Đề tài Suy nghĩ về tìm phương pháp tốt trong giải toán

PHAÀN MÔÛ ÑAÀU ******** I. Teân ñeà taøi: “ Suy nghĩ về tìm phương pháp tốt trong giải toán” II. Lyù do choïn ñeà taøi: Toán học là chìa khoá của mọi khoa học khác. “ Toán học giữ vai trò chủ chốt trong khoa học, công nghệ , kinh tế, thông tin và nhiều lĩnh vực khác của xã hội ”. Vì vậy mọi học sinh khi học xong chương trình phổ thông cần có một trình độ kiến thức nhất định về toán. Điều đó đặt ra cho mỗi giáo viên của chúng ta những yêu cầu rất cao không chỉ về kiến thức mà còn về phương pháp giảng dạy. Đặc biệt là hình thành cho học sinh những kiến thức suy luận phương pháp giải các bài tập một cách tổng quát hơn. III. Nhieäm vuï ñeà taøi: Chúng tôi xin phép phân tích lời giải của một vài bài toán để hình thành một số phương pháp giải các dạng toán này nhằm giúp học sinh tự tin hơn hoặc có được một phương pháp tốt trong giải toán. IV. Giôùi haïn cuûa ñeà taøi: * Ñeà taøi trình baøy goàm caùc phaàn sau: - Phaân tích lôøi giaûi vaø hình thaønh phöông phaùp giaûi phöông trình: x4=ax2+bx+c - Phaân tích lôøi giaûi vaø hình thaønh phöông phaùp giaûi tìm giôùi haïn daïng baèng caùch tìm soá vaéng. - Phaân tích lôøi giaûi vaø hình thaønh phöông phaùp chöùng minh baát phöông trình baèng ñònh lí Lagrang - Phaân tích lôøi giaûi vaø hình thaønh phöông phaùp chöùng minh baát phöông trình baèng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá. * Phaïm vi söû duïng ñeà taøi laø duøng cho nhöõng ñoái töông hoïc sinh trung hoïc phoå thoâng. ********************************************* B. NỘI DUNG: ******* Bài toán 1: Giải phương trình x4=2x2+3x-(1) Lời giải: Ta cớ: (1) Û Vậy phương trình có hai nghiệm * Bình luận lời giải trên: Thực sự lời giải trên rất rõ ràng lại rèn luyện cho học sinh được kỹ năng biến đổi, phân tích, giải phương trình Tuy nhiên trong lời giải trên còn có một chỗ rất độc đáo mà học sinh rất tốn nhiều thời gian mới có thể biến đổi phương trình (1) thành phương trình . Đây là điểm mấu chốt của vấn đề. Bài toán 1’: Giải phương trình Để giải được phương trình trên thì chắc chắn học sinh phải phân tích phương trình trên thành phương trình từ đó mới giải tìm được nghiệm phương trình đã cho. Tuy nhiên việc phân tích này rất mất nhiều thời gian. * Do vậy, trong lời giải bài toán 1 trên ta suy nghĩ (hướng dẫn cho học sinh), cách giải tổng quát mà việc biến đổi phương trình đã cho về phương trình dạng A2=B2 ít tốn thời gian hơn. Thật vậy, số 1 trong biểu thức (x2+1)2 của biến đổi phương trình (1) thành phương trình là ở đâu ra hay là trên trời rơi xuống ? Còn số nào khác số 1 nữa hay không? Làm sao tìm được số 1 này ? Để phân tích phương trình trên được về dạng ? Trả lời được các câu hỏi trên xem như bài toán có thể giải quyết được. Bây giờ, ta phân tích phương trình (1) thành:, "m Đặt . Để biến đổi phương trình (1) về dạng A2=B2 ta cần tìm m để f(x) trở thành bình phương đủ của một tổng hay hiệu điều đó tương đương, tìm m để có Û . Tìm được m=1 thoả điều kiện trên. Vậy là ta đã trả lời được câu hỏi số 1 ở đâu ra và ta nhận thấy luôn là phương trình bậc 3 đối với m cho nên giá trị 1 không nhất thiết là giá trị duy nhất. Đến đây tôi đề xuất cách giải phương trình dạng: x4=ax2+bx+c (*) như