Đề tài Tìm hiểu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong lý thuyết trường

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này, em đã nhận được nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý – trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã dạy em trong suốt 4 năm học và qua đó đã giúp em hoàn thành khóa luận này. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này. Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa luận vẫn còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý, nhận xét của các thầy cô và của các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày … tháng … năm Sinh viên Đỗ Thị Quỳnh Trang LỜI CAM ĐOAN Sau một thời gian nghiên cứu, được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh , em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp đúng thời hạn. Đề tài có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trước đó. Em xin cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu của mình, không trùng với các kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày … tháng … năm Sinh viên Đỗ Thị Quỳnh Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 2. Đối tượng nghiên cứu 3. Mục đích nghiên cứu 4. Phạm vi nghiên cứu 5. Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Chương I : Cơ sở toán học Bài toán cổ điển về thời gian ngắn nhất. Phiếm hàm và biến cấp một của phiếm hàm. Một số tính chất của phiếm hàm. Mở rộng. Chương II: Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển. 2.1 Đặt vấn đề. 2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu và các định luật Newton. Chương III : Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích 3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với hệ Holonom lý tưởng. 3.1.1 Nội dung nguyên lý. 3.1.2 Ứng dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu. 3.2 Mở rộng nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với hệ Holonom không bảo toàn. Chương IV : Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong lý thuyết trường. 4.1 Hàm trường, hàm lagranger. 4.2 Hàm tác dụng S. 4.3 Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đến phương trình Euler - Lagranger 4.4 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu tìm ra định lý Noether 4.5 Hệ quả định lý Noether KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý học là môn khoa học nghiên cứu những quy luật đơn giản nhất, tổng quát nhất của tự nhiên. Nó nghiên cứu cấu tạo và các quy luật vận động của vật chất. Trong thực tế đời sống, ta thấy hình như vật chỉ đi theo một con đường duy nhất giữa điểm ra đi và điểm đến. Ví dụ đơn giản là khi ta ném một trái bóng vào rổ chẳng hạn. Ta có thể xác định được con đường và quỹ đạo của trái bóng bằng các định luật cổ điển. Vậy trong thế giới hạt vi mô thì sao? Giả sử một hạt vật chất chuyển động từ A đến B thì hạt sẽ lựa chọn con đường nào trong hàng triệu con đường nối giữa A và B? Dấu hiệu nào để ta tìm ra con đường đó? Phải chăng hạt sẽ đi theo con đường mà đòi hỏi “ sự nỗ lực” là ít nhất? Nguyên lý tác dụng tối thiểu sẽ giúp chúng ta trả lời những câu hỏi trên. Đây là nguyên