Đề thi chọn học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio đề số 41

Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh Thõa Thiªn HuÕ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CÇM TAY §Ò thi chÝnh thøc Khèi 12 THPT - N¨m häc 2010-2011 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 11/11/2010 - Đề thi gồm 5 trang Điểm toàn bài thi Các giám khảo (Họ, tên và chữ ký) Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi) GK1 Bằng số Bằng chữ GK2 Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 5 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy Bài 1. (5 điểm) Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình: 3 2cos 4 cos3 23cos 79cos 23cos 20 0x x x x x+ + - + + = Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 2. (5 điểm) a) Chứng tỏ rằng elip 2 2 ( ) : 1 25 9 x y E + = là hợp của hai đồ thị của hai hàm số ( )1y f x= và ( )2y f x= . Xác định hai hàm số đó. b) Tính gần đúng tọa độ giao điểm của của đường tròn (C) tâm (5; 3)I , bán kính 2R = với elip 2 2 ( ) : 1 25 9 x y E + = . Tóm tắt cách giải: Kết quả: www.VNMATH.com Bài 3. (5 điểm) Cho hai parabol: ( ) 21 : 2 5P y x x= - + và ( ) 22 : 4 3P y x x= - + - Tìm khoảng cách ngắn nhất từ đỉnh A của ( )1P đến một điểm bất kỳ của ( )2P . Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 4. (5 điểm) Cho dãy số { }nu với: 1 2 3 4 3 3 5 3 5 7 1; 1 ; 1 ; 1 ; 2! 2! 3! 2! 3! 4! u u u u= = + = + - = + - - 3 5 7 9 11 1 ... 2! 3! 4! 5! 6!n u = + - - + + - . (n số hạng). Tìm 0n để với mọi 0n n³ thì nu có phần nguyên và chín chữ số thập phân ngay sau dấu phẩy là không đổi. Tính giá trị 2010u . Viết quy trình giải. Tóm tắt cách giải: Kết quả: www.VNMATH.com Bài 5. (5 điểm) Cho dãy số { }nu với: 33 443 5 1 2 3 4 51; 2; 2 3; 2 3 4 ; 2 3 4 5 ;...u u u u u= = = + = + + = + + + Tính giá trị của 7 8 9 15 20 2010; ; ; ; ;u u u u u u . Kết quả lấy đủ 10 chữ số. Nêu quy trình bấm phím liên tục để tính ( 7)nu n > . Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 6. (5 điểm) Theo kết quả điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua một số mốc thời gian (Đơn vị: 1.000 người): Năm 1976 1980 1990 2000 2010 Số dân 49160 53722 66016,7 77635 88434,6 a) Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm trong các giai đoạn 1976-1980, 1980- 1990, 1990-2000, 2000-2010. Kết quả chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Giả sử tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm không đổi trong mỗi giai đoạn. b) Nếu cứ duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2015 và 2020 dân số của Việt Nam là bao nhiêu ? c) Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2010, mỗi năm phấn đấu giảm bớt x% (x không đổi) so với tỉ lệ % tăng dân số năm trước (nghĩa là nếu năm nay tỉ lệ tăng dân số là a% thì năm sau là (a − x)%). Tính x để số dân năm 2015 là 92,744 triệu người. Kết quả chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải. www.VNMATH.com Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 7. (5 điểm) Cho biểu thức 2 3 20 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2P x x x x x x x x x æ ö æ ö æ ö æ ö= + + + + + + ××× + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø Tìm hệ số chính xác của số hạng không chứa x trong khai triển và rút gọn biểu thức P(x). Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 8. (5 điểm) Một máy bay đang bay với vận tốc 256 /v km h= theo phương nằm ngang. Tính xem máy bay đang ở độ cao nào, biết rằng khi đang ở vị trí 1O thì phi công nhìn thấy một vật cố định A dưới mặt đất theo góc 01 25 38'28"a = so với phương thẳng đứng và sau đó 15 giây, máy bay đến vị trí 2O phi công lại nhìn thấy vật cố định A theo góc 0 2 14 55 '53"a = so với phương thẳng đứng ? Tóm tắt cách giải: Kết quả: www.VNMATH.com Bài 9. (5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang vuông tại A và D; 4 ; 2,56AD AB a CD a dm= = = = ; mặt bên SAD vuông góc với mặt đáy và là tam giác cân tại S; góc giữa mặt bên SBC với mặt đáy là 072a = . a) Tính gần đúng thể tích hình chóp S.ABCD. b) Tính gần đúng góc giữa 2 mặt phẳng chứa hai mặt bên SAD và SBC. Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 10. (5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I biết: ( 4; 1), ( 1; 3), (1; 4)A B D- - - và cạnh CD đi qua điểm (3; 0)E . a) Tính gần đúng tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. b) Tính diện tích tứ giác ABCD. Tóm tắt cách giải: Kết quả: --------------HẾT------------- www.VNMATH.com Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh Thõa Thiªn HuÕ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CÇM TAY Khèi 12 THPT - N¨m häc 2010-2011 Đáp án và biểu điểm Bài Cách giải Điểm TP Điểm toàn bài 1 3 2cos 4 cos3 23cos 79cos 23cos 20 0x x x x x+ + - + + = (1) Ta có: ( )22 2 4 24 2coscos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1x x x x x= - = - - = - + 3cos3 4cos 3cosx x x= - Nên: 4 3 2s(1) 8co 27 cos 87cos 20cos 21 0x x x xÛ + - + + = Đặt ( )sco 1 1xt t= - £ £ , phương trình (1) tương đương: 4 3 28 27 87 20 21 0 ( 1 1)t t t t t+ - + + = - £ £ Dùng chức năng SOLVE giải phương trình ta được hai nghiệm: 1 2 30,375 ; 0,7691496338t t= - = - » Vậy nghiệm của phương trình (1) là: 0 0 0 0 1 2112 01'28" 360 ; 39 43'21 360x k x k» ± + » ± + 5 2 a) Phương trình đường elip (E): 2 2 231 25 25 9 5 x y y x+ = Û = ± - Do đó elip (E) là hợp của hai đồ thị của hai hàm số: 2 2 2 2 1 2 3 3 ( ) 25 ; ( ) 25 5 5 y f x x y f x x= = - = = - - b) Phương trình đường tròn (C): ( ) ( )2 25 3 4x y- + - = . Vẽ trong mặt phẳng tọa độ, ta thấy ( ; ) ( ) : 0; 0M x y C x y" Î > > . Hệ phương trình cho tọa độ giao điểm của đường tròn và elip: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 5 3 4 5 3 4 ( 0; 0)3 3 25 25 5 5 x y x y x y y x y x ì ì- + - = - + - =ï ï> > Ûí í = ± - = -ï ïî î . ( ) 2 2 2 2 3 5 25 3 4 (1) 5 3 25 (2) 5 x x y x ì æ ö- + - - =ï ç ÷ï è øí ï = -ïî Dùng chức năng SOLVE để giải (1): ( ALPHA X − 5 ) x2 + ( 0.6 ( 25 − ALPHA X x2 ) 5 www.VNMATH.com − 3 ) x2 − 4 ALPHA = 0 SHIFT SOLVE Nhập giá trị đầu là 3 ấn phím = cho kết quả 1 3,10868x » SHIFT SOLVE Nhập giá trị đầu là 4.5 ấn phím = cho kết quả 2 4,7006x » . Dùng chức năng CALC để tính các giá trị tung độ giao điểm: 1 2,34968y » và 2 1,02253y » . Vậy: Đường tròn và elip cắt nhau tại hai điểm : ( )3,10868; 2,34968 , (4,7006; 1,02253)A B 3 Parabol: ( ) 21 : 2 5P y x x= - + có đỉnh là điểm A(1; 4). Gọi M(x; y) thuộc parabol ( ) 22 : 4 3P y x x= - + - Khoảng cách từ đỉnh A của ( )1P đến điểm M là: ( )22 2( 1) 4 ; 4 3d x y y x x= - + - = - + - ( )22 2 2( 1) 4 7 ; 4 3d x x x y x x= - + - + - = - + - Gọi ( )22 2 2( ) ( 1) 4 7f x d x x x= = - + - + - Ta có: ( )2'( ) 2( 1) 2( 2 4) 4 7f x x x x x= - + - + - + - 3 2'( ) 4 24 62 58f x x x x= - + - Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để giải phương trình: 3 2'( ) 0 4 24 62 58 0f x x x x= Û - + - = , ta được một nghiệm thực 0 1,857961603x » . Hàm số f(x) có một cực tiểu duy nhất và cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số tại 0 1,857961603x » Thay vào ( )d f x= ta có: min 3,13967d = . 