Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện trường THCS TT Phù Mỹ năm học 2011 – 2012 môn toán

PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS TT PHÙ MỸ Năm học: 2011 – 2012 ĐỀ ĐỀ XUẤT Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: ( 3 điểm ) Chöùng minh raèng vôùi moïi x, y nguyeân thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 laø soá chính phöông Câu 2: ( 3 điểm ) Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 - y3 - 2y2 - 3y -1 = 0 Câu 3: ( 2 điểm ) Giải phương trình. Câu 4: ( 2 điểm ) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1 Tính: T = Câu 5: ( 4 điểm ) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = . Câu 6: ( 3 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC , IK ^AB . Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z . Tìm vị trí của I sao cho tổng x2 +y2 +z2 nhỏ nhất. Câu 7: ( 3điểm ) Cho tứ giác ABCD, gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Kí hiệu a. Chứng Minh: b. Khi tứ giác ABCD là hình thang thì hệ thức trên xảy ra như thế nào? ----------------------HẾT---------------------- Đề thi này có 01 trang. Giám thị không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Đáp án Biểu điểm Câu 1 (3điểm ) A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x + y)(x + 4y). (x + 2y)(x + 3y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 Do x , y Z neân x2 + 5xy + 5y2 Z A laø soá chính phöông 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu 2 (3điểm ) Phương trình đã cho tương đương với : x3 = y3 + 2y2 + 3y +1 (1) Nhận xét rằng: (2) (3) Từ (2) và (3) suy ra: < x3 , Vì y Với y = -1 x= -1. Với y = 0 x= 1 Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm nguyên là (-1; -1) và (1; 0) 1đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu 3 (2 điểm ) ĐKXĐ: x ³ -2. Û Û| + | -3| = 1 | + | 3 - | = 1 áp dụng BĐT |A|+ |B| ³| A + B| ta có : | + | 3 - | ³ 1 Dấu "=" xảy ra khi : ()( 3 - ) ³ 0 Û 2 £ £ 3Û 2£ x £ 7 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 1đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ Câu 4 (2 điểm ) Ta có 1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y) Tương tự ta có: 1+y2 =(y+x)(y+z) 1+z2 =(z+x)(z+y) T== =x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) =2 . Vậy T = 2 1đ 0.5đ 0.5đ Câu 5 (4 điểm ) Có: Þ = Þ Tương tự: P £ = = = Dấu “=” xảy ra khi Từ đó giá trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ Câu 6 (3 điểm ) A h.36 B C M N KKK x n z m y k I Đặt BK = k , CM = m , AN = n , BC = a , AC = b , AB = c . x2 +y2 +z2 = (IA2 - IK2 ) + (IB2 - IM2 ) + (IC2 - IN2 ) = (IA2 - IN2 ) + (IB2 - IK2 ) + (IC2 - IM2 ) = n2 + k2 + m2 Þ 2(x2 +y2 +z2 ) = x2 +y2 +z2 + n2 + k2 + m2 = ( x2+ k2 )+( y2+ m2 )+( z2 + n2 ) x2+ k2 ≥ y2+ m2 ≥ z2 + n2 ≥ Þ x2 +y2 +z2 ≥ . min(x2 +y2 +z2 ) = Û x = k , y = m , z = n. Û I là giao điểm của các đường trung trực của DABC 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ Câu 7 (3 điểm ) . Gọi S1= SAIB ; S2 = S CID ; S3 = S BIC ; S 4 = S AID Kẻ Ta có: Từ (1) và (2) suy ra: Ta có: S ABCD = S1 + S2 + S3 + S4 Từ (3) và (4) ta suy ra: b. Khi tứ giác ABCD là hình thang ta xét: * Nếu AB // CD ta có: S ACD = S BCD suy ra: S 3 = S 4 * Nếu BC // AD ta có: S ABC = S CAD Suy ra: S 1 = S 2 Dấu bằng xảy ra khi: S1 = S 2 = S 3 = S 4 = ABCD là hình bình hành 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