sau: Với mọi m ta luôn có : (*) Û (x2+m)2=(2m+a)x2+bx+c-m2 Đặt f(x) =(2m+a)x2+bx+c-m2. Ta tìm m sao cho f(x) là bình phương đủ Û Khi đó: f(x)= [g(x)]2 và (*) Û x2+m= ± g(x). Đây là các phương trình bậc hai. Như vậy, đây là phương pháp tổng quát để giải các phương trình có dạng x4=ax2+bx+c Qua việc phân tích lời giải trên ta nhận thấy số 1 không phải từ trên trời rơi xuống mà nó xuất hiện trong quá trình làm toán của chính các em. Chắc chắn điều khám phá này sẽ gây hưng phấn cho các em. Trong các bài toán tìm giới hạn dạng của hàm số chứa căn thức Bản chất khử dạng không xác định của bài toán tìm giới hạn là làm xuất hiện nhân tử chung để: Hoặc là khử nhân tử chung đưa về dạng xác định. Hoặc là đưa về dạng “cơ bản” , quen thuộc đã biết rõ kết quả hoặc cách giải. Trong các bài tập khó, các hạng tử cấu thành nhân tử chung thường thiếu vắng. Để giải quyết bài toán, điểm mấu chốt là khôi phục các hạng tử thiếu vắng đó. Việc khôi phục gọi lại các số hạng thiếu vắng ấy như thế nào , bằng cách nào, sẽ được trình bày trong cách làm dưới đây. Bài toán 2: Cho hàm số , tìm Lời giải: Rõ ràng giới hạn có dạng , biến đổi Ta có: === (1) === (2) Từ (1) và (2), ta suy ra: =-= Phân tích lời giải bài toán 2 : Trong lời giải trên ta đã thêm bớt số 2 vào tử thức của f(x).Vì sao phải là số 2 ? Tại sao lại là số 2 ? Tìm số 2 như thế nào ? Tương tự như bài toán 1 nếu trả lời được ba câu hỏi trên thì ta có phương pháp giải loại toán này. * Số 2 là hạng tử đã bị xoá. Muốn giải , hãy phải khôi phục nó. * Cách tìm số 2 , thực hiện theo các bước sau đây : Bước 1 : "c ÎR , luôn có Bước 2: Trong các số c ta tìm c sao cho cùng có nhân tử chung (x-1) với và . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi c là nghiệm của hệ phương trình Û c=2 * Đây cũng là câu trả lời tại sao phải là số 2. Từ việc phân tích trên tôi đưa ra thuật toán tìm số vắng của những giới hạn ở trên như sau : Giả sử có giới hạn dạng Bước 1: (Phân tích) Bước 2: (Tìm c). Gọi xi ( i=1,2,...) là các nghiệm của mẫu g(x)=0. Khi đó c là nghiệm của hệ Với c tìm được thì sẽ hoặc là dạng xác định hoặc là dạng quen thuộc. Nếu Áp dụng thuật toán trên ta tính giới hạn: như sau : Đặt Bước 1 : (Phân tích) : " c ÎR, luôn có : Bước 2 : (Tìm c) : Nghiệm của mẫu thức là x=0. Suy ra c là nghiệm của hệ phương trình:  Û c= 2 Vậy = Ta có và . Suy ra = Baøi toaùn 3: Cho a>0;b>0 vaø a<b. Chöùng minh raèng: (1) Lôøi giaûi: Töø baát ñaúng thöùc ñaõ cho ta vieát laïi:(1)Û Choïn haøm soá f(x)=lnx, vôùi x Î[a;b], a,b>0 Ta coù: f’(x)= Þ f(x) lieân tuïc treân [a;b] vaø coù ñaïo haøm treân (a;b) Theo ñònh lí Lagraêng, $c Î [a;b] sao cho: f’(c)= hay vaø vì c Î[a;b] ; a,b>0 neân: hay (ñpcm). Nhaän xeùt: Töø ñònh lí Lagraêng ta nhaän thaáy: Vì c Î (a;b) neân α(a;b) <f’(c)< β(a;b). Do ñoù ta coù baát ñaúng thöùc: . Döïa vaøo ñaây ta coù ñöôïc phöông phaùp chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng caùch söû duïng ñònh lí Lagraêng ñeå thöïc hieän theo caùc böôùc sau ñaây: B1: Töø baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ta tìm ra haøm soá f(x) thoaû maõn caùc ñieàu kieän cuûa ñònh lí Lagraêng (töùc laø f(x) lieân tuïc/ [a;b] vaø coù ñaïo haøm treân (a;b) ) B2: Ta coù f(b)-f(a)=(b-a)f’(c). B3: Xeùt daáu