lý tổng quát nhất của cơ học. Trong vật lý học, người ta thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu như một tiên đề. Từ nguyên lý này ta có thể rút ra các phương trình chuyển động của hệ và hàng loạt các định nghĩa, khái niệm đặc trưng. Chính vì những lý do trên, tôi chọn nguyên lý tác dụng tối thiểu làm đề tài luận văn của mình. Với nội dung “Tìm hiểu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong lý thuyết trường” tôi muốn mở rộng vốn kiến thức còn hạn chế của bản thân đồng thời giới thiệu đến các bạn sinh viên trong toàn khoa. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ hoc cổ điển, cơ học giải tích và trong lý thuyết trường. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ sau: Tìm hiểu các khái niệm về phiếm hàm, biến phân, các qui tắc tính biến phân. Ngiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển. Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích. Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong lý thuyết trường. 4. Đối tượng nghiên cứu Nguyên lý tác dụng tối thiểu. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý thuyết. NỘI DUNG Richard Feynman (1918-1988) là nhà vật lý kiệt xuất người Mỹ . Trong những năm chiến tranh thế giới thứ II, Feynman đã tìm ra một cách tư duy rất hiệu quả về cơ học lượng tử, nhờ đó ông dã đoạt giải Nobel năm 1965. Ông thách thức giả thuyết cổ điển cơ bản cho rằng mỗi hạt có một lịch sử riêng biệt. Thay vào đó, ông cho rằng các hạt di chuyển từ vị trí này đến vị trí khác theo mọi con đường có thể có qua không - thời gian. Trong đường tích phân của Feynman một hạt có thể đi theo mọi con đường có thể Con đường cổ điển của một hạt CHƯƠNG I : CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Bài toán cổ điển về thời gian ngắn nhất Năm 1696, Johan Bernoulli (1667-1784) nhà toán học Thuỵ Sĩ đã đặt và giải bài toán sau đây, gọi là bài toán đoản thời. Một chất điểm M chuyển động dưới tác dụng của trọng lực trên đường cong trong mặt phẳng thẳng đứng, từ O đến A không vận tốc đầu, không ma sát. Trong tập hợp các đường cong nối điểm O và A hãy tìm đường mà chất điểm M đi từ O đến A trong thời gian T ngắn nhất. x y O A(x0,y0) M(x,y) Gọi , ta có Từ định luật bảo toàn cơ năng ta có . Do vậy (1.1) Thời gian di chuyển của M từ O đến A phụ thuộc vào việc lựa chọn hàm y(x).Tích phân (1) được gọi là phiếm hàm. Bài toán đặt ra được đưa về việc tìm hàm y=y(x) sao cho T lấy giá trị nhỏ nhất. 1.2 Phiếm hàm và biến phân cấp một của phiếm hàm Phiếm hàm đơn giản nhất là tích phân phụ thuộc vào việc lựa chọn một số hàm y(x) thuộc dạng: (1.2) Bài toán cơ bản của phép tính biến phân là tìm hàm y(x) làm cho phiếm hàm J đạt cực trị và thoả mãn điều kiện biên : (1.3) Giả sử rằng hàm y(x) là nghiệm cần tìm của bài toán biến phân. Ta sẽ tìm các điều kiện cần mà hàm đó phải thoả mãn để phiếm hàm J đạt cực trị.Muốn vậy, ta hãy lập hàm mới gần với hàm y(x) (1.4) Trong đó là một tham số bé A B y y2 y1 O x1 x x2 y*(x) y(x) A B y y2 y1 O x1 x x2 y*(x) y(x) Đường cong y=y(x) biểu diễn nghiệm cần tìm Đường gần với đường y(x) và có chung điểm mút A , B (1.5) Thay (1.4) vào (1.2) ta