Đề tài Tìm hiểu toán dựng hình trong chương trình toán trung học cơ sở

TÌM HIỂU TOÁN DỰNG HÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ A.PHẦN MỞ ĐẦU I.CƠ SỞ LÝ LUẬN. Trong chương trình toán trung học cơ sở , toán dựng hình chỉ chiếm vị trí rất nhỏ nhằm hoàn thiện chương trình hình học . Song trong suốt quá trình giải toán hình học hầu như phải vận dụng các bài toán dựng hình để làm các bài tập chứng minh hình học khác ,nhất là các bài tập có vẽ thêm đường phuÏ và các bài toán ứng dụng thực tế khác. Phải thừa nhận rằng toán dựng hình là một phần rất khó trong chương trình hình học THCS nhưng nó có ý nghĩa và tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy toán học nói riêng như phân tích tổng hợp, khả năng quan sát , dự đoán, biết suy luận hợp lý và lôgic, phát triển trí tưởng tượng vàcác tư duy linh hoạt ,độc lập nói chung một phẩm chất rất cần thiết cho các hoạt động sáng tạo của con người. Học toán dựng hình còn giúp cho học sinh rèn luyện những đức tính cần cù , nhẫn nại , làm việc có tổ chức kỉ luật,hình thành cho các em những kĩ năng vẽ hình ,đo đạc,tính toán biết sử dụng các công cụ đo đạc , biết ước lượngcảm nhận được cái đẹp ,những ứng dụng hay , phong phú của toán hocï đối với đời sống của con người. II. CƠ SỞ THỰC TIỄN. Như đã nói ở trên toán dựng hình là một phần rất khó trong chương trình hình học trung học cơ sở, cái khó ở cả giáo viên và học sinh. Đối với giáo viên thì cái khó ở chỗ dẫn dắt , diễn giải cho các em hiểu một cách rõ ràng , nắm được một cách chắc chắn những gì mà thầy cô muốn truyền đạt . Đối với học sinh cái khó ở chỗ tiếp nhận các kiến thức và phương pháp , càng khó hơn trong việc vâïn dụng các kiến thức và phương pháp đó vào việc giải bài tập về toán dựng hình và các bài tập vạân dụng toán dựng hình. Hiện nay , trong chương trình hình học THCS thì các bài toán dựng hình được giới thiệu rải rác trong phần lý thuyết và phần bài tập ơ lớp 6 và lớp 7 . Lên lớp 8 , mới được giới thiệu một cách hoàn chỉnh và lên lớp 9 được vận dụng làm một số bài tập nhưng rất ít. Thường thì các bài tập dựng hình chỉ có trong sách bài tập, giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm thêm , những bài toán này đòi hỏi nhiều thời gian nên trên lớp chỉ có những giờ học chính về phần dựng hình thì giáo viên mới có thời gian đi sâu phân tích cho các em hiểu , còn trong những giờ học khác thì không thể giảng cặn kẽ những bài tập dựng hình được. Nên khi gặp những bài toán như thế thì các em không biết phải làm thế nào, , bắt đầu từ đâu? Một số em yêu thích bộ môn toán thì tự mình làm những bài toán đó va khiø gặp khó khăn phải hỏi riêng thầy cô ngoài giờ học. Mặt khác trong những kì thi học sinh giỏi các cấp thì toán dựng hình ít được đưa vào đềø thi nên khi ôn thi học sinh giỏi các giáo viên chỉ đi sơ qua đại khái phần này. Vấn đề nghiên cứu phương pháp dựng hình trên thực tế ứng dụng là rất có ích . Chẳng hạn trong các ngành xây dựng cơ giới , mỹ thuật, kiến trúclà những ngành có ứng dụng dựng hình , đều có quan hệ mật thiết với những bước tiến bộ của công cuộc xây dựng kinh tế và văn hoá. Theo đường lối giáo dục mới thì học và hành phải là một. Vậy học dựng hình cũng là góp phần xây dựng đất nước ngày một phồn vinh ,tiên tiến và hiện đại. III. