Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh An Giang Năm học 2011 – 2012 môn Toán Lớp 9

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH AN GIANG Năm học 2011 – 2012 Môn : TOÁN Lớp : 9 Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3,0điểm) Rút gọn . Bài 2: (3,0điểm) Chứng minh rằng nếu hai phương trình có nghiệm thì phương trình có nghiệm. Bài 3: (4,0điểm) Cho hệ phương trình a) V i m nào thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất. b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm x và y nguyên và x+y bé nhất. Bài 4: (4,0điểm) a) Chứng minh rằng v i mọi s thực a,b thì Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào? b) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử Bài 5:(6,0điểm) Gọi A’; B’; C’ lần lượt là trung điểm của các cung không chứa các điểm A; B; C của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. BC cắt A’C’ và A’B’ tại M và N ; CA cắt A’B’ và B’C’ tại P và Q; AB cắt B’C’ và A’C’ tại R và S. a) Chứng tỏ rằng AA’; BB’; CC’ đồng quy tại I. b) Chứng minh rằng IQAR là hình thoi. c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để MN=PQ=RS . -----Hết ----- ĐỀ CHÍNH THỨC SBD : ………… PHÒNG :…… ………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 9 AN GIANG Năm học 2011 – 2012 MÔN TOÁN A.ĐÁP ÁN Bài 1 .  Ta có . .  Mặt khác . . Suy ra  Vậy 3,0điểm Bài 2 Chứng minh rằng nếu hai phương trình vô nghiệm thì phương trình vô nghiệm. Giải:  Phương trình có nghiệm khi  Phương trình vô nghiệm khi  Phương trình có  Vì nên hay phương trình có nghiệm. 3,0điểm Bài 3a) Từ (2) ta được Thay vào (1) Hệ phương trình có nghiệm khi phương trình (3) có nghiệm Vậy thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm là 2,0điểm Bài 3b)  Viết lại nghiệm của hệ như sau  Do m nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên khi là ư c của 12 và 24 khi đó m-1 bằng m -11 -5 -3 -2 -1 0 2 3 4 5 7 13 x -8 0 4 7 12 25 -21 -8 -3 0 4 12 y -12 -7 -6 -6 -7 -12 14 9 8 8 9 14 x+y -20 -7 -2 1 5 13 -7 1 5 8 13 26 Vậy thì hệ phương trình có nghiệm nguyên là và bé nhất. 2,0điểm Bài 4a) Chứng minh rằng  Ta có nhận xét v i mọi s a, b ta luôn có Dấu bằng xảy ra khi  Áp dụng bất đẳng thức (1) cho hai s thực ta được  Theo (1) ta lại có  Vậy dấu bằng xảy ra khi 2,0điểm Bài 4b) 2điểm Nên Nên Vậy Bài 5a) a) Chứng minh AA’; BB’; CC’ đồng quy Do cung nên AA’ là phân giác của góc tương tự BB’ và CC’ là phân giác của các góc vậy AA’; BB’; CC’ là ba đường phân giác trong của tam giác ABC vậy chúng đồng quy tại I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 2,0điểm Bài 5 b) b) Chứng minh IQAR là hình thoi. Ta có (góc nội tiếp chắn cung bằng nhau) Vậy B’, C cùng nhìn IQ dư i hai góc bằng nhau nên tứ giác IQB’C nội tiếp tương tự tứ giác IRC’B nội tiếp do (góc nội tiếp chắn cung bằng nhau) vậy IQAR là hình bình hành mặt khác cung ; nên hai dây AA’ và B’C’vuông góc hay IQAR là hình thoi. 2,0điểm Bài 5c) c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để MN=PQ=RS . Chứng minh tương tự câu b ta có ISBM và INCP đều là các hình thoi Mặt khác IMN đồng dạng v i tam giác ABC vì có các cạnh tương ứng song 2,0 điểm I N S R Q P M B' C' A' O A B C song nên ta có tỉ s : tương tự như vậy: Điều kiện cần và đủ để MN=PQ=RS là tam giác ABC đều B HƯỚNG DẪN CHẤM + Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm t i đa + Điểm s có thể chia nhỏ đến 0,25 cho từng câu. Tổng điểm toàn bài không làm tròn