sẽ có một hàm của (1.6) Do đó bài toán tìm cực trị của phiếm hàm (1.2) được đưa về xét cực trị của hàm một biến . Như đã biết, muốn vậy cần phải tìm giá trị của đạo hàm tại . Ta có: (1.7) Tích phân thứ hai của (1.7) áp dụng phương pháp tích phân từng phần và chú ý điều kiện biên (1.5). Do đó (1.7) được viết lại như sau : Từ đây ta có : (1.8) ( khi thì ) Mà là hàm tuỳ ý nên từ (1.8) ta dẫn đến phương trình sau đây: (1.9) (1.9) được gọi là phương trình Euler – lagranger Đây là phương trình vi phân thường cấp hai. Nghiệm của nó chứa hai hằng số tuỳ ý. Những hằng số này được xác định từ những điều kiện biên (1.3). Vậy là, hàm y(x) phải tìm - nghiệm của bài toán biến phân nêu trên phải thoả mãn phương trình Euler – Lagranger (1.9). Có thể phát biểu kết quả thu được dưới dạng khác, nếu đưa vào khái niệm biến phân cấp một của phiêm hàm J. Biến phân cấp một của một phiếm hàm (1.2) là đại lượng xác định bởi biểu thức : (1.10) Do đó (1.8) được viết lại như sau : (1.11) Trong đó được định nghĩa như sau: (1.12) Đẳng thức (1.11) chứng tỏ rằng hàm y(x) - nghiệm của bài toán biến phân triệt tiêu biến phân cấp một của phiếm hàm J. Điều khẳng định này kéo theo đòi hỏi (1.9) 1.3 Một số tính chất của phiếm hàm 1.3.1 Phép đạo hàm và biến phân là giao hoán Ta thấy rằng biến phân của hàm bất kỳ y(x) cũng kéo theo biến phân của đạo hàm y’(x) (1.13) Hay Mặt khác, đạo hàm đẳng thức (13) theo x ta có : (1.14) Do đó : (1.15) 1.3.2 Các phép tích phân và biến phân là giao hoán Trong (1.7) cho và sau đó nhân hai vế của đẳng thức nhận được với và chú ý đến điêu kiện (1.12) và (1.13) ta được : (1.16) 1.4 Mở rộng Không có gì khó khăn, ta có thể mở rộng bài toán cơ bản của phép tính biến phân cho trường hợp phiếm hàm phụ thuộc vào n hàm độc lập yi(x) và các đạo hàm y’i(x) của chúng. (1.17) Cũng như trong trường hợp đơn giản nhất (2) bài toán được đưa về tìm cực trị của hàm trong đó là những tham số bé được đưa vào trong biến phân của các hàm y1(x), y2(x)...yn(x) với các điểm biên giữ cố định, nghĩa là : (1.18) Trong đó là những hàm tùy ý triệt tiêu tại các điểm x = x1 và x = x2. Ta có biểu diễn biến phân của hàm (1.17) dưới dạng : Vì yi(x) là các hàm độc lập, nên các biến phân của chúng cũng độc lập. Do đó, đẳng thức kéo theo các hệ số của cũng phải bằng 0. Vậy là, các hàm yi(x) làm cực trị phiếm hàm (17) phải thoả mãn hệ phương trình Euler – Lagranger (1.19) Nhận xét rằng nếu ta thay thế một cách hình thức các biến trong (1.19) và thì các phương trình (1.19) sẽ trùng hoàn toàn với các phương trình Lagranger trước đây cho cơ hệ chịu tác dụng của các lực thế. Điều đó chứng tỏ rằng các phương trình Lagranger là những phương trình Euler đối với một bài toán biến phân nào đó của cơ học. CHUƠNG II: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN Mỗi hạt có thể di chuyển từ vị trí này tới vị trí khác theo mọi con đường có thể có qua không - thời gian. Tuy nhiên, trong đời thường hình như ta chỉ thấy các vật đi theo một con đường duy nhất giữa điểm ra đi và điểm đến. Theo Feynman chỉ có một trong vô số con đường là quan trọng đối với sự chuyển động của các vật vĩ mô, và đó chính là quỹ đạo xuất hiện từ các định luật cổ điển về chuyển động của Newton. Trong chương này, chúng ta đi tìm mối quan hệ giữa nguyên lý tác dụng tối thiểu và các định luật Newton. 