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trên cơ sở lí luận và thực tiễn trên tôi thấy rằng phải dạy cho học sinh thông hiểu những bài toán dựng hình một cách sâu sắc để các em thấy được những ứng dụng của nó trong việc học bộ môn cũng như trong đời sống xã hội. Hiện nay tôi đã làm công tác giảng dạy được 9 nămvà qua hai đơn vị công tác. Địa bàn ở những trường này còn gặp rất nhiều khó khăn, học sinh chậm tiếp thu, thời gian tự học ở nhà hạn hẹp do phải làm thêm công việc để giúp đỡ gia đình, dân cư phân bố không tập trung mất nhiều thời gian đi lại. Phương tiện học tập còn hạn chế, cơ sở vật chất trong trường còn nhiều thiếu thốn nên công tác giảng dạy vì thế mà còn gặp nhiều khó khăn. Mặc dù vậy nhưng ban giám hiệu nhà trường cũng như các cấp lãnh đạo địa phương luôn luôn quan tâm động viên và một yếu tố không thể thiếu nữa đó là tinh thần học tập, sự hiếu học của các em. Có rất nhiều em giỏi toán và cả những em không giỏi toán nhưng yêu thích học toán nhất là hình học, như vậy nếu chúng ta không dạy các em hiểu rõ các bài toán dựng hình thì đó là một khiếm khuyết rất lớn trên con đường tự học của các em. Trong bài viết nhỏ này , tôi chỉ muốn giới thiêïu đầy đủ hơn nữa các bài toán dựng hình cho các em nắm được một cách chắc chắn hơn về toán dựng hình. Mong rằng có những ý kiến chia sẻ đóng góp kinh nghiệm để bài viết hoàn thiện hơn. B. NỘI DUNG I. THẾ NÀO LÀ BÀI TOÁN DỰNG HÌNH? Trong thực tế , chúng ta thường gặp rất nhiều hình vẽ như: ngôi sao năm cánh trên lá cờ quốc kỳ, các biểu tượng ,lôgô.;các bài toán trong xây dựng cơ bản như : chia đoạn thẳng cho trước thành những đoạn bằng nhau, dựng hình viên phân trong các bản vẽ kĩ thuật. Thế nhưng đã có bao giờ chúng ta thử nghĩ rằng làm thế nào để vẽ được những hình đấy một cách chính xác và hợp lí chưa. Vấn đề vừa nêu ở trên, dựa vào những điêù kiện đã biết dùng những phương pháp hình học hợp lí chính xác dựng một hình cần thiết đó là bài toán dựng hình trong hình học. Trong sách giáo khoa toán 8 tập một đã định nghĩa như sau: “Các bài toán dựng hình là các bài toán vẽ hình mà chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa”. Hay chính xác hơn là dựa vào việc thực hiện các phép dựng hình cơ bản mà thước và compa có thể tạo ra hình đó. II.PHÉP DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA. Ngay từ thế kỉ VI-V trước công nguyên , người ta đã nghiên cứu các bài toán dựng hình với quy định chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa. Trong chương trình toán trung học cơ sở khi nói đến dựng một hình mà không có chú thích gì thêm thì ta phải hiểu rằng cần tạo ra hình đó bằng cách sử dụng thước và compa. Trong toán chứng minh , việc chứng minh dựa trên các tiên đề và định lý. Trong toán dựng hình những hình cho trước được coi là dựng được, việc dựng hình dựa trên các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản. Các phép dựng hình cơ bản là: -Dựng đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt ( tiên đề về cái thước ) -Dựng đường tròn biết tâm và bán kính của nó ( tiên đề về cái compa ) -Giao điểm nếu có của hai đường là dựng được. Tại sao công cụ dùng trong dựng hình lại chỉ có hai dụng cụ là thước và compa mà thước dùng trong hình học phải là thước không được chia độ. Chúng ta có thể dùng thước chia độ để dựng một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã biết; dùng êke để vẽ một góc vuông hoặc là một đường thẳng góc có phải là tiện lợi hơn không ! Hình học tuy là một khoa học dùng lý luận suy diễn , nhưng cần kết hợp với thực tế làm cho lý luận và thực tiễn đi đôi với nhau .Các độ chia trên thước có chia độ, hoặc là góc vuông trên êke, chắc gì đáng tin tưởng cho nên về mặt lý luận không thể dùng để dựng hình. Đương nhiên đường tròn vẽ bằng compa có thể không thật tròn , đường thẳng vẽ bằng thước thẳng chắc gì đã thẳng. Nhưng thiếu một trong hai dụng cụ đó thì không thể dựng hình. Cho nên chúng ta sẽ hạn chế dùng hai dụng cụ đó để làm sao dựng được các hình với những kiến thức không cần thiết được giảm đến mức không thể