5 4 Quy trình bấm máy: 0 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ( 2 ALPHA A − 1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ( 2 ALPHA A − 1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B − ( 2 ALPHA A − 1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B − ( 2 ALPHA A − 5 www.VNMATH.com 1 ) ab/c ALPHA A SHIFT x! ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 Bấm = liên tiếp ta được 0 13n = . Với mọi 0 13n n³ = thì 1, 462377902nu » không đổi. Vậy: 2010 1,462377902u » . 5 Ta có thể tính trực tiếp 3 4 7; ; ...;u u u : Để tính 7u ta bấm máy: ( 2 + 3 SHIFT x ( 3 + 4 SHIFT x ( 4 + 5 SHIFT x ( 5 + 6 SHIFT x ( 6 + 7 SHIFT x ( 7 ) ) ) ) ) = Cho kết quả: 7 1,91163911u » Tính 8u : Bấm máy theo quy trình: 8 SHIFT x ( 8 9 SHIFT STO A ALPHA D ALPHA = ALPHA D − 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA ( D − 1 ) x ( D − 1 + ALPHA = ALPHA A ) Bấm = liên tục cho đến khi D = 3 bấm tiếp = Cho kết quả là: 8 1,911639214u » Tính 9u : Bấm máy theo quy trình: 9 SHIFT x ( 9 10 SHIFT STO A ALPHA D ALPHA = ALPHA D − 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA ( D − 1 ) x ( D − 1 + ALPHA = ALPHA A ) Bấm = liên tục cho đến khi D = 3 bấm tiếp = Cho kết quả là: 9 1,911639216u » Tương tự ta có: 15 20 1,911639216u u= » . Suy ra: 2010 1,911639216u » 5 6 a) Giai đoạn 1976-1980 1980-1990 1990-2000 2000-2010 Tỉ lệ % tăng dân số/năm 2,2434% 2,0822% 1,6344% 1,3109% b)Nếu duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì: Đến năm 2015 dân số nước ta sẽ là: ( )588434,6 1 1,3109 /100 94,385+ » triệu người. Đến năm 2020 dân số nước ta sẽ là: ( )1088434,6 1 1,3109 /100 100,736+ » triệu người. Nếu thực hiện phương án giảm dân số đó thì đến năm 2015 dân số nước ta là: ( )( )( )( )( )88434,6 1,013109 1,013109 2 1,013109 3 1,013109 4 1,013109 5x x x x x- - - - - Ta có phương trình: 5 www.VNMATH.com ( )( ) ( )88434,6 1,013109 1,013109 2 ... 1,013109 5 92744x x x- - - = Dùng chức năng SOLVE: 1.013109 SHIFT STO A 88434.6 ( ALPHA A − ALPHA X ) ( ALPHA A − 2 ALPHA X ) ( ALPHA A − 3 ALPHA X ) ( ALPHA A − 4 ALPHA X ) ( ALPHA A − 5 ALPHA X ) − 92744 = 0 SHIFT SOLVE Hiển thị giá trị của A, ấn phím = Nhập giá trị đầu của A là 0.01 = Cho kết quả: x% 0,1182%» . 7 Ta có: ( ) 2 0 0 1 2 2 2 n n n k k k n k k k k n n n k k x C x x C x x - - - = = æ ö+ = =ç ÷ è ø å å Hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 1 2 n x x æ ö+ç ÷ è ø là 22k k k nnC x - khi: 2 0 2 2 n k n n k k- = Û = Û = (n chẵn) Do đó: Hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển và rút gọn của P(x) là: 1 2 2 3 3 20 10 2 4 6 202 2 2 ... 2C C C C+ + + + . Quy trình bấm máy như sau: 0 SHIFT STO A 0 SHIFT STO D ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 2 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + ALPHA D SHIFT nCr ( ALPHA D ÷ 2 ) Bấm = liên tiếp cho đến khi D = 20 bấm tiếp = cho kết quả: 1 2 2 3 3 20 102 4 6 202 2 2 ... 2 217886108C C C C+ + + + = . 