Đề tài Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài tập

PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Cùng với sự phát triển của đất nước,sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới.Các nhà trường đã ngày càng chú trọng hơn tới chất lượng giáo dục toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn.Với vai trò là môn học công cụ,bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác. Dạy như thế nào để học sinh không những nắm vững kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú,say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình. Các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau là một dạng toán cơ bản trong chương trình môn Toán lớp 7. Các em thường gặp dạng toán này trong các bài kiểm tra khảo sát chất lượng, các kỳ thi học sinh giỏi. Trong thực tế khi giải loại toán này không những học sinh đại trà mà nhiều em học sinh khá, giỏi cũng vấp phải những sai sót. Bài viết “Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài tập” với mục đích giúp học sinh khắc phục các sai lầm thường gặp,biết phát triển, mở rộng bài toán đề xuất các bài toán tương tự, từ đó phát triển tư duy lô gic, tư duy sáng tạo và tính chính xác trong giải toán. II. ĐỐI TƯỢNG – PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ ÁP DỤNG. - Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng học sinh khối 7 bậc học THCS. -Phương pháp nghiên cứu : +Điều tra, thực nghiệm,khảo sát kết quả học tập của học sinh + Thực nghiệm giảng dạy cho các em học sinh cùng với nhóm chuyên môn thực hiện. +Điều tra ,đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề. +Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp -Nhiệm vụ của sang kiến : +Đưa ra những kiến thức cơ bản về việc giải bài toán bằng dãy tỉ số bằng nhau trong phạm vi lớp 7. +Lựa chọn phương pháp giải hợp lí.Muốn vậy,phải rèn cho học sinh khả năng phân tích,xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ.Mặt khác,cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy được tư duy linh hoạt,nhạy bén khi tìm lời giải bài toán,tạo được lòng say mê,sang tạo,ngày càng tự tin,không còn tâm lí ngại ngùng đối với bài toán dãy tỉ số bằng nhau. PHẦN B: NỘI DUNG I. Một số lý thuyết cơ bản học sinh cần nắm được: 1. Tính chất tỉ lệ thức: 1.1 (=) ad = bc (b; d 0) 1.2 Từ tỉ lệ thức ta suy ra 3 tỉ lệ thức sau: ; (với a; b; c; d khác o) 2. Tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Từ ta suy ra. (b + d 0) (2 . 1) (b – d 0) (2 . 2) Mở rộng từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). II.Một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải bài toán dãy tỉ số bằng nhau: Ví dụ: Bài 1: Tìm các số x; y biết: a, b, Bài 2: So sánh các số a, b, c biết Bài giải sai: Bài 1: (Lỗi sai phần lớn là do trình bày) => x = 2.2 = 4 ; y = 3.2 = 6 b. Lỗi sai là do các em nhầm tính chất như sau: c. x = 2.9 = 18 ; y = 5.9 = 45 Bài 2: Phần lớn các em cho lời giải. => Trong khi chưa khẳng định được a + b + c 0 III. Một số dạng bài tập ứng dụng cơ bản: Bài toán 1: Tìm các số x ; y biết và x + y = 10 Chú ý đến giả thiết x + y = 10 ta áp dụng tính chất nào ở trên? (tính chất 2.1). GV cho HS tình bày lời giải. - Nếu học sinh trình bày sai như đã nêu thì giáo viên gợi mở. Lời giải trên đúng hay sai? Vì sao? GV khắc sâu cho học sinh tính chính xác giữa “=>” và dấu “=”. (Với cách trình bày sai ở trên của học sinh không có cơ sở nào để tính x; y) - Nếu học sinh được gọi lên bảng trình bày đúng giáo viên cần đưa ra tình huống trên để nhắc nhở các em có thể sai nhưng chưa được gọi trả lời. Để khắc sâu và phát huy tính sáng tạo của học sinh giáo viên có thể đưa ra các bài tập tương tự. Tìm x ; y ; z biết. 1. và 5x + y – 2z = 28 2. 