giảm được nữa, và như thế xem như một biện pháp tương đối hoàn thiện. Tuy nhiên một số hình hình học , dùng compa và thước thẳng có thể không dựng được,trong bài viết này tôi không thể trình bày hết được . III.CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH CƠ BẢN Ngoài ba phương pháp cơ bản nhất “vẽ một đường thẳng qua hai điểm”, “vẽ một đường tròn có tâm và bán kính cho trước”, dựng giao điểm của hai đường”, còn có những phương pháp khác như: “qua một diểm cho trước dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước”, “dựng trung điểm của một đoạn thẳng”, v.vđều là những phương pháp cần sử dụng khi làm một bài toán dựng hình và đều gọi là phép dựng hình cơ bản. Các phép dựng hình cơ bản mà chúng ta cần phải luyện tập thành thạo rất nhiều , chúng ta có thể sắp xếp và phân ra làm bốn loại sau: *Về loại đường thẳng 1)Dựng một đoạn thẳng có độ dài cho trước trên một đường thẳng nhất định. 2)Trên một cạnh đã biết dựng một góc bằng một góc cho trước. 3)Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước. 5)Tìm trung điểm của một đoạn thẳng cho trước. 6)Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. 7)Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. 8)Chia một đoạn thẳng cho trước ra nhiều phần bằng nhau. 9)Dựng hình tam giác khi biết : ba cạnh (c.c.c);hai góc và cạnh kề hai góc đó(g.c.g); hai cạnh và góc nằm giữa hai cạnh đó(g.c.g); hai góc và cạnh đối của một trong hai góc đó (g.g.c) hoặc hai cạnh và góc đối của một trong hai cạnh(c.c.g). 10)Dựng một hình tam giác đều hoặc một hình vuông khi biết một cạnh của nó. 11)Dựng hình chữ nhật khi biết hai cạnh kề nhau. 12)Lấy một đường thẳng đã biết làm một cạnh, dựng một góc 600 hoặc 300 . * Về loại đường tròn. 13)Dựng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác đã cho. 14)Dựng đường tròn nội tiếp của một tam giác đã cho. 15)Lấy một đoạn thẳng đã cho làm bán kính dựng một đường tròn. 16)Chia đôi một cung cho trước. 17)Từ một điểm cho trước ở ngoài hoặc ở trên đường tròn , vẽ tiếp tuyến của đường tròn đó. 18)Lấy một đoạn thẳng cho trước làm dây cung ,dựng hình viên phân chứa góc cho trước. *Về loại tỉ lệ 19) Cho ba đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư. 20)Chia một đoạn thẳng cho trước làm hai phần sao chi tỉ số của chúng bằng tỉ số đã biết m:n. 21)Dựng đoạn thẳng trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước. * Về loại diện tích 22) Dựng một hình vuông sao cho diện tích của nó bằng tổng diện tích của hai hình vuông cho trước. 23)Dựng một hình vuông sao cho diện tích của nó bằng hiệu diện tích của hai hình vuông cho trước. Các phép dựng hình cơ bản trên đây, sau khi các em đã học theo sách giáo khoa, cần phải luyện tập cho thành thạo mới có thể giải các bài toán dựng hình.Khi đã có các phép dựng hình cơ bản như trên ,ta sẽ dễ dàng trình bày phương pháp dựng của một bài toán dựng hình .Sau đây ta sẽ đi sâu tìm hiểu các bài toán dựng hình cơ bản nhất mà trong chương trình THCS thường dùng. Bài toán 1. Dựng đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước Cho trước một đoạn thẳng a.Dựng một đoạn thẳng AB = a. Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau: -Dựng đường thẳng d bất kì .Trên d lấy một điểm A bất kì . -Lấy A làm tâm , dựng một cung tròn bán kính bằng a. -Lấy giao điểm B của đường thẳng d với cung tròn tâm A bán kính a. Đoạn thẳng AB là đoạn thẳng cần dựng. Bài toán 2.Dựng một góc bằng một góc cho trước . Cho một góc xOy.Hãùy dựng góc x’Oy’ bằng góc xOy. Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau: Lấy O làm tâm , dựng cung tròn bán kính tuỳ ý cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại A và B. Dựng một tia O’x’ bất kì . Lấy O’ làm tâm , dựng cung tròn bán kính bằng OA. Lấy giao điểm A’ của cung tròn này với tia O’x’. Dựng cung tròn tâm A’ ,bán kính bằng đoạn AB. Lấy giao điểm của cung (A’; AB) với cung (O’;OA). Nối O’,B’ ta được góc A’O’B’ cần dựng. Góc A’O’B’ là góc phải dựng, ta có: Thật vậy ,dễ thấy (trường hợp c-c-c) Suy ra Bài toán 3. Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng hay dựng trung điểm của một đoạn thẳng. Cho đoạn thẳng AB, Hãy dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau: - Dựng đường tròn tâm A, bán kính r - Dựng đường tròn tâm B bán kính r - Dựng giao điểm C,D của hai đường tròn (A;r) và (B;r) - Dựng đường thẳng đi qua hai điểm C,D. Dễ thấy do CA = CB , DA = DB nên hai điểm C,D đều nằm trên đường trung trực của AB hay đường thẳng CD là đường trung trực của AB. * Chú ý: 1) Do CD là đường trung trực của AB nên ta có giao điểm M của CD và AB chính là trung Điểm của AB và MA = MB. 2) Để hai đường tròn (A,r) và (B,r) cắt nhau thì ta cần lấy bán kính r thoả mãn r > AB/2. Bài toán 4.Dựng đường phân giác của một góc cho trước hay chia đôi một góc cho trước. Cho một góc xOy. Hãy dựng tia phân giác của góc ấy. Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau: - Lấy đỉnh O làm tâm, dựng đường tròn tâm O bán kính r. - Dựng các giao điểm A,B của đường tròn (O,r) với các cạnh OxÕ, Oy. - Lấy A làm tâm, dựng đường tròn bán kính r’ và lấy B làm tâm , dựng đường tròn bán kính r’. - Dựng giao điểm I của (A,r’) và (B, r’). - Dựng đưòng thẳng qua hai điểm O,I. Tia Oz chứa hai điểm O,I là tia phân giác của góc xOy. Thật vậy ,ta có : (trường hợp c-c-c) Suy ra * Chú ý : -Để có điểm I, ta phải lấy r’ > AB/2. - Trong thực tế , để tránh việc thay đổi khẩu độ của compa , người ta lấy luôn r’ = r = OA . Bài toán 5. Dựng đường thẳng vouung góc với một đường thẳng cho trước và đi qua một điểm cho trước . Cho điểm P và đường thẳng xy. Dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với đường thẳng xy. Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau: - Dựng đường tròn (O,r). - Dựng giao điểm A,B của (O,r) và xy. - Dựng các đường tròn (A,r) và (B,r). - Dựng giao điểm I của (A,r) và (B,R). - Dựng đường thẳng đi qua O và I . OI chính là đường thẳng d cần dựng. Thật vậy , vì OA = OB ; IA = IB , nên O và I đều nằm trên đường trung trực của đoạn AB . Suy ra OI AB hay d xy . * Chú ý: Trường hợp điểm O ở ngoài đường thẳng xy hoặc ở trên đường thẳng xy đều dựng như nhau. Cách dựng này có cơ sở là phép dựng đường trung trực của một đoạn thẳng. Trong thực tế ta không cần dựng cả đường tròn (A;r), (B;r) mà chỉ cần dựng một cung của các đường tròn đó. Để có các giao điểm A, B thì bán kính r phải thoả : r’ > OH , tức là r phải lớn hơn khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng xy. Khi dựng các đường tròn ( hay một cung tròn ) (A,r’) , (B ,r’) thì để tránh thay đổi khẩu độ của compa ta lấy bán kính r’ = r , nhưng cần phải lấy r sao cho hai cung tròn cắt nhau để có điểm I. Trên đây là 5 bài toán cơ bản của dựng hình .Trong khi giải toán dựng hình nếu gặp các phép dựng này thì ta không cần lặp lại cách trình bày chi tiết trên đây nhưng vẫn cần nắm vững cách thực hiện để có thể tiến hành các phép dựng chính xác , đảm bảo cho việc giải bài toán dựng hình được phân tích trên những cơ sở đúng , không bị trực quan đánh lừa và hình vẽ cuối cùng thể hiện được các giả thiết và các yêu cầu của bài toán. Sau đây ta sẽ xét thêm một số bài toán dựng hình quen thuộc và cũng là những bài toán thường được coi như là cơ sở cho việc giải các bài toán dựng hình phức tạp khác. Bài toán 6. Dựng một tam giác biết ba cạnh. Dựng tam giác ABC biết