2.1 Đặt vấn đề Giả sử, ta xét một chuyển động trong trường hấp dẫn, vật M chuyển động từ A đến B trong khoảng thời gian từ t1 đến t2. A(t1) M B(t2) Trong thực tế, ta thấy rằng vật sẽ đi lên từ A và đi xuống ở B. Vậy liệu, trong cùng một khoảng thời gian như vậy ta có thể tìm được một chuyển động khác để vật đi từ A đến B không? Giả sử chuyển động như hình vẽ dưới đây: A(t1) B(t2) Nếu bằng cách nào đó, ta thu được động năng và thế năng tại mọi thời điểm dọc theo quỹ đạo và cộng tổng chúng lại, thì ta sẽ thu được một giá trị năng lượng lớn hơn nhiều so với năng lượng của chuyển động thực tế. Vậy dấu hiệu nào để ta có thể nhận biết được con đường thực giữa hàng triệu con đường khác mà vật có thể đi? 2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu và các định luật Newton. Xét trường hợp một chất điểm chuyển động trong trường hấp dẫn t1 t2 x t Taị thời điểm t vật có tọa độ là x Động năng của vật : Thế năng của vật : mgx Bây giờ ở mỗi thời điểm dọc theo quỹ đạo ta lấy động năng trừ đi thế năng và cộng tổng chúng lại: Nghĩa là : (2.1) Chuyển động thực là một vài dạng của đường cong. Nó là parabol nếu như tích phân trên cho một giá trị nhất định. Nhưng cũng có thể là chuyển động có quỹ đạo kỳ lạ hơn. Chúng ta có thể tính được năng lượng động năng trừ thế năng và lấy tích phân trên một con đường hoặc bất kỳ con đường khác mà ta muốn. Nhưng con đường thực sẽ là con đường mà tích phân (2.1) là nhỏ nhất. Giả sử, ta xét một chất điểm chuyển động tự do ( thế năng tại mọi điểm đều bằng 0). Từ (2.1) ta thấy rằng, khi chất điểm đi từ điểm này đến điểm khác trong một khoảng thời gian thì tổng động năng của nó là nhỏ nhất. Vì vậy chất điểm phải chuyển động với tốc độ không đổi. Vì sao lại vậy ?. Nếu hạt đi bằng bất kỳ cách nào khác, thì tốc độ đôi khi lớn hơn tốc độ trung bình, khi lại nhỏ hơn. Tuy nhiên tốc độ trung bình là như nhau trong mọi trường hợp ( khoảng cách giữa hai điểm và thời gian là không thay đổi ). Ta có một ví dụ thực tế như sau : Vào mỗi buổi sáng, ta bắt đầu đi từ nhà tới trường mất một khoảng thời gian nhất định bằng ôtô. Ta có thể đi nhanh lúc ban đầu và lại đi chậm lúc gần cuối, hay có thể chỉ đi với tốc độ không đối, hoặc có thể đi ngược trở về nhà rồi sau đó lại đi về phía trước. Tuy nhiên ta đều thu được tốc độ trung bình là như nhau. Ta đã biết, tổng các bình phương của các giá trị lệch quanh một giá trị trung bình thì luôn lớn hơn bình phương các giá trị trung bình, nên tổng động năng sẽ cao hơn. Do vậy chất điểm phải chuyển động với tốc độ không đổi. Hay nói cách khác tích phân là nhỏ nhất nếu tốc độ là một hằng số. Chúng ta đưa vào một khái niệm, được gọi là tác dụng S (2.2) Với K và U tại cùng một thời điểm. Với mỗi quãng đường khác nhau, ta có thể có giá trị khác nhau của tác dụng. Vấn đề toán học là phải tìm ra những đường cong mà giá trị của tác dụng là nhỏ nhất. Đó chỉ là những tính toán thông thường cực đại và cực tiểu. Ý tưởng