Đề tài Tính giá trị biểu thức hưu tỉ bằng cách xét nghiệm đa thức

tính giá trị biểu thức hưu tỉ Bằng cách xét nghiệm đa thức Đặt vấn đề Khi giải một bài toán gồm các phân thức hữu tỉ nếu khai triển các phép tính trên các phân thức đại số thừơng gặp những biến đổi phức tạp song nếu ta biểu thị nó dưới đậng thức thì công việc đó trở nên dễ dàng . Cơ sở của cách làm này là dựa vào các mệnh đề dưới đây . Mệnh đề 1. Nếu da thức f(x) = Ax+B triệt tiêu tại hai giá trị khác nhau của x thì A=B=0 hay f(x ) đồng nhất bằng 0 . CM: Giả sử với x=a,x=b (ab) mà f(a)=f(b) hay Aầ+B=0 vààAb+B=0A(a-b)=0 (ab) A=0 B=0 Mệnh đề 2. Nếu dathức f(x)=Ax+Bx+C triệt tiêu tại 3 giá trị khác nhau của x thì A=B=C=0 hay f(x)đồng nhất bằng 0 . CM: Giả sử với x=a,x=b,x=c với đôi một khác nhau mà f(a)=f(b) =f(c) hay Aa+Ba+C=0, Ab+Bb+C=0, Ac+Bc+C=0 từ các đẳng thức trên suy ra : A(a- b)+B(a-b)=0 vì a-b0 A(a- c)+B(a-c)=0 vì a-c0 Nên A(a+b)+B=0,A(a+c)+B=0 suy ra A(a-c)=0 vì (b-c) 0 nên A=0 từ đó suy ra B=0,C=0. Một số ví dụ : tính tổng sau: Nguyễn Văn Huy-Nghĩa Đức ví dụ 1: ++. Giải Nhận xét :Tổng trên xác định khi a,b,c đôi một khác nhau . Nếu thay d=x đặt tổng trên bằng f(x) thì f(x) là một đa thức bậc không quá hai đối với x . Ta nhận thấy f(a)=f(b) =f(c)=1 như vậy f(x)-1 là một đa thức bậc không quá hai nhận 3 số khác nhau a,b,c làm nghiệm. Vậy f(x)-10,f(x)0f(d)=1 ví dụ 2: CMR: (với a,b,c đôi một khác nhau ) ++=-x Giải Xét đa thức f(x)= ++-x. Ta thấy f(x) là một đa thức bậc không quá 2 nhận ba số khác nhau a,b,c làm nghiện vậy f(x) 0 Vậy bài toán được chứng minh . ví dụ 2: Đơn giản biểu thức : P = +++ Giải Sau khi quyđồng mẫu số ta được tử số là : f(a)= (a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c)+(a-b)(b-c)(c-a). Nguyễn Văn Huy-Nghĩa Đức f(a) là một đa thức bậc không quá 2 đối với a có 3 nghiệm a=b, a=c , a=0 nếu b.c khác nhau và khác không thì nghiệm này đôi một khác nhau nên f(a)=0 hoặc b=c thì ta đều có f(a) =0 suy ra p=0. Tổng quát . Ta có mệnh đề : Nếu đa thức bậc không quá n triệt tiêu tại n+1 giá trị khác nhau của x thì tất cả các hệ số của nó bằng không . Nguyễn Văn Huy-Nghĩa Đức