ba cạnh a, b , c của nó. * Cách dựng: - Trên một đường thẳng bất kì dựng một đoạn thẳng BC bằng đoạn thẳng a. - Dựng các cung tròn tâm C, bán kính b và tâm B , bán kính c. - Dựng giao điểm A của hai cung tròn . * Chú ý : Điều kiện để tam giác tồn tại , tức là điều kiện để có thể dựng được tam giác là: . Bài toán 7. Dựng tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa. Dựng tam giác ABC biết hai cạnh b, c và góc A xen giữa. * Cách dựng : Dựng góc xAy = . Trên cạnh Ax dựng đoạn thẳng AC = b. Trên cạnh Ay dựng đoạn thẳng AB = c. Bài toán 8. Dựng tam giác biết một cạnh và hai góc kề cạnh ấy. Dựng tam giác ABC biết cạnh a và hai góc B,C kề cạnh ấy. * Cách dựng -Trên đường thẳng bất kì dựng đoạn BC = a. - Lấy BC làm một cạnh chung , dựng hai góc . - Dựng giao điểm A của Bx và Cy. * Chú ý: Để có thể dựng được tam giác thì . Thường thì khi một hình dựng được người ta gọi nó là một hình xác định. Một tam giác hoàn toàn được xác định khi cho biết ba yếu tố của nó, trong đó yếu tố góc không được quá hai. Bài toán 9.Dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước. Cho đường thẳng xy và một điểm A không thuộc xy. Qua A dựng đường thẳng song song với xy. * Cách dựng - Dựng đường thẳng bất kì qua A và dựng giao Điểm B của đường thẳng này với đường thẳng xy. - Dựng qua A một đường thẳng Az hợp với AB một góc bằng góc Abx. Az là đường thẳng qua A và song song với xy. Bài toán 10. Dựng tiếp tuyến với đường tròn từ một điểm ngoài đường tròn. Cho đường tròn tâm O và một điểm P ở ngoài đường tròn . Dựng các tiếp tuyến với đường tròn xuất phát từ điểm P. * Cách dựng: - Dựng trung điểm M của đoạn thẳng OP. - Dựng đường tròn ( M ; OM ). - Dựng hai giao điểm T , T’ của đường tròn ( O ) và đường tròn ( M ; OM ). - Dựng các đường thẳng PT, PT’. * Chú ý: Trường hợp điểm P nằm trên đường tròn (O) ta dựng như sau: - Dựng bán kính OP. - Dựng đường thẳng đi qua P và vuông góc với OP. Bài toán 11.Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’;r) với R > r . Dựng các tiếp tuyến chung của hai đường tròn. * Cách dựng : Tiếp tuyến chung ngoài. - Dựng đường tròn tâm O, bán kính R-r. - Dựng các tiếp tuyến O’T, O’T’ xuất phát từ O’ đến đường tròn (O;R-r ). - Dựng giao điểm A của đường thẳng OT với đường tròn ( O ; R ). - Dựng qua O’ đường thẳng song song với OA; dựng giao điểm B’ của đường này với đường tròn ( O’; r ). Đường thẳng AB là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn.Tương tự , ta dựng tiếp tuyến ngoài thứ hai A’B’. Tiếp tuyến chung trong . - Dựng đường tròn tâm O , bán kính R + r. - Dựng các tiếp tuyến O’T ,O’T’ từ điểm O’ đến đường tròn (O , R + r ) . - Dưnïg giao điểm A của OT và ( O; R ). - Dựng đường thẳng qua O’ và song song với OA và dựng giao điểm B của đường thẳng này với ( O’; r ). - Đường thẳng AB là tiếp tuyến chung trong. * Chú ý: 1) Trường hợp dựng tiếp tuyến chung ngoài thì bài toán có hai lời giải khi R+ r OO’ tức là hai đường tròn ngoài nhau hoặc tiếp xúc ngoài với nhau. 2) Trường hợp dựng tiếp tuyến chung trong thì bài toán có: + Một lời giải khi R + r = OO’(hai đường tròn tiếp xúc). + Hai lời giải khi R – r = OO’ hoặc T + r > OO’( hai đường tròn ngoài nhau) Trường hợp hai đường tròn đựng nhau ( R – r > OO’ ) thì không có tiếp tuyến chung (cả trong lẫn ngoài ). Bài toán 12. Dựng cung chứa góc . Cho đoạn thẳng AB và một góc . Dựng cung tròn mà mọi góc AMB nội tiếp trong cung đó đều bằng , hay dựng quỹ tích những điểm nhìn hai đầu mút của hai đoạn thẳng AB dưói một góc . *Cách dựng : - Dựng tia Ax tạo với AB một góc bằng góc . - Dựng đường thẳng Ay đi qua A và vuông góc với Ax. - Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB. - Dựng