của chúng ta là tưởng tượng ra một con đường đúng đắn ( con đường thực ) và một con đương sai lầm.Bởi vây, nếu ta tính tác dụng cho con đường sai thì ta có giá trị này lớn hơn so với con đường thực. Vấn đề đặt ra là : Tìm con đường thực như thế nào và nó ở đâu? Nếu như bằng cách nào đó, ta tìm được tác dụng của hàng triệu con đường và cố gắng đi tìm giá trị tác dụng thấp nhất. Khi ta tìm được giá trị thấp nhất đó nghĩa là ta đã tìm được con đường thực. Tuy nhiên, cách đó có vẻ không được khả thi. Ta có thể nhận biết được con đường thực bằng phương pháp sau đây: Chúng ta giả sử là con đường thực ( con đường mà ta đang cố gắng tìm ) và một con đường x(t) lệch so với con đường thực một giá trị rất nhỏ mà chúng ta gọi là x x(t) t Bây giờ, ta đi tính tác dụng S của con đường x(t), và sau đó đi tìm độ lệch giữa tác dung S và tác dụng của con đường thực. Độ lệch của S và phải bằng 0 ở các nút, nghĩa là : (2.3) Ta có (2.4) Công thức của tác dụng S: (2.5) Và (2.6) Ta có : (2.7) ( vì 1) Do đó (2.8) Với (2.9) Mà 1 ta có thể khai triển V(x) thành chuỗi Taylor như sau : (2.10) Trong đó V’ là đạo hàm của V theo x. Bỏ qua vô cùng bé bậc hai ta có : (2.11) Tác dụng S được viết lại : (2.12) Ta thấy hai số hạng đầu tiên : (2.13) Do đó : (2.14) Đưa vào khái niệm : được gọi là biến phân của S. Ta có: Do đó : Thay ta có : (2.15) Mà Do đó : (2.16) Ta đặt (2.17) Khi đó (2.18) Ta luôn có tích phân sau : (2.19) Ta có một hàm của thời gian bất kỳ, ta nhân nó với và sau đó lấy tích phân theo thời gian. Ta không quan tâm là gì? Ta luôn hàm F(t) luôn bằng 0.Chúng ta sẽ đi kiểm tra lại điều đó. t t1 t2 Giả sử với ta cho nó bằng 0 ở mọi thời điểm t ngoại trừ ngay gần một giá trị xác định Ở những nơi mà = 0 ta có tích phân (2.19) luôn bằng 0. Hay tích phân trên được viết lại như sau: (2.20) Mà là bất kỳ, muốn (2.20) bằng 0 thì hàm F(t) phải băng 0 ở mọi thời điểm. Trở lại công thức (2.18), khi : (2.21) Dễ dàng nhận thấy (2.21) chính là biểu thức của định luật 2 Newton F= ma. CHƯƠNG III : NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG CƠ HỌC GIẢI TÍCH 3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với cơ hệ Holonom lý tưởng 3.1.1 Nội dung nguyên lý Xét cơ hệ bảo toàn chịu các liên kết Holonom lý tưởng Giả sử, chuyển động thực của hệ được mô tả bởi các toạ độ suy rộng : Ta đưa vào khái niệm không gian trạng thái của hệ - không gian n+1 thứ nguyên của các toạ độ suy rộng và thời gian t. Biểu diễn không gian này trên một mặt phẳng mà trục hoành là thời gian, còn trục tung là tập hợp các giá trị của tất cả các toạ độ suy rộng . Khi đó mỗi điểm trên mặt phẳng (t,q) sẽ biểu diễn trạng thái xác định của cơ hệ tại thời gian t đã cho. Giả sử, trong khoảng thời gian t2 – t1, cơ hệ chuyển từ trạng thái A đến trạng thái B. Có vô số con đường để hệ chuyển trạng thái, nhưng chỉ có một con đường thực duy nhất mà hệ sẽ đi. Các con đường còn lại là những đường vòng. Vấn đề được đặt ra là đưa ra một tiêu chuẩn để nhận biết con đường thực ấy. Nguyên lý tác dụng tối thiểu ( hay nguyên lý Haminton sẽ trả lời câu hỏi đó ) C A B t t1 t2 q(t1) q(t2) q O Nguyên lý tác dụng tối