5 8 Ta có: 1 2 256 15 16 ( ) 3600 15 O O km ´ = = · · 0 1 2 1 2 1 2 2; 90O AO O O Aa a a= - = + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 10 1 2 1 2 cos sin sinsin 90 O O O A O O O A a a a a aa = Þ = - -+ Suy ra: ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 cos cos cos 4,99993 5000 sin O O h O A km m a a a a a = = » » - 5 www.VNMATH.com 9 a) Gọi H là trung điểm của AD. Ta có: Hai tam giác vuông HDC và BAH đồng dạng, nên · 090BHC = . Vẽ HK vuông góc với BC thì HK là đường cao của tam giác vuông BHC. Suy ra: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 5 20 HK a HK HC HB a a = + = + Û = . SH là đường cao của hình chóp S.ABCD, suy ra SK BC^ , do đó: · 072SKH a= = . Suy ra: tan 2 tanSH HK aa a= = . Vậy thể tích của hình chóp S.ABCD là: ( )1 1 1 2 4 4 2 tan 8 tan 413,07969 3 3 2ABCD V S SH a a a a a dm= ´ = ´ + ´ = » Hai tia BC và AD cắt nhau tại E. Khi đó SE là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). Từ D kẻ DI vuông góc với SE tại I. Ta có: ( )DC DA gt^ và ( ( ))DC SH SH mp ABCD^ ^ , nên ( )DC mp SAD DC SE^ Þ ^ . Do đó ( )SE mp CDI CI SE^ Þ ^ . Vậy: ·CIDb = là góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Đặt ·SDHg = . Ta có: 2 2 2 2 tan sin sin 4 4 tan SH a HD a a ag a a = = = + 1 1 4 4 3 3 ED DC ED a ED EA AB AD = = Þ = Þ = s s 2 co co HD a SD a a = = ; 2 2 2 24 254 tan 2 2 tan 3 9 a SE a a aa aæ ö= + + = +ç ÷ è ø 2 s 1 1 4 2 8 . sin 2 sin 2 sin 2 2 3 co 3SDE a a S DE SD a a g a aD = = ´ ´ = 2 2 2 21 16 sin 8 sin . 2 2 9 tan 25 9 tan 25 3 3 SDE SDE S a a S SE DI DI SE a a a a a D D = Þ = = = + +´ Trong tam giác vuông CDI, ta có: 5 www.VNMATH.com 2 2 2 9 tan 25 tan 8 sin 4sin 9 tan 25 DC a aDI ab a a a + = = = + . Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là: 2 1 09 tan 25tan 70 05'03" 4sin ab a - æ ö+ = »ç ÷ç ÷ è ø 10 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Ta có: Hệ số góc của AI là: 1 1 11 4 3 3tan tan tan tan 2 3 5 5 a - - - æ öæ öæ ö æ ö æ ö= - + -ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø è øè øè ø 1 11 4 3tan tan tan 0,1958872249 2 3 5 - -æ öæ öæ ö æ ö= - - » -ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è øè øè ø Lưu kết quả vào biến A. Hệ số góc của DI là: 1 1 11 5 2 3' tan tan tan tan 2 3 4 5 a - - - æ öæ öæ ö æ ö æ ö= - + +ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø è øè øè ø ' 3.43405783a » . Kết quả lưu vào biến B. Phương trình phân giác góc BAD là: : 4 1AI ax ay + += Phương trình phân giác góc ADC là: : ' 4 'DI a x ay + -= Hoành độ giao điểm I của hai phân giác là nghiệm của phương trình: 3 4 ' 4 1 ' 4 ' 0,09627998892 ' a a ax a a x a x a a - - + + = + - Û = » - - . Bấm máy và lưu kết quả vào biến nhớ C. Suy ra tung độ của I là: 0,2353111201y » lưu kết quả vào biến D. Phương trình đường thẳng AB: 4 3 13 0x y+ + = . Bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD là: 4 3 13 ( , ) 2,664162681 5 I Ix xr d I AB + + = = » lưu kết quả vào biến E. Phương trình đường thẳng BC: 3 3 0y kx k kx y k= + - Û - + - = Ta có: 2 3 ( , ) 1 I Ikx y kd I BC r r k - + - = Û = + ( ) ( )( ) ( )2 22 21 2 1 3 3 0I I I Ix r k x y k y ré ùÛ + - - + + + + - =ë û . Giải phương trình bậc hai theo k và chọn nghiệm dương, ta được: 0, 4023380264k » Phương trình đường thẳng BC: 2 6y x= - + . Hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình: 5 www.VNMATH.com 9 6 2 6 3 3,578872698 2 x kx k x k - - + = + - Û = » + lưu vào biến F, Suy ra tung độ của C: 1,157745396y » - lưu vào biến Y. Diện tích của tứ giác ABCD là: ( )1 28,6838 2 S pr AB BC CD DA r= = + + + » (đvdt) www.VNMATH.com