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32 3. và x + y + z = 49 4. và 2x + 3y – z = 50 GV: ở bài 1, làm thế nào để áp dụng tương tự bài toán 1. (Từ giả thiết: => x = 10.2 = 20 ; y = 6.2 = 12 ; z = 21.2 = 42). Giáo viên: ở bài 2, làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau áp dụng tính chất 1.1. Từ Từ GV: Ở bài 3, cần biết đổi giả thiết như thế nào để áp dựng tương tự bài trên. Cách 1: Cách 2: GV: Bài 4, làm tương tự bài nào trong 3 bài trên. (Tương tự bài 1) = => * Bài toán 2: Tìm x, y biết (1) và x.y = 90. GV: Từ làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số trong đó có thành phần là (xy)? từ đó giúp học sinh định hướng cách giải. Cách 1: Về xy = 90 => x 0. Nhân 2 vế của (1) với x ta có: + Nếu x = 6 => + Nếu x = -6 => Cách 2: => + Nếu x = 6 => y = 15 + Nếu x = -6 => y = -15 Cách 3: Đặt => 90 = xy = (2k) . (5k) = 10k2 => k2 = 90 : 10 = 9 => k = 3. + Nếu k = 3 => x = 2k = 6 => y = 5k = 15 + Nếu k = -3 => x = 2k = -6 => y = 5k = -15 . Để rèn luyện tư duy sáng tạo và khắc sâu cho học sinh giáo viên có thể ra thêm các bài tập tương tự. Bài 1: Tìm x; y biết 2x = 3y và xy = 24 Bài 2: Tìm x; y; z biết a. và xyz = 810 b. 5x = 2z; 5y = 3z và xyz = 810 c. và xyz = 810 Giáo viên lưu ý cho học sinh ở bài toán 2 nếu kết luận x = 6 ; y = 15 là sai. Ngoài 3 cách làm trên giáo viên có thể gợi mở cho học sinh giải bằng cách. Giáo viên hỏi: Từ ta có thể biểu diễn y qua x như thế nào? Thay xy = 90 ta có điều gì? Từ đó học sinh phát hiện cách 4. Cách 4: Từ => 90 = xy = x. => x2 = + Nếu x = 6 => y = 15 + Nếu x = -6 => y = -15 Bài toán 3: So sánh các số a, b, c biết Giáo viên yêu cầu một học sinh trình bày. - Nếu học sinh trình bày sai như đã nêu ở phần trên thì giáo viên gợi mở để học sinh giải quyết vướng mắc. Giáo viên hỏi: Nếu áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì cần điều kiện gì? Việc chứng minh a + b + c 0 là khó khăn. Vậy có hướng giải nào không vướng vào điều kiện này không? Cách 1: Đặt => a = k.b ; b = c.k ; c = a.k => a.b.c = (bk) . (c.k). (a.k) = abc . k3 => k3 = 1 (do a.b.c 0) => k = 1; => a = b ; b = c ; c = a => a = b = c. Cách 2: Đặt => a=bk; b = ck; c = ak. => a=bk = (c.k).k = [(ak).(k)].k = ak3 => k3 = 1 (vì a 0) => k = 1 => a = b = c. Cách 3: => k3 = (vì a.b.c 0) => k = 1 => a = b = c. GV. Mở rộng bài toán trên cho n số ta có bài toán nào? Cho Chứng minh rằng: a1 = a2 = ...=an. GV: Vận dụng bài toán mở rộng trên để giải các bài toán sau: Bài 1: Cho và a = 2008. Tính b; c? Bài 2: Cho Tính A = Bài 3: Cho b2 = ac ; c2 = ab. Chứng minh rằng (30a + 4b + 1975c)2008 = 20092008a2007. Bài 4: Cho Tính giá trị biểu thức M = * Bài toán 4: Cho a, b, c thỏa mãn Chứng minh rằng: 4(a – b) (b – c) = (c – a)2 (*) GV: Có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau như thế nào để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau trong đó có các thành phần là a – b; b – c; c – a? Cách 1: Từ giả thiết áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: => => 4 (a-b) (b-c) = (c-a)2 Cách 2: Đặt => a = 2008k ; b = 2009k ; c = 2010k Ta có: 4(a – b) ( b- c) = 4 (2008k – 2009k) (2009k – 2010k) = 4.