thiểu: Đối với cơ hệ Holonom chịu liên kết lý tưởng và dưới tác dụng của các lực thế, con đường thực đưa cơ hệ từ trạng thái A sang trạng thái B là con đường tương ứng với giá trị cực trị của hàm tác dụng S. (3.1) Trong đó L = T-U là hàm Lagranger. S được gọi là tác dụng theo Haminton Nói cách khác, với chuyển động thực của cơ hệ, biến phân cấp một của phiêm hàm S bị triệt tiêu. Nghĩa là : (3.2) 3.1.2 Ứng dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu. - Lập phương trình Haminton từ nguyên lý tác dụng tối thiểu Sử dụng định nghĩa hàm Haminton H =H(qi, pi ) ta có thể viết nguyên lý tác dụng tối thiểu dưới dạng : (3.3) Thay đổi thứ tự phép tính tích phân và phép tính biến phân ở vế trái của biểu thức này ta được: (3.4) Thành phần cuối cùng ở vế phải áp dụng tích phân từng phần và chú ý tới điều kiện ta được : (3.5) Vì các biến phân của toạ độ và xung lượng suy rộng là độc lập nên đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi các hệ số của và bằng 0, nghĩa là chúng thoả mãn hệ phương trình sau : (3.6) hệ (3.6) trên được gọi là hệ phương trình Haminton. - Nguyên lý tác dụng tối thiểu và phương trình chuyển động của hệ. Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đến phương trình chuyển động Lagranger Cùng với chuyển động thực, ta biểu diễn các con đường vòng bằng những phương trình thông số : (3.7) Trong đó các biến phân của các toạ độ suy rộng là các hàm khả vi vô cùng bé bất kỳ ( do tính độc lập của các toạ độ suy rộng qi ), thoả mãn các điều kiện ở hai đầu mút (3.8) Từ (3.7) ta có : (3.9) Và biến phân của các toạ độ suy rộng là sự biến đổi của các toạ độ này khi thời gian cố định. Những biến phân như vậy gọi là biến phân đẳng thời. Với độ chính xác đến các số hạng bé bậc nhất với vàta có: (3.10) Ta có: (3.11) Sử dụng điều kiện Ta có: (3.12) Theo nguyên lý tác dụng tối thiểu trong chuyển động thực của cơ hệ Do sự tuỳ ý của khoảng tích phân, điều này chỉ xảy ra khi tất cả các hệ số của những biến phân độc lập bằng không, nghĩa là các toạ độ suy rộng thoả mãn phương trình sau : (3.13) -Từ phương trình Lagranger đến nguyên lý tác dụng tối thiểu. Trong mục trước từ nguyên lý tác dụng tối thiểu ta đã tìm được phương trình chuyển động. Bây giờ ta đi làm điều ngược lại. Nhân mỗi phương trình (3.13) với biến phân tương ứng và cộng các biểu thức thu được với nhau ta thu được phương trình : (3.14) Vì nên ta có thể viết biểu thức (3.13) dưới dạng: Theo (3.10) ta có : (3.15) Nhân hai vế của biểu thức này với dt và tích phân trong giới hạn từ t1 đến t2 với t1, t2 là những điểm tùy ý ta có: Hay ta có: 3.2 Mở rộng nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với cơ hệ Holonom không bảo toàn ( phi holonom) Với cơ hệ Holonom không bảo toàn nguyên lý tác dụng tối thiểu có dạng : (3.16) Trong dó T là động năng của hệ, Qi là lực không bảo toàn suy rộng. Trong (3.3), biến đổi tích phân như sau: (3.17) Tích phân thứ hai trong (3.17) áp dụng phương pháp tích phân từng phần, kết hợp với điều kiên . Ta viết lại (3.17) như sau: (3.18) Thay (3.18) vào (3.16) ta sẽ thu được phương trình sau : (3.19) Vậy từ nguyên lý tác dụng tối