Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 (Đề chính thức) - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Năm học 2018-2019.Ngày thi 04/01/2019 Thời gian làm bài :150 phút Câu 1( 2,0 i m xzy 3 a)Cho P và xyz 9 .Tính 10P 1 xy x 3 yz y 1 xz 3 z 3 b) Cho x,y,z > 0 thỏa mãn : x y z xyz 4. Tính B= x(4 y)(4 z) y(4 z)(4 x) z(4 x)(4 y) Câu 2( 2,0 i m x2 a)Giải phương trình 3 3x2 6x (x 2)2 x22 y xy 1 2x b)Giải hệ phương trình 22 x( x y ) x 2 2 y Câu 3( 2,0 i m a)Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình x2+x +2y 2 y 2x y 2 xy 3 3 3 3 3 b)Chứng minh rằng a1 a 2 a 3 ... an chia hết cho 3 biết a1, a 2 , a 3 ,..., an là các chữ số của 20192018 Câu 4 (3,0 i m Cho tam giác MNP có 3 MNP,, nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi Q là trung điểm của NP và các đường cao MD, NE, PF của tam giác MNP cắt nhau tại H. a) MH 2O Q b) Nếu MN MP2 NP thì sinNPM sin 2sin . c) ME. FH MF . HE R2 2 biết NP R 2 1 1 1 Câu 5( 1 i m) Cho a,, b c dương thỏa mãn 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất ab bc ca ab2 bc 2 ca 2 của biểu thức P a b b c c a BÀI LÀM Câu 1( 2,0 i m xzy 3 a)Ta có P 1 vì xyz 93 xyz . xy x 3 yz y 1 xz 3 z 3 Khi đó 10P 1 3. b)Ta có x y z xyz 4 4(x y z) 4 xyz 16.Khi đó ta có: x(4 y)(4 z) x(16 4y 4z yz) x(yz 4 xyz 4x) x.(yz 2x)2 xyz 2x (1). Tương tự y(4 z)(4 x) xyz 2y (2) , z(4 x)(4 y) xyz 2z (3) . Từ (1), (2), (3) suy ra B 2(x y z xyz) 2.4 8. Câu 2( 2,0 i m xx22 a)Điều kiện x 2.Ta có 3 3x22 6x 3(x 1) 0 (xx 2)22 ( 2) xx 3(xx 1) 3( 1) 0.Từ đó ta có nghiệm phương trình (xx 2) ( 2) là 1 3 2823 1 3 2823 xx ; ; 2 3 2 3 1 3 2823 1 3 2823 xx ; 2 3 2 3 x2 y 2 xy 1 2x 2x( x y ) 2 y 2 4x 2 0 b)Ta có 2 2 2 2 x( x y ) x 2 2 y x ( x y ) x 2 2 y 22 x y xy 1 2x 2 .Từ đó suy ra kết quả. x ( x y ) 2( x y ) 3 0 Câu 3( 2,0 i m a)Ta có x2+x +2y 2 y 2x y 2 xy 3 ( x 1)( x 2 2 y 2 y 2) 1. Xét trường hợp là xong. 3 3 3 3 b) Ta có (a1 a 2 a 3 ... ann ) ( a 1 a 2 a 3 ... a ) chia hết cho 3.Theo đề ta có 2018 a1, a 2 , a 3 ,..., an là các chữ số của 2019 nên suy ra (a1 a 2 a 3 ... an ) chia hết 3 3 3 3 cho 3 .Từ đó suy ra a1 a 2 a 3 ... an chia hết cho 3 Câu 4 (3,0 i m Cho tam giác MNP có 3 MNP,, nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi Q là trung điểm của NP và các đường cao MD, NE, PF của tam giác MNP cắt nhau tại H. a) MH 2O Q b) Nếu MN MP2 NP thì sinNPM sin 2sin . c) ME. FH MF . HE R2 2 biết NP R 2 (rãnh gõ lời giải nhé ,gõ hình chán ). 1 1 1 Câu 5( 1 i m) Ta có 33 a b c abc.Lúc đó ab bc ca ab2 bc 2 ca 2 ab 2 bc 2 ca 2 ab2 bc 2 ca 2 P 33 . . . Ta đặt 33 . . Q . abbcca abbcca a b b c c a Nên ta có 33abc a b c PQ .Vậy giá trị nhỏ nhất của 3 a b b c c a a b b c c a 2 3 a b c 3 abc 2 2 2 3 ab bc ca P là .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. 2 a b b c c a a b b c c a