của hàm số t = x2 – 2x limx→±∞y=+¥ x - ¥ 1 +¥ t -1 y + ¥ 6 +¥ Số nghiệm của phương trình (6) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = 3x2-2x+2+4x2-2x+2+x2-2x với đường y = m – 2 Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (6) có nghiệm khi : m – 2 ≥ 6 Û m ≥ 8. V í d ụ 7 : Tìm m để phương trình : 42x+2x+246-x+26-x = m ( mÎR) có đúng hai nghiệm thực phân biệt (khối A 2008) (7) Nhận xét : Bài toán này thấy ngay được có hai căn chứa hai biểu thức khác nhau nên ta đưa về cách đặt theo biến u và v. Sau đó áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để giải sẽ hay hơn. ĐK: 0 ≤ x ≤ 6 Đặt y = 42x+2x+246-x+26-x với 0 ≤ x ≤ 6 y ' =124(2x)3+12x-124(6-x)3-16-x = 12(14(2x)3-14(6-x)3) + (12x-16-x), 0 < x < 6 Đặt u(x) = (14(2x)3-14(6-x)3) , v(x) = (12x-16-x). Ta thấy u(2) = v(2) = 0 Þ f '(2) = 0. Hơn nữa u(x), v(x) cùng dương trên khoảng (0;2) và cùng âm trên khoảng (2;6). x 0 2 6 y ' + 0 - y 32 +6 246+26 412+23 Số nghiệm của phương trình (7) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y=42x+2x+246-x+26-x với đường y = m Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi : 246+26 ≤ m < 32 +6 . V í d ụ 8 : Tìm m để phương trình : 3x-1+mx+1 = 24x2-1 ( mÎR) có nghiệm thực (khối A 2007) ( 8) Nhận xét : Bài toán này thoạt nhìn chưa thấy có dạng nào nhưng ta để ý thấy biểu thức “x2 – 1 = (x – 1)( x +1)”thì ta chia hai vế cho x+1 để biến đổi vể được phương pháp f(t) = g(m) thì ta áp dụng giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để giải sẽ hay hơn. ĐK : x ≥ 1 Phương trình (8)Û -3x-1x+1+24x-1x+1=m (a) Đặt t = 4x-1x+1 , x ≥ 1. Suy ra 0 ≤ t < 1. Khi đó (a) trở thành : -3t2 + 2t = m (b). Xét hàm số y = - 3t2 + 2t với 0 ≤ t < 1 có đạo hàm y ' = - 6t + 2. t 0 13 1 y ' + 0 - y 13 0 -1 Số nghiệm của phương trình (b) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y=- 3t2+ 2t với đường y = m . Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thực khi : -1 < m ≤ 13. Phần thứ 3: ĐÚC KẾT KINH NGHIỆM – KẾT LUẬN. - Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên, các em học sinh đã mạnh dạn hơn,linh hoạt hơn trong việc dung đạo hàm để giải toán. - Cái hay của cách giải này là sử dụng linh hoạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số. - Tránh phải xét nhiều trường hợp ở một số bài toán. - Tránh việc lập luận theo biệt thức denta - Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót,thừa nghiệm và tránh được giải phương trình bậc cao. Noäi dung phương pháp naøy chæ neâu moät soá ví duï khoâng ñaùng keå trong moân toaùn, beân caïnh ñoù coù nhöõng gôïi yù nho nhoû ñeå HS nhận dạng bài toán. Ñaây cuõng laø moät phương phaùp giải toán nhaèm naâng cao chaát löôïng cho HS. Noäi dung phương pháp naøy khoâng phaûi laø vaán ñeà môùi meû maø caùc ñoàng nghieäp khaùc ñaõ thöïc hieän töø laâu. Tuy nhieân , toâi muoán ñöa ra ñaây ñeå caùc ñoàng nghieäp ñoùng goùp yù kieán xaây döïng theâm giuùp toâi hoaøn thieän hôn trong phöông phaùp giaûng daïy sau naøy nhaèm ñaït keát quaû cao nhaát. Bieân Hoaø , ngaøy 25 thaùng 05 naêm 2012 Ngöôøi vieát Ninh Thế Phụng