Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học: 2007-2008 môn thi: Toán

Mã ký hiệu Đ01T-08-HSG9 Đề thi chọn HSG lớp 9 Năm học: 2007-2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. ( Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1: (4 điểm) Cho P(x) là một đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1, thoả mãn P(1) =3, P(3) =11 P(5) = 27. Hãy tính P(-2) + 7P(6). Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình Câu 3: (2 điểm) Cho 2x+4y + 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2 Câu 4: ( 2 điểm) Tìm các ngiệm nguyên của phương trình : x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 Câu 5: (5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R), M là điểm chuyển động trên cung BC. Vẽ đường kính AE cắt BC tại H, MA cắt BC tại I. Chứng minh MA = MB + MC Chứng minh: Xác định vị trí của M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. Câu 6 : (3 điểm) Trên dây cung AB của đường tròn (O) lấy 2 điểm P và Q sao cho AP = PQ = QB vẽ bán kính OK qua P và bán kính OL qua Q. Chứng minh: ...........................Hết........................... Mã ký hiệu HD01T-08-HSG9 Hướng dẫn chấm Đề thi chọn HSG lớp 9 Năm học: 2007-2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. 1212121112 Câu 1: (4 điểm) Xét đa thức f(x) = x2+ 2 thoả mãn f(1) = 3, f(3) = 11, f(5) = 27 Đặt Q(x) = P(x) – f(x) Ta có Q(1) = P(1) – f(1) = 0 Q(3) = P(3) – f(3) = 0 Q(5) = P(5) – f(5) = 0 Vậy Q(x) nhận 1;3;5 làm nghiệm Do P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 nên Q(x) cũng là đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Vậy q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – r) P(x) = Q(x) + f(x) Ta có P(-2) = (-2 – 1)(-2 – 3)(-2 -5)(-2 –r) + (-2)2 + 2 P(-2) = 3.5.7.2 + 3.5.7.r + 6 7P(6) = 7[(6 – 1)(6 – 3)(6 – 5)(6 – r) + 62 + 2] = 7[5.3.1(6 –r) + 36 + 2] = 3.5.6.7 – 3.5.7.r + 38.7 P(-2) + 7P(6) = 3.5.7(2 + 6) + 6 + 38.7 = 3.5.7.8 + 272 =840 + 272 = 1112 Câu 2. (4 điểm) Đặt x + y + z = t x + y = t – z, y + z = t – x Khi đó hệ đã cho có dạng (1) (2) (3) (4) Từ (2) ta có x = t2 – xt x + xt = t2x = Dễ thấy t -1 Từ (4) ta có z = với x t, zt , t0, t -1 Từ (3) y = t2 – tz + t = Vậy ta có: t(4t – 1) = 0, vì t0 nên t = Từ đó chỉ ra Câu 3: (2 điểm) Ta có (2x + 4y)2 + ( 4x – 2y)2 = 4x2+ 16y2 +16xy + 16x2 + 4y2 –16xy = 20(x2+y2) Biết rằng (2x + 4y)2 + (4x – 2y)2 (2x +4y)2 Dấu “=” xảy ra 4x – 2y = 0 y = 2x 20(x2+ y2) 1 (do 2x +4y = 1) A = x2+ y2 min A = Câu 4: (2 điểm) x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1) Nếu y cũng thoả mãn pt thì -y cũng thoả mãn PT (1) Đặt x2+3x+1= a, ta được: Suy ra a+y = a-y, do đó y = 0 Thay vào (1) được: x1=0, x2= -1, x3= -2, x4= -3 Vậy PT đã cho có 4 nghiệm: (0;0), (-1;0), (-2;0), (-3;0) Câu 5: ( 5 điểm) a) (2 điểm) Trên tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB rBDM cân tại M có BMD = ACB = 600 ( Góc nội tiếp cùng chắn cung AB) rBDM đều * Chỉ ra rMBC = rDBA (c.g.c) MC = DA MA = DA + DM = MC + DM = MC + MB (do MB = MD) b) (1,5 đ) Ta có Chỉ ra rIAC rIBM (do MA = MB + MC) c) (1,5 điểm) Ta có MA + MB + MC = 2MA (do MA = MB + MC) Mà MA AE = 2R (do AM ME vì =…) MA + MB + MC 4R Tổng MA + MB + MC lớn nhất bằng 4R M E Bài 6: (3 điểm) Vẽ đường kính AN Chỉ ra được OP là đường trung bình của rAQN PO // QN (đồng vị) (So le trong) rONQ có OQ < ON Chỉ ra (1 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,5 điểm) (1 điểm) (0,5 điểm) (0,25 đ) (0,5 điểm) (0,25điểm) 0,25đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 0,5 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0.25 đ 0.25 đ 0. 5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,5đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25đ 0,25 đ 0,5 đ