Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Con Cuông (Có đáp án)
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Con Cuông (Có đáp án), để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PHÒNG GD&ĐT CON CUÔNG KÌ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS
Đề chính thức NĂM HỌC: 2018 – 2019
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
x 1 2 x 2 5 x
Câu 1(5 điểm): Cho biểu thức A = với x ≥ 0 và x ≠ 4
x 2 x 2 4 x
a) Rút gọn A.
4
b) Tính giá trị của A khi x = .
9
c) Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2 (4điểm):
1. Giải các phương trình sau:
a) 4x2 4 x 1 2 x 1
b) x 3 4 x 2 x 6 5 x
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3 + 3n2 + 2018n chia hết cho 6
Câu 3 (2,5 điểm): Cho đường thẳng (d) có phương trình:
(m+1)x + (m-2)y = 3 (d) (m là tham số)
a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2)
9
b) Tìm m để (d) cắt 2 trục tọa độ và tạo thành tam giác có diện tích bằng .
2
Câu 4 (7,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt
phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn ( M
khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB tại H.
a) Tính MH biết AH = 3cm, HB = 5cm.
b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi I là
giao điểm của AD và BC. Chứng minh M,I,H thẳng hàng.
c) Vẽ đường tròn tâm (O’) nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc AB ở K.
Chứng minh diện tích S AMB = AK.KB
Câu 5 (1,5 điểm) Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn (x+1)(y+1) = 4xy.
1 1
Chứng minh rằng: 1
3x2 1 3 y 2 1
HẾT
Đề có 01 trang
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
1
PHÒNG GD&ĐT CON CUÔNG HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS
NĂM HỌC: 2018 – 2019
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu Hướng dẫn giải, đáp án Điểm
1 a)
(5 điểm) x 1 2 x 2 5 x
A =
x 2 x 2 4 x
(x 1)( x 2) 2 x ( x 2) (2 5 x )
0,5
(x 2)( x 2)
x 3 x 2 2 x 4 x 2 5 x
0,5
(x 2)( x 2)
3x ( x 2) 3 x 1,0
(x 2)( x 2) x 2
4
b) Với x ≥ 0 và x ≠ 4 , tại x = ( t/m đk ) 0,25
9
4 2
3 3.
A 9 3 0,75
4 2
2 2
9 3
2 1 3
2 4 0,5
2 4
3 3
c)Với x ≥ 0 và x ≠ 4 0,25
3 x
A nguyên có giá trị nguyên.
x 2
3x 6 6
Mặt khác 3 3 (vì > 0 ) 0,25
x 2 x 2 x 2
Suy ra 0 ≤ A < 3
0,25
Vì A nguyên nên A = 0 ; 1 ; 2
A = 0 giải ra ta được x = 0 ( T/m đk )
A= 1 giải ra ta được x = 1 ( T/m đk )
A = 2 giải ra ta được x = 16 ( T/m đk )
Vậy A nguyên thì x ∈{ 0 ;1 ;16}
0,75
2
Câu 2 4x2 4 x 1 2 x 1
(4,0 điểm)
2x 1 2 x 1 0,5
1
x
2
0,5
2x 1 2 x 1
1) a)
2x 1 2 x 1
1
x
2
0x 2( kt / m ) 0,5
x 0
b)Đk 0≤ x ≤ 5 0,25
x 3 4 x 2 x 6 5 x
x 3 5 x 2( x 1)2 4 (1) 0,25
Vế trái của (1) bé hơn bằng 4 ; vế phải lớn hơn hoặc bằng 4
x 3 5 x
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x 1 0,25
x 1 0
(t/mđk)
Vậy pt có nghiệm duy nhất là x = 1 0,25
2. n3 + 3n2 + 2018 n = n.(n+1)(n+2) + 2016n 0,5
vì n.(n+1)(n+2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên vừa
chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3 nên n.(n+1)(n+2) 0,5
chia hết cho 6 .
2016n luôn chia hết cho 6 0,25
Vậy n3 + 3n2 + 2018 n luôn chia hết cho 6 với mọi n € Z 0,25
Câu 3 a) Đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2) nên ta có
(2,5 điểm) x = - 1; y = -2 thay vào 0,5
và giải ra ta được m = 0 0,5
Để d cắt 2 trục tọa độ thì m ≠ -1 ; 2 0,25
c) Giả sử (d) cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A và B. ta tính
3 3
được tọa độ A ( ;0) B ( 0; ) 0,25
m 1 m 2
Ta có tam giác OAB vuông tại O nên
0,25
3
1 1 3 3 0,25
S OAOB.
OAB 2 2m 1 m 2
9 1 3 3 9
S
OAB 2 2m 1 m 2 2
1 13
m
2
Giải ra ta có (t/mđk)
1 5
m 0,5
2
1 13
m
Vậy 2 thì
1 5
m
2
x y
D
M
C
I
A H K O B
a) Tam giác AMC vuông tại M 0,5
có MH là đường cao 0,5
MH = AH. BH ( hệ thức lượng .. )
= 3.5 15 (cm) 0,5
0,5
AC AI CM
a) Vì AC song song với BD nên ta có ( Vì 0,5
BD ID MD
AC=CM; BD =MD) 0,5
Suy ra MI// AC. Mà MH//AC ( vì cùng vuông góc AB) 1,0
Suy ra M, I, H thẳng hàng 0,5
c)Đặt AB = a; AM = c; BM = b
Ta có
4
a c b a b c
AK ; BK 0,5
2 2
acbabc 1 ( acbabc ).( ) 0,5
AK... BK
2 2 2 2
1 a2 ( b c ) 2 1 a 2 ( b 2 c 2 ) 2 bc 0,5
2 2 2 2
0,5
1 2bc 1
. bc
2 2 2
1
AM. BM S
2 AMB
0,5
Vậy S = AK.KB
AMB
5 Từ (x+1)(y+1) = 4xy
x 1 y 1
(1,5 . 4
điểm) x y
1 1
(1 )(1 ) 4
x y 0,5
1
Đặt a = ; b = 1
x y
Ta có (1+a)(1+b) = 4
3 a b ab
0,5
(a b )2 2 ab ab 2 ab ab
Từ đó ab 1
Áp dụng AM – GM cho 2 số thực dương ta có
1
1 x a
3x2 1 1 a b ab a 2
3 2
x
a1 a a
()
(a b )( a 1) 2a b a 1
Tương tự ta có
1 1 a b
()
3y2 1 2a b b 1 0,5
Cộng vế theo vế ta được
5
1 1 1 a b a b
()
3x2 1 3 y 2 1 2a b a b a 1 b 1
1 2ab a b 1 ab 3 1 1 3
(1 ) (1 ) (1 )
2 (a 1)( b 1) 2 2 2 4
1
a a
a b b 1
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b 1
b b
a b b 1
x = y = 1
6
File đính kèm:
de_thi_chon_hoc_sinh_gioi_cap_huyen_mon_toan_lop_9_thcs_nam.pdf