(-k). (-k) => 4 ( a – b) (b – c) = 4k2 (1) (c – a)2 = (2010k – 2008k)2 = (2k)2 = 4k2 (2) Từ (1) và (2) => 4( a – b) (b – c) = (c - a)2. GV: Ta thấy 4 (a – b) (b – c) = (2a – 2b) (2b – 2c) Để chứng minh (*) ta có thể biểu diễn 2b qua a + c như thế nào? Cách 3: Từ giả thiết => 4 (a-b) (b-c) = (2a – 2b) (2b – 2c) = (2a – a – c) (a + c – 2c) = (a-c) (a –c) = (a – c)2 *Bài toán 5: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức Ta có thể suy sa tỉ lệ thức Tương tự bài toán 4 ta có các hướng giải nào? Cách 1: Từ => (vì c; d 0) áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: (vì c + d 0; c – d 0) Từ áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta suy ra Cách 2: Đặt Ta có: (k 1 vì a b) (**) Từ (*) và (**) => Cách 3: Từ => bc – ad = ad - bc => ac – bd + bc – ad = ac – bd + ad – bc => (ac + bc) – (bd + ad) = (ac – bc) – (bd – ad) => c (a + b) – d (a+b) = c (a-b) + d (a-b) => (a+b) (c-d) = (a-b) (c + d) => Để khắc sâu kiến thức cho học sinh giáo viên có thể ra các bài tập tương tự. Bài 1: Chứng minh rằng nếu a2 = bc (với a b và a c; a,b,c 0) Thì (*) Giáo viên cần yêu cầu học sinh tìm ra các hướng giải bài toán. Cách 1: Đặt Ta có: Cách 2: Từ a2 = bc => 2a2 = 2bc => a2 + a2 = bc + bc => a2 – bc = bc – a2 => ac – ab + a2 – bc = ac – ab + bc – a2 => (ac – cb) + (a2 – ab) = (ac – a2) + (bc – ab) => c (a-b) + a(a-b) = a (c-a) +b (c-a) => (a-b) (c+a) = (a+b) (c-a) => Bài 2: Cho chứng minh rằng: a. (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) b. GV từ để đi đến kết luận ta suy nghĩ tìm cách làm xuất hiện các biểu thức 2a 3b; 2c 3d Muốn vậy ta phải làm thế nào? (Cần đưa a và b lên trên còn c và d xuống dưới các tỉ số) => cách giải. Từ ta có: Do đó b. Giáo viên tương tự như câu a, nhưng là để xuất hiện a2; ab; b2 ở trên các tỉ số. Từ ta có suy ra Từ đó ta có: Giáo viên dựa vào các cách giải các bài toán trên có thể đề xuất bài toán tổng quát như thế nào? Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng: a. b. c. d. (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) IV:Kết quả Treân ñaây laø kinh nghieäm maø toâi ñaõ thöïc hieän vaø ñaõ ruùt ra ñöôïc trong thöïc teá giaûng daïy. Cuï theå: trong năm học 2012-2013 , phöông phaùp naøy ñaõ thöïc hieän treân 30 em của lớp 7A2 và lớp 7A4 ,tôi thống kê được kết quả như sau: Lớp Số học sinh được khảo sát Số em thực hiện được bài toán SL % 7A2 15 12 80 7A4 15 11 73 Năm học 2013-2014 chúng tôi vẫn tiếp tục áp dụng vấn đề trên vào giảng dạy cho học sinh hai lớp 7A2 và lớp 7A4 . Kết quả : (học kì I) Lớp Số học sinh được khảo sát Số em thực hiện được bài toán SL % 7A2 15 13 87 7A4 15 12 80 Mặc dù trong những năm trước đây khi chưa áp dụng phương pháp trên vào giảng dạy,tôi thấy phần lớn các em thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài toán dãy tỉ số bằng nhau .Tuy nhiên các kết quả trên đây chưa thể đánh giá hết thực chất việc học, việc giải toán dãy tỉ số bằng nhau của học sinh mà chỉ phần nào thể hiện được tác dụng của đề tài. PHẦN C: KẾT LUẬN Treân ñaây laø kinh nghieäm maø tôi ñaõ thöïc hieän vaø ñaõ ruùt ra ñöôïc trong thöïc teá giaûng daïy. Toâi mong raèng kinh nghieäm naøy goùp một phaàn nhỏ vaøo vieäc giải toán bằng dãy tỉ số bằng nhau ñöôïc nhanh choùng . Raát mong ñöôïc söï goùp yù cuûa các em học sinh,quí thaày coâ vaø ñoàng nghieäp. Bình Long, ngày20 tháng 12 năm 2013 Người thực hiện đề tài: Nguyễn Văn Đặng  Nhaän xeùt, ñaùnh giaù cuûa toå chuyeân moân ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Nhaän xeùt, ñaùnh giaù cuûa HOÄI ÑOÀNG KHOA HOÏC TRÖÔØNG ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Nhaän xeùt, ñaùnh giaù cuûa HOÄI ÑOÀNG KHOA HOÏC PHOØNG GIAÙO DUÏC ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................