thiểu (3.16) ta tìm được phương trình vi phân chuyển động (3.19). Ngược lại, ta sẽ chứng minh rằng từ các phương trình Lagranger (3.19) ta sẽ tìm được nguyên lý Haminton (3.16). Thực vậy,nhân mỗi phương trình của hệ (3.19) với các biến phân tương ứng của toạ độ suy rộng rồi cộng các biểu thức thu lại với nhau ta có: (3.20) Và chú ý rằng Ta có thể viết (3.20) dưới dạng : Nhân biểu thức này với dt và lấy tích phân theo thời gian từ t1 đến t2 ta được biểu thức của nguyên lý tác dụng tối thiểu: (3.21) Vì các đầu đường cố định nên Cần lưu ý rằng, nguyên lý Haminton dưới dang (3.21) không còn là nguyên lý biến lý biến phân nữa.Nó chỉ khẳng định rằng trong chuyển động của cơ hệ từ trạng thái ứng với t1 đến trạng thái ứng với t2 dọc theo con đường thực thì tích phân (3.21) bằng 0.Thực vậy, trong các lực suy rộng ta tách những lực bảo toàn và không bảo toàn: Trong đó là thế năng còn Qi* là lực suy rộng sinh ra do các lực không bảo toàn. Chú ý rằng ta viết (3.21) dưới dạng : (3.22) Trong đó Nhưng vì và thời gian coi như cố định nên biểu thức (3.22) cho ta: Đưa vào đại lượng ta có thể viết phương trình này dưới dạng : Phương trình trên chỉ khẳng định = 0 trên con đường thực, còn bản thân phiếm hàm S* lại không tồn tại. CHƯƠNG VI : NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG 4.1 Hàm trường và hàm Lagranger Giả sử ta có một hệ gồm các trường Tương tự như trong cơ lý thuyết, ta mô tả hệ này bởi hàm Lagrange L(x). Nói chung, L(x) là một hàm phụ thuộc vào trường nói trên và các đạo hàm bậc tuỳ ý của các trường này.Tuy nhiên, ta chỉ khảo sát trường hợp khi L(x) chỉ phụ thuộc các hàm và các đạo hàm bậc nhất mà thôi. Điều này có thể thừa nhận nếu coi các là các toạ độ suy rộng và các đạo hàm là các tốc độ suy rộng của hệ. Ta viết: (4.1) Trong đó và i = 1,2,3... Các đòi hỏi với hàm trường là : Lagrangian phải là một hàm thực: L*(x) = L(x) (4.2) Phải bất biến tương đối tính, tức là bất biến khi dưới tác dụng của phép biến đổi Lorenxo thì L(x)L’(x’) =L(x) (4.3) 4.2 Hàm tác dụng S Là tích phân sau : (4.4) là thể tích không gian 4 chiều. Điều kiện bất biến (4.3) kéo theo tính bất biến tương đối tính của hàm tác dụng S. Thật vậy ta có: Theo (4.3) ta có: Trong đó Gọi là Jacobian của phép biến đổi x x’ là phép biến đổi Lorenxo đồng nhất dạng: Hay Do đó: Vậy 4.3 Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đến phương trình Euler- Lagrange Xuất phát từ nguyên lý tác dụng tối thiểu một nguyên lý tổng quát, với mỗi Lagrangian xác định ta sẽ thu được một phương trình viết cho trường , gọi là phương trình chuyển động của hệ. Nguyên lý tác dụng tối thiểu nói rằng: biến phân của tác dụng A do sự thay đổi dạng của trường gây nên là bằng 0 (4.5) Vì chỉ sự biến thiên do sự thay đổi dạng của hàm trường gây nên mà thôi, ta có: (4.6) Do Top of Form Bottom of Form Ta có thể đổi thứ tự và cho nhau, viết lại (4.6) Hay (4.7) Thay (4.7) vào (4.5) ta được: (4.8) Dùng định luật Gauss ta biến đổi số hạng thứ hai trong (4.8) thành tích phân mặt: (4.9) Trong đó là vecto pháp tuyến của mặt và là vecto 4 chiều. Giả thiết là biến phân của trường triệt tiêu trên mặt biên của