giao điểm của d với Ay, ta được điểm O. - Dựng đường tròn ( O; OA ). Cung AmB ( phần đường tròn nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB và không chứa tia Ax) là cung cần dựng. IV. CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN DỰNG HÌNH . Giải một bài toán dựng hình thông thường phải theo các bước sau: Giả thiết : Ghi cẩn thận các điều kiện đã cho của bài toán. Kết luận :Nêu lên hình cần dựng phải thảo mãn các điều kiện đã cho. Phân tích : Trong bước phân tích này ta giả sử hình đó đã dựng được thoả mãn theo yêu cầu của bài toán .Trên cơ sở đó , ta thành lập các mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết và chưa biết của hình nhằm tìm ra cách thực hiện các phép dựng hình cơ bản để dựng hình cần dựng. Cách dựng :Dựa vào kết quả của bước phân tích ta trình bày trình tự thực hiện các phép dựng cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản để dụng hình cần dựng , đồng thời thực hiện các phép dụng đó trên hình vẽ.Chú ý không trình bày lộn xộn các phép dựng. Chứng minh : Chứng minh hình dựng được bằng phương pháp đã trình bày là hoàn toàn phù hợp với các điều kiện đã cho của bài toán. Biện luận : Phân tích mối quan hệ giũa các điều kiện đã cho và hình đã dựng được nói rõ trong trường hợp nào thì bài toán có một lời giải , trường hợp nào thì bài toán không có lời giải, trường hợp nào nhiều lời giải.Nói cách khác bước biện luận là bước kiểm tra từng phép dựng xem nó có thể thực hiện được trong những điều kiện nào và khi thực hiện được thì có mầy cách để thực hiện . Mỗi cách thực hiện thường cho ta một hình thoả mãn yêu cầu của bài mà ta thường gọi là một nghiệm hình. Thông thường , người ta qui ước về việc định số nghiệm hình như sau : Nếu bài toán chỉ đòi hỏi điều kiện về kích thước của hình thì những hình bằng nhau trong lời giải được tình là một nghiệm hình . Nếu bài toán có yêu cầu về vị trí của hình cần dựng thì những hình bằng nhau về kích thước nhưng có vị trí khác nhau được coi là những nghiệm hình khác nhau. Như vậy , để giải bài toán dựng hình phải có đầy đủ 6 bước , hai bước đầu tiên thì bất kì một bài toán hình học nào cũng phải có, bốn bước còn lại thì theo chương trình quy định không yêu cầu HS viết các phần phân tích và biện luận trong bài làm , tuy nhiên bước phân tích cần làm ra nháp đêû đảm bảo không dựng thiếu hình . Ví dụ: Dựng một tam giác biết độ dài đường cao ,ø trung tuyến hạ xuống một cạnh và độ dài cạnh kia của tam giác. Giả thiết : Độ dàiđường trung tuyến trên một cạnh là ma, độ dài đường cao thuộc cạnh ấy là ha, độ dài cạnh kia là b. Kết luận: Dựng hình tam giác . Giải . * Phân tích : 1. Giả sử là hình tam giác cần dựng. 2. Những điều đã biết về độ lớn có A’C’ = b , A’D’ = ha , A’D’B’ = A’D’C = 900 , A’E’ = ma . Quan hệ đã biết có B’E’ = E’C’. 3.Quan sát hình này ta thấy và đều có hai cạnh và một góc đã biết cho nên có thể dựa vào phương pháp dựng hình cơ bản để dựng . Vì vậy trước tiên cần dựng một trong hai hình tam giác này và sau đó tiếp tục dựng các phần khác. * Cách dựng: 1.Trước hết dựng tam giác ACD sao cho góc D = 900, AD = ha , AC = b. 2. Lấy A làm tâm , ma làm bán kính vẽ một cung cắt CD hoặc là đường kéo dài của nó tại E, nối AE. 3. Trên CD hoặc là trên đường kéo dài của nó lấy B sao cho EB = EC , nối AB. Tam giác ABC chính là tam giác cần dựng. * Chứng minh: - Theo cách dựng 1 ta có: góc ADC = 90 0 , ù AD = ha nên AD là đường cao và AC = b. - Theo cách dựng 2 và 3 ta có : EB = EC , AE = ma nên AE là trung tuyến . Tam giác ABC cần dựng thoả mãn đầy đủ các yêu cầu của bài toán. * Biện luận: Nếu b ha, đồng thời ma = ha thì hình dựng được sẽ là một tam giác cân.Ngoài ra , b =