cuûa f’(c) vôùi c Î (a;b)Þ BÑT caàn chöùng minh. Baøi toaùn 4: Chöùng minh "x Î(0;1), "n ÎZ+ ta coù: Lôøi giaûi: Xeùt haøm soá: y=f(x)= xaùc ñònh trong(0;1) y’=  ; y’=0 Û x = Baûng bieán thieân x 0 1 y’ + 0 - y 0 0 Vaäy : "x Î(0;1), " n ÎZ+: (ñpcm) * Töø ñònh nghóa vaø ñònh lí veà tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá ta ruùt ra phöông phaùp ñeåå chöùng minh baát ñaúng thöùc f(x)>g(x), " x ÎD bằng phương pháp đạo hàm như sau: B1: Xeùt haøm soá : h(x)= f(x)-g(x), "x ÎD B2:Tính h’(x) vaø xeùt daáu h’(x) treân taäp D Þ Chieàu bieán thieân. B3: Döïa vaøo baûng bieán thieân Þ bñt caàn chöùng minh * Chuù yù: Trong böôùc 2 ta thöôøng gaëp khoù khaên khi xeùt daáu h’(x) thì tính h”(x) roài xeùt daáu h”(x), neáu gaëp khoù khaên thì tính vaø xeùt daáu h’’’(x) Ví duï : Chöùng minh raèng: (4) Höôùng daãn: Ta caàn chöùng minh: + (a) + sinx0 (b) * Tröôùc heát chöùng minh: + Xeùt haøm soá: f(x)= ta caàn chöùng minh: f(x) 0 + f’(x)=1--cosx; f”(x)=-x+sinx ; f”’(x)=-1+cosx Ta coù: f”’(x)£0, "x ÎR Þ f”(x) nghòch bieán/R, do ñoù: " x>0Þ f”(x)<f”(0)=0 Þ f’(x)nghòch bieán /R Þ "x>0 ta coù: f’(x)<f’(0)=0 Þ f(x) nghòch bieán /R Þ "x >0 , ta coù: f(x)<f(0)=0Þ (ñpcm) * Ta chöùng minh: sinx0 Töông töï xeùt haøm soá: g(x)= sinx-x, "x>0. Ta caàn chöùng minh g(x)0. Ta coù : g’(x)=cosx-1£0, "x ÎR Þ g(x) nghòch bieán treân RÞ Do ñoù: " x>0 ta coù: g(x)0 (ñpcm) Vaäy ta coù bñt caàn chöùng minh. Treân ñaây laø moät soá suy nghó cuûa baûn thaân veà vieäc hình thaønh phöông phaùp giaûi moät soá daïng toaùn toâi mong ñöôïc söï trao ñoåi cuûa caùc thaày coâ giaùo cuøng ñoàng nghieäp veà ñeà taøi naøy. C. KẾT LUẬN ******* I. Keát quaû: Qua vieäc thöïc hieän chuyeân ñeà naøy ôû moät soá lôùp chuùng toâi nhaän thaáy haàu heát caùc hoïc sinh ôû caùc lôùp naøy ñaõ töï tìm ra phöông phaùp giaûi vaø töï tin hôn trong giaûi toaùn. II. Baøi hoïc kinh nghieäm: - Thöù nhaát: Trong quaù trình giaûng daïy boä moân toaùn neáu giaùo vieân bieát keát hôïp vaø söû duïng caùc phöông phaùp daïy hôïp lí seõ naâng cao hieäu quaû giaûng daïy. Ñaây moät trong nhöõng phöông phaùp giaûng daïy coù hieäu quaû laø phöông phaùp daïy hoïc giaûi quyeát vaán ñeà. Ñaëc bieät laø söû duïng phöông phaùp giaûng daïy naøy vaøo vieäc höôùng daãn hoïc sinh giaûi baøi taäp toaùn. - Thöù hai: Trong quaù trình höôùng daãn hoïc sinh giaûi baøi taäp toaùn, ngoaøi nhöõng yeâu caàu ñeå ñaûm baûo caùc chöùc naêng cuûa moät baøi taäp toaùn giaùo vieân caàn höôùng daãn cho hoïc sinh nghieân cöùu lôøi giaûi ñeå töø ñoù hình thaønh phöông phaùp giaûi toát nhaát cho töøng baøi toaùn. Ñaây cuõng laø caùch ñeå hoïc sinh töï tìm ra phöông phaùp giaûi vaø töï tin hôn trong giaûi toaùn. Dó nhieân khoâng phaûi luùc naøo chuùng ta cuõng ñöa ra ñöôïc phöông phaùp giaûi toái öu cuûa moät baøi toaùn. **************************************** TAØI LIEÄU THAM KHAÛO Taïp chí toaùn hoïc vaø tuoåi treû naêm 2007, goàm 12 soá. Phöông phaùp giaûi toaùn ñaïi soá - Nxb Giaùo duïc- 2001- Taùc giaû : Voõ Ñaïi Mau Phöông phaùp giaûi toaùn Ñaïi soá vaø Giaûi tích- Nxb Giaùo duïc- 1999- Taùc giaû : Traàn Thaønh Minh (cb). MUÏC LUÏC A. Phaàn môû ñaàu: Trang 1 B. Phaàn noäi dung: Trang 2 C. Keát luaän Trang 9 Taøi lieäu tham khaûo Muïc luïc