Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 (Đề chính thức) - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA PHÚ THỌ LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày 15 tháng 03 năm 2019 Số báo danh (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) ..................................... Câu 1 (3,0 điểm): a)Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương đôi 1 phân biệt luôn tồn tại 4 số có tổng là hợp số. b)Bạn Thắng lần lượt chia số 2018 cho 1, 2, 3, 4, , 2018 rồi viết ra 2018 số dư tương ứng sau đó bạn Việt chia số 2019 cho 1, 2, 3, 4, , 2019 rồi viết ra 2019 số dư tương ứng. Hỏi ai có tổng số dư lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu. Câu 2 (3,0 điểm): 2 x y xy 1 0 a) Giải hệ phương trình: 3 3 x y 3 x y 32 0 2 1 b) Giải phương trình x 10 11 x x 1 . x Câu 3 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp (O), D thuộc BC( D không trùng B,C) và (O/) tiếp xúc với trong với (O) tại K tiếp xúc với đoạn CD, AD tại F, E. Các đường thẳng KF, KE cắt (O) tại M, N. a) Chứng minh rằng MN song song EF b) Chứng minh rằng MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC c) Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi D chạy trên BC Câu 4 (1,0 điểm): Cho các số thực x1, x2, .., xn 0;1 . 2 2 2 2 2 Chứng minh rằng 1 x1 x 2 x 3 ... xn 4 x 1 x 2 x 3 .... x n ---------------- Hết --------------- Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN Phần tự luận thi HSG Toán 9 Phú Thọ 15/3/2019 Câu 1( 3 điểm) a)Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương đôi 1 phân biệt luôn tồn tại 4 số có tổng là hợp số. b)Bạn Thắng lần lượt chia số 2018 cho 1,2,3,4, ,2018 rồi viết ra 2018 số dư tương ứng sau đó bạn Việt chia số 2019 cho 1,2,3,4, ,2019 rồi viết ra 2019 số dư tương ứng . Hỏi ai có tổng số dư lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu. Hướng dẫn a)Xét 5 số đều chẵn hoặc đều lẻ nên tổng 4 số bất kì chẵn lớn hơn 2 là hợp số lần lượt xét 1 chẵn 4 lẻ chọn 4 lẻ , 2 chẵn 3 lẻ chọn 2 chẵn 2 lẻ , 3 chẵn 2 lẻ 2 chẵn 2 lẻ , 4 chẵn 1 lẻ chọn 4 chẵn b)Gọi T là là tổng các số dư của thắng, V là tổng các số dư của Việt gọi t1;....., t 2018 là số dư chia 2018 cho 1,2,, 2018 gọi v1;.....,v 2019 là số dư chia 2019 cho 1,2,, 2019 T t1 t 2 ... t 2018 ; V v 1 v 2 ... v 2019 i 1.2.3...,2018 neu 2019 i v1 0 ti i 1 neu v 1 i 1 v 1 t i 1 V t11 t 2 1 ...... t 2018 1 S (2019 T 2018 S (2019) Trong đó S(2019) là tổng các ước không vượt quá 2018 của 2019 Ta có 2019=1.3.773 suy ra S(2019)=677 V=T+2018-677=T+1341 suy ra V>T và V-T=1341 Câu 2(3,5 điểm) 2 x y xy 1 0 a) Giải hệ phương trình: 3 3 x y 3 x y 32 0 2 1 b)Giải Phương trình x 10 11 x x 1 x Hướng đẫn Đkxđ: x 0 2 x y xy 1 0 2 x y xy 1 0 a) 3 3 3 x y 3 x y 32 0 x y 3 xy x y 3 x y 32 0 x y s; xy p ( s2 4 p ) b) 2 1 4 3 2 x 10 11 x x 1 12 x x 8 x 1 0 x 4x2 x 1 0 4x2 x 1 3 x 2 x 1 0 2 3x x 1 0 Câu 3 ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O), D thuộc BC( D không trùng B,C) và (O/) tiếp xúc với trong với (O) tại K tiếp xúc với đoạn CD,AD tại F,E . Các đường thẳng KF, KE cắt (O) tại M,N. a) Chứng minh rằng MN song song EF b) Chứng minh rằng MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC c) Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi D chạy trên BC Hướng dẫn A (d) N K O E O/ I B C D F H M a)Qua K kẻ tiếp tuyến chung (d) với (O) và (O/) gọi H là giao (d) và BC KEF FKH MNK MN / / EF b) Ta có tam giác HKF cân tại H suy ra HKF HFK MB MC suy ra AM là phân giác BAC suy ra BCM MKC suy ra MC là tiếp tuyên (KFC) c)Gọi AM cắt EF tại I ta chứng minh I cố định Ta có AKN AMN AIE nên tứ giác AEIK nội tiếp Suy ra DEF EKF EAI EIA EKI IKE EIA IKF hay MIF IKF Suy ra MIF đồng dạng MKI(.). g g MI2 MK MF (1) MC là tiếp tuyến (KFC) suy ra MC2 MF. MK (2) Từ (1),(2) suy ra MI=MC suy ra MIC MCI IAC ICA MCB BCI ICA BCI Nên CI là phân giác ABC mà AM là phân giác BAC nên I cố định Câu 4 ( 1,5 điểm) Cho các số thực x1, x2, .., xn 0;1 . 2 2 2 2 2 Chứng minh rằng 1 x1 x 2 x 3 ... xn 4 x 1 x 2 x 3 .... x n Hướng dẫn 2 Áp dụng BĐT A B 4 AB với A=1; B=x1 + x2 + ..+ xn 1 x1 x 2 x 3 ... xn 4 x 1 x 2 x 3 ... x n x1, x2, .., xn 0;1 nên 2 2 2 2 x1 x 1 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 ; tuong tu x 2 x 2 .....; xn x n 2 2 2 2 x1 x 2 x 3 ... xn x 1 x 2 x 3 ... x n 2 2 2 2 2 Suy ra 1 x1 x 2 x 3 ... xn 4 x 1 x 2 x 3 .... x n Dấu “=” xảy ra khi có 1 số bằng 1 các số còn lại bằng 0 ( Đây không phài là đáp án có thể đề chưa chính xác câu 3 khả năng nhầm E và F nếu thế các giải đổi lại các bạn tham khảo nhé )