miền lấy tích phân , tức là: Khi đó số hạng (4.9) bằng 0 và (4.8) trở thành Vì miền lấy tích phân là tuỳ ý và các là độc lập nên ta có phương trình sau đây gọi là phương trình Euler – Lagranger. i=1, 2, .....n (4.10) Từ phương trình này với các hàm Lagrangian xác định, ta suy ra được các phương trình chuyển động của hệ. Do vậy phương trrình này đóng vai trò chủ yếu trong lý thuyết trường lượng tử. 4.4 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu để tìm ra định lí Noether. 1. Ta hãy xét một phép biến đổi nào đó G đặc trưng bởi các thông số Giả sử phép biến đổi này là vô cùng bé, quy luật biến đổi của toạ độ x và hàm trường dưới tác dụng của phép biến đổi này có dạng tổng quát sau: (4.11) Đưa vào định nghĩa biến phân địa phương của trường ( biến phân ở cùng một điểm): Thay vào (4.11) ta có: (4.11a) Mặt khác ta có gần đúng sau: (thực chất là khai triển Taylor bậc 1) Bỏ qua các vô cùng bé ta có: (4.11b) Thay (4.11b) vào (4.11a) ta có (4.11’) 2. Biến phân của tác dụng: Từ các kết quả trên, ta có thể tính được biến phân của tác dụng S Ta có (4.12) Biến phân của nó là: (4.13) Vì mà Mà ta có: Hay : (4.14) Tương tự như biến phân của hàm trường ta có biến phân hàm Lagrangian: Mặt khác sử dụng (4.11’) Từ đó: (4.15) Ngoài ra ta có: Vì biến phân là thay đổi dạng của hàm , còn đạo hàm là biến thiên của toạ độ cho nên hai phép này độc lập với nhau, ta có thể thay đổi trật tự: Công thức của L trở thành: Hay : Nhắc lại rằng, ở đây để tranh phức tạp về các chỉ số nên ta viết hàm chứ không ghi . Hàm thoả mãn phương trình Euler – Lagrange nên ta có: Cuối cùng ta có: Thay vào biểu thức (4.15) ta có: (4.16) Thay (4.14) (4.16) vào (4.13): Hay: (4.17) Nhắc lại rằng dưới tác dụng của phép biến đổi vô cùng bé G lên toạ độ và hàm trường: Hàm tác dụng S có biến phân dạng (4.17) Nếu hàm tác dụng S là bất biến đối với phép biến đổi G thì sẽ tồn tại một số đại lượng bất biến đúng bằng thông số của nhóm G. Chứng minh: Ta viết tường minh biểu thức của và theo các thông số của phép biến đổi G, tức là: Trong đó các là các thông số của phép biến đổi G (a=1,2...n) Biểu thức(2.17) viết lại: (2.18) Ở đây ta viết vì hệ gồm các khác nhau Nếu ta buộc S không thay đổi, tức là =0 thì (2.18) ta suy ra: (2.19) Trong đó (2.20) (có thể lấy dấu ngược lại hoặc nhân thêm một thừa số tuỳ ý) Vậy ứng với mỗi một thông số ta có một dòng theo công thức (2.20) và dòng này bảo toàn do tác dụng bảo toàn. 4.5 Hệ quả định lí Noether Ta xét các dòng cụ thể rồi rút ra các đại lượng bảo toàn. 4.5.1 Phép biến đổi tịnh tiến. Theo (2.11) ta có: Thay vào (2.20) ta có: (2.21) Đại lượng này được gọi là Tenxo năng xung lượng. Từ đó ta có thể lập nên vecto năng xung lượng bằng cách lấy tích phân thành phần thêo toàn không gian: (2.22) Trong mục 1 ta đã biết rằng hàm tác dụng bất biến đối với phép biến đổi Poincare, trong đó phép biến đổi tịnh tiếnd là một trường hợp đặc biệt. Do đó các điều kiện của định lí Noether được thoả mãn và có thể kết luận rằng tenxo xung lượng là một đại lượng bảo toàn.: (2.23) Tiếp theo vecto năng xung lượng theo định nghĩa (2.22) không phụ thuộc vào thời gian vì: (2.24)