Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 (Đề chính thức) - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Thời gian làm bài 120 phút I.PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) 1 Câu 1. Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A( ;4)và B(2; 7). 2 Tính M = 3313a 5 b b 13 a 5 b b 1 a 2 b 8 a 2 Ta có đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A( ;4)và B(2; 7) nên . 2 2a bb 7 3 Khi đó 3313a 5 b b 13 a 5 b b ( 3 2) (2 3) 2 3 Câu 2. Dãy số an thõa mãn an+1 = an + 3, với n * và a2 + a19 = 25. Tính tổng S = a1 + a2 + + a20 Ta có có a3 a 23; a 4 a 3 3 a 2 2.3;... a 19 a 2 17.3 25 a 2 a 2 17.3 a2 13 a 1 a 2 3 16.Lúc đó suy ra S = a1 + a2 + + a20 20a1 3(1 2 ... 19) 250 aa32 2a 7 0 Câu 3. Cho hai số thực a, b thõa mãn .Tính a – b 32 b 2 b 3 b 5 0 a3 a 2 2a 7 0 a 3 a 2 2a 7 0 Ta có a3 ( b 1) 3 b 2 ( a 1) 2 0 3 2 3 2 b 2 b 3 b 5 0 ( b 1) b 6 0 22 (a b 1). a a (1)(1)( b b a b )10 a b 1. Câu 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2)và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất Gọi phương trình đường thẳng đi qua A là y ax b . Vì phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2) nên ab 2 . Gọi M,N lần lượt là giao điểm của d với trục Oy và Ox ,khoảng cách từ O đến d là OH. Ta có 1 1 1 1a2 1 a 2 b 2 (2 a 1) 2 OH 2 55 . OHOMONbb2 2 2 2 2 b 211 a 2 a 2 15 15 Dấu bằng ra khi ab .Do đó phương trình d là yx . 22 22 a4 a 3 3a 2 a 1 Câu 5. Cho số thực a > 0. Tìm GTLN của P = a3 a 2 11 4 3 2 aa 3 a a 3a a 1 2 1 Ta có P aa.Đặt t a 21 a .Ta có 3 1 a a a a a 2 11 4 3 2aa 3 2 a a 3a1 a 2 t t 113 t t t 13.27 P aa 2 . 1 3 1 a aa t 4 t 4 4 t 4 2 a 7 .Vậy giá trị nhỏ nhất P là khi a 1. 2 x by cz Câu 6. Cho các số thực a, b, c khác -1 và các số x, y, z khác 0 thỏa mãn y cz ax z ax by 1 1 1 .Tính tổng T 111 a b c x by cz 1 x Ta có yc z ax xa ( 1) axbyc z . a 1z ax by c z ax by 1 1 1x y z 2( ax by c z) Nên ta có T 2 1 a 1 b 1 c ax by c z ax by c z Câu 7. Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11 .Tính Q = 4P(4) + P(-1) Ta có R( x ) P ( x ) ( x2 2) R (1) 0, R (2) 0, R (3) 0.Do đó Rxx( ) ( 1)( x 2)( x 3)( xmPxx ) ( ) ( 1)( x 2)( x 3)( xmx ) (2 2).Vậy Q( x ) 4 3.2.1(4 m ) 18 ( 2)( 3)( 4)( 1 m ) 3 195 1 Câu 8. Tìm các số thực a biết a 15 và 15 đều là các số nguyên. a 1 Ta có x a 15; y 15( x , y ).Ta có a 1 y 15(, x y ) xy 16( y x )15 .Nếu x khác y thì vế phải là số vô tỉ x 15 và vế trái là số nguyên ,vô lí. Do đó x y xy 16 0 x y 4.Từ đó ta có aa 4 15; 4 15 . sin22 3sin co s co s Câu 9. Cho góc nhọn có tan 2 . Tính M sin co s co s2 1 sin22 3sin co s co s 22 sin 3sin co s co s 2 M cos sin co s co s2 1 sin co s co s2 1 cos2 2tan2 3tan 1 15 . tan2 tan 2 8 Câu 10. Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD, tia phân giác góc A cắt BD tại I. Biết IB = 10 5 , ID = 5 . Tính diện tích tam giác ABC. AD I D 1 AB AB2 AD ; A D2 AB 2 B D 2 AB 2 (15 5) 2 AB IB 2 2 4 AD AB DC A D 1 AB 30( cm ) A D 15( cm ); BC 2D C.Ta có DC BC BC AB 2 2 2 2 2 2 2 AB AC BC900 ( DC 15) 4 C D C D 25( cm ) AC 40( cm ) SABC 600( cm ) II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giây thi) Câu 11. Giải phương trình 3 24 xx 12 6 Điều kiện x 12 .Ta đặt a 3 24 x ; b 12 x .Khi đó ta có a 0 ab 6 a( a 3)( a 4) 0 a 3 .Từ đó ta có nghiệm là S 24;3; 88 . 32  ab 36 a 4 Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. a) Khi AB = 12cm, tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác 2 ABC bằng .Tính diện tích tam giác ABC. 5 b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng BE CH CF BH AH BC A N F M E B C H P O a)Gọi O là trung điểm của BC thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.GọiI là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC thì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên AB,AC,BC . r 2 Đặt BC 2O A 2R; IM IN IP r . Theo bài ra ta có BC 5 r . R 5 Ta có AC2 BC 2 AB 2 25 r 2 144.Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì BM BP, CP CFvà tứ giác AMIN là hình vuông nên AM AN r . Do đó AB AC r BM r CE2 r BP CP 2 r BC 7 r AC 7r 12. 22 r 3 Từ đó 25r 144 (7r 12) (rr 3)( 4) 0 . r 4 2 2 Với r 3 thì AC 9 thì SABC 54( cm ). Với r 4 thì AC 16 thì SABC 96( cm ). b)Ta có BE CH CF BH AH BC BE.... BH CH CF BC BH AH BC BE EH AF Ta lại có EH song song AC nên BE. AC AB .AF . AB AC AC Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có BE. BH . CH CF BC . BH BE . AC CF . AB AB ( CF AF)=AB.AC=AH.BC. Câu 13. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Honda Future với chi phí mua vào là 23 triệu đồng và bán ra 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khác sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng, theo tỉ lệ cứ giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm tăng thêm 20 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá mới là bao nhiêu để sau khi giảm giá, lợi nhuận thu được là cao nhất. Gọi x là giá mới mà doanh nghiệp phải bán ,điều kiện x > 0,đơn vị triệu đồng.Theo bài ra ta có số tiền mà doanh nghiệp sẽ giảm là 27-x (triệu đồng ) mỗi chiếc.Khi đó số lượng xe tăng lên là 20(27 xx ): 0,1 200(27 )(chiếc) .Do đó số lượng xe doanh nghiệp phải bán là 600 200(27 x ) 6000 200x (chiếc).Vậy doanh thu doanh nghiệp sẽ là (6000 200x)x(triệu đồng ).Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là (6000 200x).23(triệu đồng ).Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được sau khi bán gía mới là (6000 200x)x-(6000 200x)x.23=-200x2 10600x 138000 200(x 26,5)2 2450 2450.Gía trị lợi nhuận thu được cao nhất là 2450 .Khi đó giá bán mới là 26,5 triệu đồng.